前回の投稿では、円周角について説明しました。セグメント角度は、円の弦と弦の端の 1 つにおける円の接線との間に形成される角度として定義されます。この角度は、円弧を定義する点の 1 つ上に角度の頂点が正確に存在する、内接角の特殊なケースとして見ることができます。

よりよく理解するには、ある点から別の点にロープが伸びた円を想像してください。ロープが円に触れる点の 1 つに接線を引きます。この接線と弦との間に形成される角度をセグメント角度と呼びます。この角度の興味深い特性は、同じ円弧の範囲を定める中心角の半分であることです。

たとえば、中心角が 80 度の場合、対応するセグメントの角度は 40 度になります。これは、セグメント角が本質的に内接角の「側面図」であり、内接角は常に中心角の半分であるという事実によるものです。

セグメント角を発見したとされる数学者は一人もいませんが、この概念はユークリッドやアルキメデスなどの古代ギリシャの数学者の著作と関連付けられることがよくあります。彼らはその著作の中で古典幾何学の基礎を築き、彼らが探求した定理や原則の多くは今日でも教えられています。

セグメント角度の重要性は、純粋な理論数学を超えて広がります。エンジニアリング、建築、さらには芸術など、形状や比率の正確さが重要なさまざまな分野で実用化されています。

概念の使用法

日常生活では、さまざまな状況でセグメントの角度が観察されます。たとえば、額縁を作成する大工は、木材の端を正確な角度でカットして、それらが完全にフィットするようにする必要があります。ここでは、セグメントの角度によってピースが隙間なく結合され、フレームに望ましい真っ直ぐなコーナーが形成されます。

セグメント角度のもう 1 つの実際的な用途は建設です。専門家は直角器や水平器などの器具を使用して、壁と構造物が完全に位置合わせされ、角度が付いていることを確認します。これは建物の安全性と安定性にとって不可欠です。

医療現場では、特に注射を行う場合、セグメントの角度が非常に重要です。注射の種類に応じて、薬の効果と患者の快適さを確保するために針の挿入角度が異なる場合があります。

レジャー中でもセグメント角は存在します。角度を計算してパスを出したり、ゴールにシュートを打ったりするフットボール選手を思い浮かべてください。ボールの軌道とショットの正確さは、ボール、プレーヤーの足、ゴールの間に形成される角度を直感的に理解することに依存します。

さらに、セグメント角度はナビゲーションと天文学の基本です。航海士は角度を使用してルートと方向を計算し、天文学者は角度を使用して空の星や惑星をマッピングします。

セグメント角度

円に対する線分角または半内接角: は、円上に頂点があり、一方の側が割線で、もう一方の側が円に接する角度です。

  • $t\hat{A}B$ はセグメント角度です
  • $\stackrel{\frown}{AB}$ は対応する円弧です。 ※ $A\hat{O}B$ は半内接角 $t\hat{A}B$ に対応する中心角

セグメント角度の測定

定理: セグメントの角度は、対応する中心角の半分であるか、セグメントの角度の測定値は、対応する円弧の測定値の半分です。

$$\alpha=\frac{\beta}{2}\quad \text{ou}\quad \alpha= \frac{\stackrel{\frown}{AB}}{2}$$

デモンストレーション：

  • ケース 1: $t\hat{A}B$ は鋭角です

二等辺三角形$OAB$において、角度$A$の大きさを計算してみましょう。

$$\hat{A} + \hat{B}+\beta=180^\circ$$

$$\hat{A} + \hat{A}+\beta=180^\circ$$

$$2\hat{A}=180^\circ - \beta$$

$$\hat{A}=90^\circ - \frac{\beta}{2} \quad (1)$$

$t$ は円に接するので、次のようになります。

$$\alpha + \hat{A} = 90^\circ$$

$$\hat{A} = 90^\circ - \alpha \quad (2)$$

(1) と (2) から次のことがわかります。

$$\alpha = \frac{\beta}{2}$$

$\beta= \stackrel{\frown}{AB}$ なので、次も得られます。

$$\alpha = \frac{\stackrel{\frown}{AB}}{2}$$
  • ケース 2: $t\hat{A}B$ は直角です

$AB$ は直径で、$\stackrel{\frown}{AB}=180^\circ$ です。

  • ケース 3: $t\hat{A}B$ は鈍角です。

$t\hat{A}B$ の隣接角を追加すると、ケース 1 と同じになります。

$\blacksquare$

アーク対応

$\alpha$ が可能な円弧: 中心 $O$ と測定角 $\alpha$ を持つ円 $\lambda$ があり、$A\hat{O}B$ が中心であるとします。測定角度 $\beta=2\alpha$。 $A$ と $B$ を通る辺を持ち、$\alpha$ の大きさを持ち、円弧内にある $\lambda$ に対する内接 (または半内接) 角の頂点 $\stackrel{\frown}{ APB }$。

角度 $A\hat{V_1}B$、$A\hat{V_2}B$、$A\hat{V_3}B$、$t_1\hat{A}B$、$t_2\hat{A}B $ にはメジャーがあります:

$$\alpha = \frac{\stackrel{\frown}{AB}}{2}$$

弧 $\stackrel{\frown}{APB}$ は $\alpha$ が可能な弧です

内偏心角

2 つの弦が中心から離れた円の内側の点にある場合、それらが形成する角度は 内部偏心角 と呼ばれます。

内部偏心角の測定は次の式で与えられます。

$$x = \frac{a+b}{2}$$

ここで、$a$ と $b$ は、円弧 $a=\stackrel{\frown}{AC}$ と $b=\stackrel{\frown}{BD}$ の寸法です。

実際、$x$ は三角形の外角です (外角定理)。 $\alpha=\frac{a}{2}$ と $\beta=\frac{b}{2}$ は内接角であるため

このようにして、次のものが得られます。

$$x=\alpha+\beta=\frac{a}{2}+ \frac{b}{2}$$

$$x=\frac{a+b}{2}$$

外偏心角

円の外側の点から開始して、円に対する両方の割線、または両方の接線、または一方の割線ともう一方の接線の 2 本の半直線を描きます。これらの半線は *外部偏心角 と呼ばれる角度を形成します。 *。

外部偏心角の測定は次の式で与えられます。

$$x = \frac{a-b}{2}$$

ここで、$a$ と $b$ は、円弧 $a$ と $b$ の寸法です。

実際、$\alpha=\frac{a}{2}$ と $\beta=\frac{b}{2}$ は内接角または線分の角度であり、$\alpha=x+\beta$ は外接角です。三角形の角度 (定理)。

このようにして、次のものが得られます。

$$x=\alpha-\beta=\frac{a}{2}- \frac{b}{2}$$

$$x=\frac{a-b}{2}$$

考慮事項

つまり、セグメント角度は、数学的概念がいかに単純であると同時に非常に複雑であるかを示す素晴らしい例です。これは、円のさまざまな部分間の関係をより深く理解し、その知識を日常のさまざまな状況で実践的かつ効果的な方法で適用するのに役立ちます。あなたが学生や数学愛好家にとって、セグメント角度の世界を探索することは、挑戦的であると同時にやりがいのある旅となるでしょう。ここでは、円の半内接角に少し貢献しました。次の投稿をお待ちください。