前回の投稿では、円周角について説明しました。ポイントのパワーは、特定の円に対する特定のポイントの相対距離を反映する実数です。これをよりよく理解するために、円の外側に点 A があると想像してください。円とそれぞれ 2 点で交差する A の 2 つの割線を描きます。次に、点 A の累乗は、A から 1 つの交点までの距離と、A から他の割線上の他の交点までの距離の積として定義されます。

この概念は、点が円の内側にある場合にさらに興味深いものになります。この場合、パワーは負であり、点からそこを通過する弦の交点までの距離の積に等しくなります。ポイントの力の美しさは、そのシンプルさと、円のさまざまな部分の間に確立される関係の優雅さにあります。

点の累乗には、複雑な幾何学的問題の解決から幾何学的図形の基本的な特性の理解まで、いくつかの用途があります。たとえば、接線とセカンスに関連する定理を証明したり、円に内接する三角形や多角形の特性を調査したりするために使用できます。

歴史

ポイント パワーの歴史は古代ギリシャにまで遡り、ユークリッド幾何学の基礎を築き、増強の発展に貢献したユークリッドやアルキメデスなどの数学者が活躍しました。ポイント パワーの単一の「発見者」に関する具体的な記録はありませんが、これらの古代の数学者や歴史上の他の多くの人々がこの概念の発展に貢献したことは確かです。

ポイントパワー の指導は高校の数学カリキュラムの重要な部分であり、生徒にピタゴラスの定理や三角法などのより高度な概念の準備をさせます。さらに、このトピックを理解すると、論理的かつ批判的思考が強化され、理論、抽象概念、実際の応用の間のつながりが生まれ、日常生活における数学の関連性が強化されます。

ポイントパワー

点 $P$ が円 $\lambda$ に対して平面内のどこかに配置されているとします。考えられるケースは次のとおりです。

$P$ は $\lambda$ の内部です $P$ は $\lambda$ の外部です

$P$ を介して、$A$、$B$、$C$、$D$ で円と交差する 2 つの競合する直線が通過することに注意してください。したがって、ポイントのパワーは次の場合に分けられます。

$P$ は $\lambda$ の内部です $P$ は $\lambda$ の外部です
同じ円の 2 つの弦が交差する場合、一方の 2 つの部分の測定値の積は、もう一方の 2 つの部分の測定値の積と等しくなります。 円の外側の点 $P$ を介して 2 つの割線分 $PA$ と $PC$ を実行する場合、最初の $\overline{PA}$ と外側の部分 $\overline{PB} の測定の積$ は製品

どちらの場合も、三角形 $PAD$ と $PCB$ 、および共通の角度 $\hat{P}$ を使用すると、次のようになります。

$$\hat{A} = \hat{C} = \frac{\stackrel{\frown}{BD}}{2}$$

三角形 $PAD$ と $PCB$ から、三角形の類似度を使用します。

$$\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}$$

その結果：

$$PA ~.~ PB = PC ~.~ PD$$

一般化

ケース 1: $P$ は $\lambda$ の内部です

文字列を $\overline{AB}$、$\overline{CD}$、$\overline{EF}、\dots$、$\overline{MN}$ とします。文字列 $\overline{AB}$ を修正します。比較のために、次のようになります。

$$PA ~.~ PB = PC ~.~ PD$$

$$PA ~.~ PB = PE ~.~ PF$$

$$PA ~.~ PB = PG ~.~ PH$$

$$ \vdots \qquad \vdots$$

$$PA ~.~ PB = PM ~.~ PN$$

点と円が固定されると、$P$ を通過する文字列 $\overline{AB}$ が何であれ、$PA ~.~ PB$ は定数であることに注意してください。これにより、次のように定義されます。

定義: 積 $PA ~.~ PB$ は、円に関する点 $P$ の累乗と呼ばれます。

$$PA ~.~ PB = PC ~.~ PD = PE ~.~ PF = PG ~.~ PH = \dots = PM ~.~ PN = \text{ 円周に対する P のべき乗 } \lambda (O,r)$$

ケース 2: $P$ は $\lambda$ の外部にあります

正割線分 $\overline{PA}$ をその外側部分 $\overline{PB}$ とし、$\lambda$ に接する線分 $\overline{PT}$ とします。

三角形を $PAT$ と $PTB$ とすると、次のようになります。

$$\hat{A} = \hat{T} = \frac{\stackrel{\frown}{TB}}{2}$$

三角形 $PAT$ と $PTB$ から、三角形の相似性を使用します。

$$\frac{PA}{PT} = \frac{PT}{PB}$$

その結果：

$$PA ~.~ PB = PT^2$$

これは、円に割られた直線の 1 つの場合という特殊なケースです。

ケース 1 と同様に、前の結果では次のようになります。

定義: 積 $PA ~.~ PB$ は、円に関する点 $P$ の累乗と呼ばれます。

$$PA ~.~ PB = PC ~.~ PD = PE ~.~ PF = PG ~.~ PH = \dots = PM ~.~ PN = PT^2= \text{ に対する P のべき乗円周 } \lambda(O,r)$$

解決された演習

  1. 線分 $\overline{DE}$ の寸法を決定します。$\overline{AB}$ は円の直径、$B$ は線分 $\overline{BC} の接点であることがわかります。 $ は円に平行、$\overline{DE}$ は $\overline{BC}$ に平行です

解決：

ポイントの力を使用すると、次のことが可能になります。

$$BC^2 = 9~.~25$$

$$BC = \sqrt{9~.~25} = 3~.~5 = 15$$

ここで、三角形 $ABC$ と $ADE$ の相似性から、次のようになります。

$$\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AD}$$

$$\frac{15}{DE}=\frac{25}{16}$$

$$DE=\frac{15~.~16}{25} = \frac{3 ~.~\cancel{5}^1~.~16}{5~.~\cancel{5}}$$

$$DE=\frac{48}{5}$$
  1. 図から、文字列 $\overline{BD}$ と $\overline{CE}$ の寸法を計算します。

解決：

点の力から、次のようになります。

$$AB ~.~ AD = AC ~.~ AE$$

$$3x (x+1) = (4x-1) x$$

$A$ は円の点に属さないため、$x=0$ は不合理です。この場合：

$$3\cancel{x} (x+1) = (4x-1) \cancel{x}$$

$$3 (x+1) = 4x-1$$

$$3x+3 = 4x-1$$

$$x = 4$$

これから得られるのは、

$$BD = 3x+x+1=17$$

$$CE = 4x-1+x=19$$

考慮事項

点の力は、数学がいかに単純であると同時に非常に複雑であるかを示す素晴らしい例です。彼女は、数学的関係が明らかにする調和と美しさを評価しながら、新しい視点で平面幾何学の世界を探索するよう私たちを誘います。あなたが学生であれ、教育者であれ、あるいは単に数学に情熱を注ぐ人であれ、点の累乗を研究する旅は確かに豊かで刺激的なものとなるでしょう。ここでは、ポイントパワー に少額の寄付が行われました。次の投稿をお待ちください。