以前の投稿では、円周の概要について説明しました。数学は、私たちの周囲の世界を正確かつ美しく理解し、記述することを可能にする魅力的な科学です。幾何学の中で最も興味深いトピックの 1 つは、直線と円の間の相対位置の研究です。この研究分野には豊かな歴史があり、何世紀にもわたって数学者によって行われた重要な発見によって特徴付けられています。

円に対する直線の相対位置は、次の 3 つの主なカテゴリに分類できます。

  • 外装、
  • 乾燥と
  • 接線。

直線の間に共通点がない場合、直線は円の外側とみなされます。直線は、円を 2 つの異なる点で切る場合は割線となり、直線が 1 点で円に接する場合は接線となります。

歴史

これらの概念の発展に貢献した数学者は、さまざまな時代や文化の出身です。平面幾何学の基礎を築いたユークリッドなどの古代ギリシャ人から、幾何学的特性と関係についての理解を広げ続けている現代の数学者まで。

アレクサンドリアのユークリッドは、しばしば「幾何学の父」と呼ばれ、数学の歴史の中心人物です。彼の影響力は非常に大きく、彼の著作「The Elements」は今日に至るまで数学において最も重要で広く研究されているテキストの一つとなっています。

この分野への数学者の貢献の古典的な例は、割線と円が 2 つの異なる点で交差する場合、円の中心と弦の中点を通る線が形成されるというセカントの性質です。交点による角度は割線に垂直になります。この特性は歴史を通じて数学者によって探求され証明されており、幾何学に見られる美しさと単純さの一例です。

もう 1 つの重要な貢献は、接線特性​​の研究です。円の接線は常に接点での半径に対して垂直であり、この発見は工学から芸術に至るまで多くの分野で実用的な意味を持ちます。

乾燥

直線が 2 つの異なる点で円と交差する場合、直線は セカント になります。この場合、円の中心から直線までの距離は、円の半径よりも小さくなります。セカントは円を 2 つの円弧に分割し、円の内側にある直線の部分は弦と呼ばれます。

定義: 円の割直線は、2 つの異なる点で円と交差する直線です。

$$s\cap \lambda = \\{A,B\\}$$

セカントのプロパティ

a) 円 $\lambda(O,r)$ に割った直線 $s$ が中心 $O$ を通らない場合、異なる点 $A で $\lambda$ と交差します。 $ と $B$ $M$ が弦 $\overline{AB}$ の中点の場合、直線 $\overleftrightarrow{OM}$ は割線 $s$ または弦 $\overline{AB に対して垂直になります}$。

シンボル内:

$M$ は $M\neq O$ との弦 $\overline{AB}$ の中点なので、$\overline{OM}\perp \overline{AB}$ となります。

b) 円 $\lambda(O,r)$ に割った直線 $s$ が中心 $O$ を通らない場合、異なる点 $A で $\lambda$ と交差します$ と $B$ を結ぶと、中心を中心とした $s$ への垂線が弦 $\overline{AB}$ の中点を通過します。

シンボル内:

$OM$ を文字列 $\overline{AB}$ に垂直にし、次に $\overline{AM}\equiv \overline{MB}$

接線

直線が円に正確に 1 点で接する場合、直線は円に接します。接線の際立った特徴は、接線の点で円の半径に対して垂直であることです。円の中心から接線までの距離は、円の半径と全く同じです。

円の接線は、円と 1 点で交わる直線です。

円の接線は円と共通の点を持ち、線上の他の点は円の外側にあります。

共通点は接点です。

$$t \cap \lambda = \\{T\\}$$

これは高等教育、より具体的には微分積分（微分）で広く使用されるトピックです。工学や物理学などの正確な分野で広く使用されています。

接線プロパティ

a) 円の端の半径に垂直なすべての直線は円に接します

円 $\lambda (O,r)$ と $T$ がその点の 1 つである場合。

$T$ の $t\perp \overline{OT}$ の場合、$t$ は $\lambda$ に接します。

b) 円のすべての接線は、接点の半径に対して垂直です。

円 $\lambda (O,r)$ と $T$ がその点の 1 つである場合。

$t$ が $T$ の $\lambda$ に接している場合、$T$ の $t \perp \overline{OT}$ になります。

外観

直線間に共通点がない場合、つまり、直線がどの点でも円に触れたり交差したりしない場合、直線は円の外側であるとみなされます。これは、円の中心から直線までの距離が円の半径よりも大きい場合に発生します。

円の外側の直線は、円と交わらない直線です。

$$e \cap \lambda = \varnothing$$

円に対する直線の相対位置

これらの関係は、接点の検索や円のセグメントを含む図形の面積の計算など、線と円の交差に関する問題を解決するために重要です。さらに、エンジニアリング、建築、さらにはナビゲーションなど、さまざまな分野に応用されています。

直線 $s$ と円 $\lambda(O,r)$ があり、中心 $O$ から直線 $s$ までの距離を $d$ として、$d=d_{ と定義します。 O,s}$ $s$ と $\lambda$ には 3 つの可能性があります。

$s$ と $\lambda$ セカント $s$ および $\lambda$ 接線 外部 $s$ と $\lambda$
$s\cap \lambda = \\{A,B\\}$ $s\cap \lambda = \\{T\\}$ $s\cap \lambda = \varnothing$
$d < r$ $d=r$ $d>r$

2 つの円の相対位置

2 つの円の相対位置は解析幾何学の基本概念であり、平面内の円形間の空間的関係を深く理解するのに役立ちます。この概念は、エンジニアリングやデザインなどのさまざまな分野で実際に応用できるだけでなく、複雑な幾何学的問題を視覚化して解決するという精神的な課題にもなります。

2 つの円が取ることができる主な相対位置は 5 つあります。

  1. 接円: 円がちょうど 1 つの点を共有する場合に発生します。これらは、一方の円が他方の円の内側にある内部接線、または隣り合った外部接線にすることができます。

  2. セカント円: 2 つの共通点があることを特徴とします。これは、円の中心間の距離が半径の合計より小さく、半径の差より大きい場合に発生します。

  3. 外周: これらは共通点がなく、中心間の距離が半径の合計より大きいものです。

  4. 内周: 1 つの円は、点を共有することなく、もう 1 つの円の中に完全に含まれています。

  5. 同心円周: 両方とも同じ中心を共有しますが、半径が異なるため、エッジに共通点がありません。

これらの相対位置の分析は、円が互いにどのように相互作用するかを理解するために重要であり、これは接線や交差などの特性に関係する問題を解決するために不可欠です。たとえば、互いに嵌合する機械部品を設計する場合、相対的な位置を理解することで、部品が衝突することなくスムーズに動くようになります。

幾何学を扱う学生や専門家にとって、このトピックをマスターすると、図をより適切に解釈し、複雑な空間問題を解決する能力を向上させるための扉が開かれます。数学の美しさは、私たちの周囲の世界を正確かつ優雅に描写できることにあり、円の相対的な位置はその完璧な例です。

2 つの円を $\lambda_1 (O_1,r_1)$ と $\lambda_2 (O_2,r_2)$ とし、$r_1> r_2$、中心間の距離を $d$ とします。

$\lambda_1$ の内部 $\lambda_2$ $\lambda_2$ の $\lambda_1$ への内部接線 $\lambda_2$ と $\lambda_1$ の正割
$d < r_1 - r_2$ $d=r_1 - r_2$ $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$
内周 接線円 割線の円周
$\lambda_2$ の $\lambda_1$ への外接線 $\lambda_1$ の外部の $\lambda_2$ $\lambda_1$ の内部 $\lambda_2$
$d = r_1 + r_2$ $d>r_1 + r_2$ $d=0$
接線円 外周 同心円周

ここでは、円周に対する相対的な位置にわずかな貢献が行われました。次の投稿を待ちます。