每个有限博弈都有一个均衡点。

— 约翰·纳什，博士论文《非合作博弈》（1950）

有些博弈，如果每个参与者都选定一种固定的出法，就根本没有均衡。最简单的例子是猜单双。安娜押"双"，布鲁诺押"单"，两人各伸出一根或两根手指。和是双数，安娜得一分；是单数，布鲁诺得一分。把每人的选择简化为"一根"或"两根"手指，收益如下：

安娜 / 布鲁诺 1 根 2 根
1 根 (1, −1) (−1, 1)
2 根 (−1, 1) (1, −1)

检验这四种组合：在每一种中，输的一方换一种出法都会获益。固定出法下没有均衡。这很合理：总是出同一种的人，一旦被对方察觉就会输。

抽签是最好的策略

出路是混合：以一定的概率随机选择。混合策略就是各种出法上的一个概率分布。设安娜以概率 $p$ 伸 1 根手指，布鲁诺以概率 $q$ 伸 1 根手指，两人独立抽取。

如果安娜伸 1 根，她的期望收益是 $q\cdot1+(1-q)\cdot(-1)=2q-1$。如果伸 2 根，则是 $q\cdot(-1)+(1-q)\cdot1=1-2q$。只有当两种出法给她相同的收益时，也就是布鲁诺让她无差异时，安娜才愿意混合：

$$2q-1=1-2q\quad\Longrightarrow\quad q=\frac12.$$

同理，只有当 $p=\frac12$ 时布鲁诺才会混合。唯一的均衡是每人各以 50% 的概率伸 1 根或 2 根手指。面对这种混合，任何策略，无论纯的还是混合的，都无法让对方的期望收益大于零。

纳什定理

这正是 1950 年论文的重大成果：每个参与者和出法数目都有限的博弈，只要允许混合策略，就至少有一个纳什均衡。

证明用到一个不动点定理。对每一个混合策略组合，构造另一个组合：每个参与者都把自己的混合稍稍朝收益更高的出法移动一点。这就定义了策略组合集合到其自身的一个连续函数。这个集合就像一个没有洞的球，而布劳威尔定理保证：球到自身的每个连续函数都有一个不动点，即函数不移动的组合。一个不动的点，恰恰就是谁都不想改变的组合：一个均衡。

定理保证均衡存在，但不说它唯一，也不说它容易计算。今天我们知道，在大型博弈中，找到纳什均衡可能是一个极其困难的计算问题。

点球

混合策略最著名的例子发生在球场上。罚点球时，罚球者选择方向，而守门员必须在看到球之前扑出。对于右脚罚球者，自然方向是他的左侧，也就是守门员的右侧。设进球概率如下：

罚球者 / 守门员 守门员扑向自然方向 守门员扑向另一侧
射向自然方向 60% 95%
射向另一侧 90% 70%

这些数字经过取整，但接近欧洲足球的真实数据：守门员扑错方向时罚球者几乎不会失手；自然方向射起来最顺脚，但守门员扑对方向时也最容易扑出。

若罚球者以概率 $p$ 射向自然方向，当两种扑法给出相同的进球概率时，守门员无差异：

$$0.60p+0.90(1-p)=0.95p+0.70(1-p)\quad\Longrightarrow\quad0.20=0.55p\quad\Longrightarrow\quad p\approx0.36.$$

若守门员以概率 $q$ 扑向自然方向，罚球者无差异的条件是

$$0.60q+0.95(1-q)=0.90q+0.70(1-q)\quad\Longrightarrow\quad0.25=0.55q\quad\Longrightarrow\quad q\approx0.45.$$

在均衡中，罚球者只有 36% 的时候射向自然方向，守门员有 45% 的时候扑向那里。进球概率约为 79%。原因是：守门员扑对方向时，自然方向更容易被扑出，进球率 60% 对 70%，所以罚球者更多地使用另一侧来弥补。但他不能总是射另一侧，否则守门员就只会往那边扑。

练习：在猜单双中，如果布鲁诺以 0.8 的概率伸 1 根手指，安娜的最优应对是什么？

伸 1 根，安娜的平均收益是 $2(0.8)-1=0.6$。伸 2 根，收益是 $-0.6$。她应该总是伸 1 根。任何不是 50% 的混合都会被利用。

练习：在石头剪刀布中，纳什均衡是什么？

由对称性，每个人都以概率 $\frac13$ 选择三种出法中的每一种。面对这种混合，任何选择赢、平、输的概率都相同，都是 $\frac13$，期望收益为零。如果有人出石头的频率超过 $\frac13$，对方就会多出布。

来源： John F. Nash，“Non-cooperative games”，Annals of Mathematics 54（1951）· Ignacio Palacios-Huerta，“Professionals play minimax”，The Review of Economic Studies 70（2003）· Avinash Dixit、Barry Nalebuff，The Art of Strategy（Norton，2008）。

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