Euler's Eyes
2026-10-30
极限与连续
在十八世纪，微积分是一台威力惊人而又有点神秘的机器。欧拉把发散级数加起来，却能从中得到正确的结果；拉格朗日试图把一切建立在幂级数上；书里谈论着“无穷小”的量，方便时它是零，不方便时又不是零。这套东西管用，但没有人能确切解释为什么管用。
《分析教程》
1821 年，柯西出版了《皇家综合理工学院分析教程》，内容是他给未来的工程师们讲的课。他在序言中宣布，要赋予分析学“几何学所要求的全部严格性”。一切从一个定义开始：
当同一个变量相继取得的值无限地趋近于一个固定的值，以至于最终与它的差可以随意地小，这个固定的值就称为所有其他值的极限。
— 奥古斯丁-路易·柯西，《分析教程》（1821）
从此，无穷小不再是神秘的量：它只是一个极限为零的变量。例如，当 $n$ 增大时，$\frac{1}{n}$ 是一个无穷小，因为任给一个小数，$\frac{1}{n}$ 最终会比它小，而且再也不会回头。
连续函数
第二个定义是连续。对欧拉来说，连续函数是由单一公式给出的函数。柯西换了一个着眼于函数行为的观念：
如果对于给定界限之间的每个 x 值，差 f(x + α) − f(x) 的数值随着 α 的数值无限地减小，那么函数 f(x) 在这两个界限之间就是连续的。
— 奥古斯丁-路易·柯西，《分析教程》（1821）
用今天的话说：自变量的微小增量只引起函数的微小变化。四十年后，魏尔斯特拉斯用每个学生都熟悉的字母写下了这一点：对每个 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得只要 $|\alpha| < \delta$，就有 $|f(x+\alpha) - f(x)| < \varepsilon$。这两个字母本身在柯西 1823 年的证明中就已经出现。
介值定理
有了这个定义，柯西证明了一个人人都觉得显然的事实：如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号，那么在 $a$ 和 $b$ 之间存在一点使 $f$ 等于零。捷克人伯纳德·波尔查诺在 1817 年发表过一个证明，但几乎没人读过。
柯西的思路是不断缩小区间。最简单的形式是二分法：把 $[a, b]$ 对半分，保留函数仍然变号的那一半。重复下去，就得到一串嵌套的区间，每一个的长度都是前一个的一半。左端点组成一个只增不减的数列，右端点组成一个只减不增的数列，两者的距离趋于零：它们有同一个极限 $c$。由连续性，$f(c)$ 既是一侧端点处负值的极限，又是另一侧端点处正值的极限。只能是 $f(c) = 0$。
以 $f(x) = x^3 - 2x - 5$ 为例，这是牛顿用来展示他的方法的方程。由于 $f(2) = -1$，$f(3) = 16$，在 2 和 3 之间有一个根：
| 步 | 区间 | 中点 $m$ | $f(m)$ |
|---|---|---|---|
| 1 | $[2,\ 3]$ | $2.5$ | $5.625 > 0$ |
| 2 | $[2,\ 2.5]$ | $2.25$ | $1.891 > 0$ |
| 3 | $[2,\ 2.25]$ | $2.125$ | $0.346 > 0$ |
| 4 | $[2,\ 2.125]$ | $2.0625$ | $-0.351 < 0$ |
| 5 | $[2.0625,\ 2.125]$ | $2.09375$ | $-0.009 < 0$ |
五步之后，根落在 $[2.09375,\ 2.125]$ 中；准确值是 $2.0945515\ldots$ 在图中逐步推进，看区间如何收拢：
练习：需要几步？
从长度为 1 的区间开始，需要多少步二分，才能保证求得的根误差小于 $10^{-6}$？
$n$ 步之后区间长度为 $2^{-n}$。要求 $2^{-n} < 10^{-6}$，即 $2^n > 1\,000\,000$。由于 $2^{19} = 524\,288$，$2^{20} = 1\,048\,576$，所以 $n = 20$ 步就够了。每一步大约多得到 0.3 位小数，因为 $\log_{10} 2 \approx 0.301$。
练习：一个五次方程
证明 $x^5 - x - 1 = 0$ 在 1 和 2 之间有一个根，并做三步二分。
$f(1) = -1 < 0$，$f(2) = 32 - 2 - 1 = 29 > 0$。由于 $f$ 连续，$[1, 2]$ 中有一个根。第 1 步：$f(1.5) \approx 5.09 > 0$，根在 $[1,\ 1.5]$ 中。第 2 步：$f(1.25) \approx 0.80 > 0$，剩下 $[1,\ 1.25]$。第 3 步：$f(1.125) \approx -0.32 < 0$，剩下 $[1.125,\ 1.25]$。根是 $1.1673\ldots$ 正如阿贝尔和伽罗瓦所证明的，这个方程无法用根式求解，但二分法可以把它求到任意多位小数。
来源： Augustin-Louis Cauchy，Cours d’analyse de l’École royale polytechnique. 1re partie: Analyse algébrique（1821），第 2 章及注 III · Judith V. Grabiner，The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus（1981） · Robert E. Bradley、C. Edward Sandifer，Cauchy’s Cours d’analyse: An Annotated Translation（2009） · George Berkeley，The Analyst（1734）。
图片来源.