Euler's Eyes
2026-10-29
杠杆定律
早在阿基米德之前，人们就已经用杠杆撬石头、从井里打水、称量货物。阿基米德的新贡献，是把杠杆变成了一条定理。在《论平面图形的平衡》中，他从几条简单的公理出发，例如“等重物在等距离处平衡”，像欧几里得的《几何原本》那样推导出一般定律。
定律
无论是可公度的还是不可公度的量，当它们到支点的距离与它们的重量成反比时，就处于平衡。
— 阿基米德，《论平面图形的平衡》，第一卷，命题 6 与 7
如果重量 $P_1$ 在支点一侧距离 $d_1$ 处，重量 $P_2$ 在另一侧距离 $d_2$ 处，杠杆平衡的条件是
$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_2}{d_1} \quad\Longleftrightarrow\quad P_1\,d_1 = P_2\,d_2.$$离支点远的小重物可以平衡离支点近的大重物。乘积 $P \cdot d$，今天称为力矩，正是两边必须相等的量。
证明的思路
最简单的情形可以说明论证的精神。假设左边距支点 1 处有一个 2 单位的重物，右边距支点 2 处有一个 1 单位的重物。把 2 单位的重物换成两个分开的单位重物，一个正好在支点上，另一个在左边距离 2 处。这两个重物的重心仍在距离 1 处，所以根据一条公理，平衡不变。但现在我们有三个相等的重物，位于 $-2$、$0$ 和 $+2$：一排关于支点对称的重物，显然是平衡的。阿基米德把这种推理推广到任意可公度的重量，把它们分成相等的单位；再用反证法推广到不可公度的情形。
重心
同一部著作还教人求平面图形的重心：图形放在针尖上能保持平衡的那一点。例如，阿基米德证明三角形的重心是三条中线的交点，位于每条中线从顶点算起的三分之二处。把整个图形看作重量集中在一点上，这个想法是他用来发现自己最伟大公式的方法的关键。
练习：独轮车
一辆独轮车装着 60 千克沙子，沙子的重心离车轮 40 厘米。双手握在离车轮 120 厘米的车把上。双手需要承受多大的重量？
车轮是支点。两边力矩必须相等：$60 \times 40 = F \times 120$，所以 $F = 20$ 千克。独轮车是一种重物位于支点和用力点之间的杠杆，双手只需承受三分之一的重量。
练习：撬动地球
地球的质量约为 $6 \times 10^{24}$ 千克。如果阿基米德用相当于 60 千克的力推动，想用一根短臂长 1 米的杠杆平衡地球，长臂需要多长？要把地球抬高 1 厘米，他得把杠杆末端移动多远？
根据定律，$6 \times 10^{24} \times 1 = 60 \times d$，所以 $d = 10^{23}$ 米，约一千万光年，比到仙女座星系的距离还远。由于位移与力臂成同样的比例，要把地球抬高 1 厘米，末端得下降 $10^{23} \times 0.01 = 10^{21}$ 米。定律是对的，缺的是那个支点。
来源： 阿基米德，《论平面图形的平衡》，第一卷 · 亚历山大的帕普斯，《数学汇编》，第八卷 · 普鲁塔克，《马塞卢斯传》，14 · E. J. Dijksterhuis，Archimedes（1956），第九章 · Thomas L. Heath，The Works of Archimedes（1897）。
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