约翰·伯努利没有写出一部伟大的书，不像哥哥写了《猜度术》，也不像牛顿写了《原理》。他最有名的书是以别人的名义出版的。他留下的是一种工作方式：把每个物理或几何问题变成一个方程，再用莱布尼茨的微积分去解。他还留下了学生。

莱布尼茨的斗士

在牛顿与莱布尼茨谁发明了微积分的争论中，约翰是莱布尼茨一方最好斗的战士。1713 年初，牛顿担任会长的皇家学会发表了一份报告，把优先权判给牛顿。莱布尼茨用一份匿名传单《飞页》（Charta volans）回应，其中引用了"一位杰出数学家"的判断：那就是约翰。此后几年，约翰不断用难题挑战英国数学家，他认为这些题用牛顿的方法是解不出来的。莱布尼茨于 1716 年去世，约翰又独自吵了好多年。这场争论让英国数学与欧洲大陆的数学隔绝了将近一个世纪。

“函数"这个词

数学意义上的 函数 一词，诞生于 1690 年代莱布尼茨与约翰之间的通信。1718 年，约翰发表了第一个定义：

我把一个变量的函数称为由这个变量和常数以任何方式组成的量。

— 约翰·伯努利，《巴黎科学院论文集》（1718）

他用希腊字母 $\varphi$ 表示 $x$ 的函数，有时写作 $\varphi x$，不加括号。是他的学生欧拉在 1734 年开始写成 $f(x)$。本站旧的函数课程中有这些记号的年表：

年份 作者 记号
1694 约翰·伯努利 用一个字母，例如 $n$，表示依赖于 $x$ 的量
1698 约翰·伯努利 用 $X$ 或 $\xi$ 表示 $x$ 的函数
1718 约翰·伯努利 $\varphi x$
1734 莱昂哈德·欧拉 $f\left(\frac xa+c\right)$

一个学派

约翰教出的重要数学家，比他那个世纪的任何其他老师都多。其中有：

  • 洛必达侯爵，他把约翰的课写成了第一本微积分教科书。
  • 儿子尼古劳斯二世、丹尼尔和约翰二世。 丹尼尔创立了流体动力学，提出了以伯努利命名的原理；约翰二世继承了父亲的教席。
  • 莱昂哈德·欧拉，那个世纪最伟大的数学家，约翰每逢星期六指导他。
  • 皮埃尔-路易·莫罗·德·莫佩尔蒂，提出了最小作用量原理；以及 亚历克西·克莱罗，研究了地球的形状。

通过欧拉，这条师承一直延续到在柏林接替欧拉的拉格朗日，又从那里延续到十九、二十世纪数学的很大一部分。

留下了什么

  • 微积分。 洛必达法则、对数求导法、指数演算，以及函数的定义。
  • 曲线。 悬链线和最速降线，以及运动与光之间的类比。
  • 变分法。 最速降线挑战和与雅各布关于等周问题的争论，为欧拉和拉格朗日开辟了道路。
  • 力学。 虚功原理，静力学和《分析力学》的基础。
  • 教学。 一代数学家，欧拉居首。

要点回顾

  • 约翰·伯努利生于 1667 年，卒于 1748 年：巴塞尔、巴黎、格罗宁根，再回到巴塞尔，接替了哥哥雅各布。
  • 悬链线，即悬挂链子的曲线，是 $y=a\cosh\frac xa$。倒过来，就是拱的理想形状。
  • 如果 $f(a)=g(a)=0$，$\frac fg$ 在 $a$ 处的极限等于 $\frac{f'}{g'}$ 的极限：这就是来自约翰课程的洛必达法则。
  • 最速降线，即最快的滑梯，是一条摆线。约翰把小球当作一束光，找到了它。
  • $x^x$ 的导数是 $x^x(\ln x+1)$；最小值在 $x=\frac1e$。
  • 平衡时，所有力的虚功之和为零。

来源： 约翰·伯努利传记，MacTutor · Florian Cajori，A History of Mathematical Notations，第二卷（1929），§§ 642–643 · A. Rupert Hall，Philosophers at War: The Quarrel between Newton and Leibniz（Cambridge，1980）。

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