Euler's Eyes
2026-10-25
用手和耳朵阅读：盲文与内米斯码
普通的数学书写是二维的。在 $\frac{x+1}{2}$ 中，分数线上面的东西被下面的东西除；在 $x^2$ 中，$2$ 在高处，所以是指数；在 $\sqrt{x+1}$ 中，根号的横线恰好盖住里面的东西。位置是符号的一部分，就像一个数字在数中的位置。眼睛一下子就读出了这一切。可是不用眼睛阅读的人呢？
布莱尔的点
1829 年，法国人路易·布莱尔——五岁起失明，后来在巴黎皇家盲童学校任教——发表了一套用六个凸点排成两列、每列三个的书写系统。每一种组合就是一个符号：至少有一个点的组合共有 $2^6 - 1 = 63$ 种，足够表示字母、标点和数。对于数，布莱尔用了一个省事的办法：在前十个字母前加一个数符，就让 $a$ 表示 $1$，$b$ 表示 $2$，直到 $j$ 表示 $0$。
盲文是一种线性书写：一个符号接一个符号，排成一行。要用它写数学，就得用符号说出普通书写用位置表达的东西：分数从哪里开始、在哪里结束，指数在哪里结束，根号盖到哪里。
算术方块
做算术时，盲校长期使用算术方块（cubarithme）：一块分成方格的板，格子里可以放入小立方块，每一面都刻有一个盲文数字。学生像在练习本上一样列竖式，个位对齐个位，用手指去摸一列列数字。位置又回来了，这回是通过触觉。
内米斯码
美国人亚伯拉罕·内米斯（1918–2013）生来失明，曾被劝阻不要学数学：别人告诉他，他没有办法读公式。他读了心理学，做过别的工作，业余时间继续学数学；最终在哥伦比亚大学获得了数学博士学位，并在大学执教了几十年。为了读写所学的东西，他创造了一套数学盲文码，1952 年在美国被正式采用，至今仍称为内米斯码。
这套码的核心思想，是把位置变成开始与结束的符号。一个分数写成“分数开始，分子，分数线，分母，分数结束”；一个指数写成“上升一层，指数，回到基线”。今天我们在键盘上输入数学时，出于别的原因做的正是同样的事：
$$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$在高德纳的 TeX（本网站通篇使用的书写方式）中变成
\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
用花括号代替位置。在这两种情况下，线性化都揭示了结构：书写者必须说出每一部分从哪里开始、在哪里结束。
大声读
屏幕阅读器和口述公式的老师面对的是同一个问题。“$x$ 加一除以二”可以是 $\frac{x+1}{2}$，也可以是 $x + \frac{1}{2}$。在日常说话中，区别靠停顿和语调来表达，而这些在文本里都消失了。能读数学的屏幕阅读器像内米斯那样解决这个问题：它们说“分数开始，$x$ 加一，除以二，分数结束”。听起来很啰嗦，但这恰恰是图形不用文字就交给眼睛的信息。
练习：口述时不产生歧义
用文字写出 $\sqrt{x+1}$、$\sqrt{x} + 1$ 和 $\frac{\sqrt{x+1}}{2}$，使听的人不可能弄错。
“根号，开，$x$ 加一，关。”“根号 $x$，根号结束，加一。”“分数开始：根号，开，$x$ 加一，关；除以二；分数结束。”“开”“关”“结束”这些词，起的正是普通书写所画线条的作用。
练习：从键盘到纸上
用普通记号写出 \frac{1}{1+\frac{1}{x}} 和 x^{2^n}，并化简第一个。
第一个是 $\dfrac{1}{1 + \frac{1}{x}}$，分数里套着分数。上下同乘 $x$，得 $\dfrac{x}{x+1}$（$x \neq 0$ 且 $x \neq -1$）。第二个是 $x^{2^n}$：指数 $2^n$ 自己还有指数，花括号说明 $n$ 属于 $2$，而不属于 $x$。