炸弹机很快，但还不够快，无法测试海军恩尼格玛的每一种转子顺序。1940 年，图灵发明了一种纸笔方法，在开动机器之前就排除掉大部分顺序。由于这种方法用的纸张印制于班伯里镇，同事们把它命名为班伯里法（Banburismus）。

这是一种统计方法。为了设计它，图灵重新发明了现代统计学的一个核心思想。

重复出现的字母

把两份德文电报上下对齐，数一数两者在同一位置有相同字母的地方。由于德语大量使用 E、N、R 和 I，重合会比字母随机抽取时频繁得多。在德文文本中，对齐的两个字母相同的概率约为 $\frac1{17}$；如果字母是随机的，这个概率是 $\frac1{26}$。

恩尼格玛以一种奇特的方式保留了这个性质：如果两份电报是用同一串转子位置加密的，原文中的重合在密文中仍然是重合，因为同一位置上的相同字母会变成相同的字母。如果位置不同，比率就降到 $\frac1{26}$。所以，数重合的次数就为“两份电报是否对齐”提供了证据，从而透露出转子位置的信息。

一次重合值多少

图灵问：一次重合应该使我对“电报已对齐”的信心增加多少？答案是似然比，即在一种情况下看到重合的可能性是另一种情况的多少倍：

$$\frac{\text{对齐时重合的概率}}{\text{未对齐时的概率}}=\frac{1/17}{1/26}=\frac{26}{17}\approx1.53.$$

一个没有重合的位置则是相反方向的证据，弱得多：

$$\frac{16/17}{25/26}=\frac{416}{425}\approx0.979.$$

按照贝叶斯定理，每条证据都把几率（一个假设的概率与另一个假设的概率之比）乘以它的似然比。位置多了，乘法就多，而手算乘法很慢。

用加法代替乘法

图灵做了纳皮尔三个世纪前做过的事：改用对数，把乘法变成加法。他把似然比的常用对数称为班（ban），把它的十分之一称为分班（deciban）：

$$\text{以分班计的权重}=10\log_{10}(\text{似然比}).$$

现在，每次重合值

$$10\log_{10}\frac{26}{17}\approx+1.8\ \text{分班},$$

每个没有重合的位置值

$$10\log_{10}\frac{416}{425}\approx-0.09\ \text{分班}.$$

第 8 号营房的操作员只需计数和相加。总计 $+20$ 分班，意味着证据使这个假设的几率变成原来的 $10^2=100$ 倍。

练习：把证据加起来

两份电报对齐了 200 个位置，有 14 处重合。总权重是多少分班？对齐的假设变得更可能了吗？

有 14 处重合和 186 个无重合的位置：$14\cdot1.8+186\cdot(-0.09)\approx25.2-16.7=8.5$ 分班。是正的：支持对齐的几率大约乘以 $10^{0.85}\approx7$。如果字母随机，预期的重合是 $200/26\approx7.7$ 次；如果对齐，是 $200/17\approx11.8$ 次。14 次更符合对齐。

练习：多少次重合打成平手？

在 100 个位置中，多少次重合 $k$ 会使总权重为零？

$1.8k-0.09(100-k)=0$，即 $1.89k=9$，$k\approx4.8$。在 100 个位置中有 5 次或更多重合，证据就已偏向对齐。这个数介于随机预期 $100/26\approx3.8$ 和对齐预期 $100/17\approx5.9$ 之间。

来源： I. J. Good, “Studies in the history of probability and statistics XXXVII: A. M. Turing’s statistical work in World War II”, Biometrika（1979）· Andrew Hodges, Alan Turing: The Enigma（1983）· Sharon Bertsch McGrayne, The Theory That Would Not Die（2011）。

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