一台三转子的恩尼格玛，陈列于美国国家安全局的国家密码学博物馆。上部是转子，中间是灯板，下面是键盘，最前面是接线板。
一台三转子的恩尼格玛，陈列于美国国家安全局的国家密码学博物馆。上部是转子，中间是灯板，下面是键盘，最前面是接线板。National Security Agency · Wikimedia Commons · 公有领域

恩尼格玛看上去像一台装在木箱里的打字机。操作员在键盘上按下一个字母，灯板上就亮起另一个字母。第二个操作员记下亮起的字母，这串字母再用摩尔斯电码通过无线电发出去。在另一端，一名操作员用一台同样设置的同型机器，敲入密文，就能在灯板上读出原文。

在键与灯之间，电流穿过一座迷宫：接线板、三个内部交叉布线的转子、一个把电流送回去的反射器，再经过三个转子，再经过接线板。而且每按一次键，第一个转子就转一格，整座迷宫随之改变。

数一数密钥

德国人信任恩尼格玛，是因为可能的设置数量庞大。我们用帕斯卡教给我们的组合数学，为 1939 年的陆军型号数一数。

转子。 从一盒 5 个转子中选出 3 个，顺序有关：

$$5\cdot4\cdot3=60.$$

初始位置。 每个转子从 26 个字母中的某一个开始：

$$26^3=17\,576.$$

接线板。 十根连线把字母两两相连，互相交换。用 26 个字母组成 10 对，有多少种方法？把 26 个字母排成一排，有 $26!$ 种排法，用前 20 个字母两两配对。最后 6 个不接线，它们的顺序无关紧要：除以 $6!$。10 对之间的顺序无关紧要：除以 $10!$。每对内部的顺序无关紧要：除以 $2^{10}$。结果是

$$\frac{26!}{6!\cdot10!\cdot2^{10}}=150\,738\,274\,937\,250.$$

总数。 相乘：

$$60\cdot17\,576\cdot150\,738\,274\,937\,250\approx1.59\times10^{20}.$$

大约 1.59×10²⁰ 个密钥，还没算转子的字母环。每秒试一百万个密钥，也要大约五百万年才能全部试完。

缺陷

反射器有一个实际的好处：同一种设置下，机器既能加密也能解密。但它也带来了一个先天缺陷：由于电流总是从不同的路径返回，没有一个字母能被加密成它自己。A 永远不会变成 A。

这看起来微不足道，却是决定性的。密码分析员知道，许多电报含有可以预料的词，他们称之为 crib，“提示词”：早上 6 点的天气预报以 WETTERVORHERSAGE 开头，许多报告写着 KEINE BESONDEREN EREIGNISSE，“无事可报”。要找出提示词在密文中的位置，只需把它沿着密文滑动，凡是某个字母与它下方密文字母相同的位置，统统排除。

Q F Z W R W I K T Y R E S X B F O G K U H Q
W E T T E R V O R H E R S A G E              ← S 对 S：不可能
        W E T T E R V O R H E R S A G E      ← 没有重合：可能

在第一个位置，提示词中的 S 会落在密文的 S 上，而恩尼格玛从不这样做：这个位置被排除。往后四格，没有字母重合，这个位置仍是候选。

炸弹机

布莱切利园重建的图灵–韦尔奇曼炸弹机。每组三个彩色鼓模仿一台恩尼格玛的三个转子；机器依次测试各个位置，排除与提示词矛盾的位置。
布莱切利园重建的图灵–韦尔奇曼炸弹机。每组三个彩色鼓模仿一台恩尼格玛的三个转子；机器依次测试各个位置，排除与提示词矛盾的位置。Mike Peel · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0

波兰人马里安·雷耶夫斯基、耶日·鲁日茨基和亨里克·佐加尔斯基从 1932 年起就在阅读恩尼格玛电报，还为此造了一台机器，叫 bomba。1939 年 7 月，在德国入侵波兰前几周，他们把一切都交给了英国人和法国人。但德国人已经让恩尼格玛变得更复杂，而波兰的方法依赖于一个德国人已经放弃的习惯。

图灵设计了一台基于提示词的、更通用的新机器。思路是逻辑的：把提示词放在某个位置，就会在字母之间强加联系，比如“如果 A 接到 E，那么三步之后，T 接到 R”。这些推论构成回路，错误的转子设置很快就会导致矛盾，比如“A 同时接到 A 和 B”。炸弹机用电的方式遍历 17 576 个转子位置，只在不产生矛盾的位置停下。戈登·韦尔奇曼加了一块“对角板”，使搜索效率大大提高。第一台炸弹机在 1940 年 3 月开始工作；到战争结束时，已有两百多台。

练习：如果有 8 个转子呢？

德国海军从一盒 8 个转子中选 3 个。转子顺序有多少种？

$8\cdot7\cdot6=336$，是陆军 60 种的五倍多。这就是为什么图灵攻克的海军恩尼格玛最难。

练习：只接一根线

在接线板上只接一根线，有多少种接法？两根线呢？

一根线就是选一对字母：$\binom{26}2=\frac{26\cdot25}2=325$。两根线：先选第一对，再从剩下的 24 个字母中选第二对，因为两根线的顺序无关，所以除以 2：$\frac{325\cdot276}{2}=44\,850$。通用公式给出同样的结果：$\frac{26!}{22!\cdot2!\cdot2^2}=44\,850$。

来源： Andrew Hodges, Alan Turing: The Enigma（1983）· Simon Singh, The Code Book（1999）· The Turing–Welchman Bombe, The National Museum of Computing。

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