心灵有其理由，而理性对此一无所知。

— 布莱兹·帕斯卡，《思想录》

帕斯卡留下的完整著作很少。他写的数学几乎都是以单页、书信的形式，或者在他去世后才发表的。尽管如此，很少有哪位作者会出现在这么多不同的地方：学校里的三角形、天气预报、汽车的刹车、保险的计算，甚至一种编程语言的名字。

赌注

《思想录》中最著名的一段与几何无关，但它用到了帕斯卡刚刚和费马一起发明的数学：这就是帕斯卡的赌注。它并不试图证明上帝存在。帕斯卡说理性无法裁决这个问题，于是问押哪一边更划算，并像计算期望值那样，按机会权衡得失。只要信仰一方的收益是无穷大，任何正的概率就都足够了。这个论证、它的三种形式以及狄德罗和伏尔泰的反驳，见帕斯卡的赌注。它被认为是决策论——在不确定性下做选择的数学——的第一篇文字。

给费马的最后一封信

1660 年，费马提议两人见一面，各走图卢兹和克莱蒙之间路程的一半。帕斯卡因病婉拒了，他的回信显示了他晚年如何看待数学：

坦白地说，我认为几何是心智最高的锻炼；但同时我又知道它是如此无用，以至于我认为一个只是几何学家的人和一个熟练的工匠没有多大区别。

— 布莱兹·帕斯卡，致费马的信（1660 年 8 月 10 日）

两人终生未曾谋面。

留下了什么

  • 概率论。 1654 年的通信启发了惠更斯，他在 1657 年出版了这一主题的第一本书。随后有雅各布·伯努利、棣莫弗和拉普拉斯。保险、彩票、统计学和数据科学都源自那些信。
  • 组合数学与归纳法。 《算术三角形论》整理了组合问题，并第一次清楚地表述了数学归纳法。
  • 射影几何。 神秘六边形成为射影几何的奠基定理之一，19 世纪又被彭赛列和布里昂雄重新发扬。
  • 微积分。 莱布尼茨说，正是在读帕斯卡关于四分之一圆的著作时，他想到了特征三角形，这是通向微积分的一步。
  • 物理学。 真空实验和多姆山实验终结了“自然厌恶真空”的说法，催生了气压计和高度计。帕斯卡原理存在于每一个液压系统中。
  • 计算。 帕斯卡计算器是第一台被制造和出售的计算机器。

留下来的名字

1971 年，国际单位制的压强单位被命名为帕斯卡（Pa）。天气预报说“1013 百帕”时，指的就是 $101\,300$ Pa，也就是帕斯卡让姐夫去测量的海平面气压。

1970 年，瑞士计算机科学家尼克劳斯·维尔特设计了一种用来清晰地教授编程的语言，并为了纪念帕斯卡计算器的发明者，把它命名为 Pascal。好几代学生都是用它学会编程的。

要点回顾

  • 帕斯卡生于 1623 年，卒于 1662 年。16 岁时发表六边形定理；19 岁时开始制造帕斯卡计算器。
  • 在算术三角形中，每个数都是它上方两个数之和，第 $n$ 行的和是 $2^n$，这些数就是组合数 $\binom nk$。
  • 在帕斯卡之前，印度、波斯、中国和欧洲都已经知道这个三角形；他对它做了深入的研究。
  • 1654 年，帕斯卡和费马一起创立了概率论和期望值的概念。
  • 一道摆线拱下的面积是 $3\pi r^2$，等于轮子面积的三倍。
  • 在静止的液体中，压强的增量会等值地传递到各点；水压机放大了力，但没有放大功。
  • 在多姆山顶，水银柱下降了 8.5 厘米：空气是有重量的。
练习：一张抽奖券 5 雷亚尔，有 1/25 的机会赢 100 雷亚尔。按期望值算，值得买吗？

期望收益是 $100\cdot\frac{1}{25}=4$ 雷亚尔。奖券要 5 雷亚尔，所以每张的期望值是 $4-5=-1$ 雷亚尔。平均每买一张亏 1 雷亚尔。

练习：天气预报说气压是 990 百帕。这相当于多少毫米汞柱？

这是 $99\,000$ Pa。水银柱的高度是 $h=\dfrac{99\,000}{13\,600\cdot9.81}\approx0.742$ m，即 $742$ mmHg。这么低的气压通常意味着天气不稳定。

资料来源： 帕斯卡传记，MacTutor · 帕斯卡与费马的通信，英译本。

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