1962 年，曾在哈佛任教、当时在 IBM 工作的加拿大人肯尼斯·艾弗森出版了一本名为《一种编程语言》（A Programming Language）的书。尽管书名如此，它其实是一本讲数学记号的书：一种简洁而精确地书写算法的方法，用新的符号表示对整个数列和数表的运算。几年后，IBM 自己把这套记号变成了计算机可以执行的语言，并以书名为它命名：APL。

下取整、上取整与括号

艾弗森的一些符号离开了 APL，进入了普通数学。最著名的是下取整与上取整这一对：

$$\lfloor x \rfloor = \text{不大于 } x \text{ 的最大整数}, \qquad \lceil x \rceil = \text{不小于 } x \text{ 的最小整数}.$$

在他之前，人们写 $[x]$ 或“$x$ 的整数部分”，而上取整没有符号。有了这两个符号，需要分几种情况的计算可以写在一行里：$1$ 到 $100$ 之间 $7$ 的倍数有 $\lfloor 100/7 \rfloor = 14$ 个。

另一个符号，艾弗森括号，把一个命题变成一个数：

$$[P] = \begin{cases} 1, & P \text{ 为真}, \\ 0, & P \text{ 为假}. \end{cases}$$

有了它，“数一数 $1$ 到 $n$ 之间的偶数”就成了一个普通的和 $\sum_{k=1}^{n} [k \text{ 是偶数}]$，而这个和可以用通常的规则来处理。高德纳在 1992 年一篇名为《关于记号的两则札记》（Two notes on notation）的文章中为这种括号辩护，并在与罗纳德·格雷厄姆、奥伦·帕塔什尼克合写的《具体数学》一书中通篇使用它。上一篇中的克罗内克 δ 只是一个特例：$\delta_{ij} = [i = j]$。

五种品质

1979 年，艾弗森获得计算机领域的最高奖项图灵奖，并作了一次演讲，其题目后来成了一句流行语：作为思维工具的记号（Notation as a tool of thought）。他在其中列出了好记号的五种品质：

  1. 易于表达问题中出现的想法。
  2. 启发性：书写的形式能提示步骤和推广。
  3. 细节的从属：不重要的东西被隐藏起来。
  4. 经济：少量符号，以多种方式组合。
  5. 适于证明：书写便于进行形式化的论证。

这正是本书所说的能动的记号，由一位毕生设计记号的人说了出来。APL 把它推向了极端：整个程序可以写在一行里，用一种布满希腊字母和数学符号的专用键盘写成。对掌握它的人来说，它是非凡的思维工具；对其他人来说，它看上去像密码。没有人能证明更密集的记号总是更好。

命名法、记号和语言作为思维工具的重要性，早已为人们所认识。

— 肯尼斯·艾弗森《作为思维工具的记号》（1980）
练习：用括号计数

计算 $\sum_{k=1}^{30} [3 \mid k]$，其中 $3 \mid k$ 表示“3 整除 $k$”，并用下取整检验。

当 $k = 3, 6, 9, \ldots, 30$ 时，括号为 $1$，其余为 $0$：共有 $10$ 项等于 $1$。用下取整，$\lfloor 30/3 \rfloor = 10$。一般地，$\sum_{k=1}^{n} [d \mid k] = \lfloor n/d \rfloor$，这个等式让艾弗森的两个符号彼此对话。

练习：下取整与上取整

计算 $\lfloor 2.7 \rfloor$、$\lceil 2.7 \rceil$、$\lfloor -2.7 \rfloor$ 和 $\lceil -2.7 \rceil$。

$\lfloor 2.7 \rfloor = 2$，$\lceil 2.7 \rceil = 3$，$\lfloor -2.7 \rfloor = -3$，$\lceil -2.7 \rceil = -2$。后两个说明了为什么“整数部分”是一个含糊的名称：对负数来说，“去掉小数部分”得到 $-2$，那是上取整而不是下取整。艾弗森的记号迫使人说清楚要的是哪一个。

本章目录 · ← 部落的约定：爱因斯坦、布尔巴基和入门的读者 · 发号施令的等号：x = x + 1 与编程语言 →