Euler's Eyes
2026-10-19
图与地图：只看谁连着谁的图
普鲁士的柯尼斯堡城被普雷格尔河穿过，河中形成两个岛，七座桥把城市的四个部分连在一起。居民们想知道，能不能散一次步，每座桥恰好走一次。1736 年，欧拉证明了不能。历史书在柯尼斯堡七桥那一篇里讲了这个证明。这里关心的是欧拉对图做了什么。
扔掉地图
城市地图显示街道、房屋、距离、河的宽度、岛的形状。欧拉意识到，这些对问题都不重要。重要的只是城市的哪些部分由哪些桥连接。每个部分变成一个点；每座桥变成两点之间的一条线。结果就是今天所说的图：四个点和七条线。
在这张图里，大小、距离和形状都不再有意义。可以把一条线拉长，把一个点挪个位置，把一切都弄弯：只要连接关系不变，图就还是那张图。用皮尔斯的话说，图是一种非常特殊的图像符号：它只在连接关系上与城市相似。这是一种严格挑选了复制什么的图像符号。
正是这张被简化了的图让答案显现出来。散步时，每次从一座桥进入一个点，就要从另一座桥离开；所以路线中途的每个点都必须连着偶数条线。在柯尼斯堡，四个点分别连着 $5$、$3$、$3$ 和 $3$ 条线：全是奇数。这样的散步是不可能的。
不再是地图的地图
1931 年，伦敦地铁的一位技术绘图员哈里·贝克提出了一种新的地图。旧地图遵循地理：线路在市中心缠成一团，在郊区四散开来，没人看得懂。贝克意识到，乘客不需要知道车站在哪里，而需要知道车站按什么顺序排列、在哪里换乘。他只画直线——水平的、竖直的和 $45°$ 的——车站之间的距离都相等。
1933 年出版的贝克地铁图是一张图，而不是一张地图。它完全扭曲了地理，而这正是它好用的原因。几乎世界上所有的地铁——包括圣保罗、东京和上海的地铁——都采用了同样的原则。代价是游客有时会坐地铁去一个步行五分钟就能到的车站，因为在图上它看起来很远。
同一个图，不同的画法
由于只有连接关系重要，同一个图可以有非常不同的画法。一个画了两条对角线的正方形，和从上方看的三棱锥，是同一个图：四个点，两两相连。判断两张画是否表示同一个图，对大的图来说是一个出奇困难的问题，它有一个名字：图同构问题。
有时画法确实重要。如果一个图能画得没有任何两条线交叉，它就是平面图。这决定了，比如说，一块印刷电路能否只用一层做成。
练习：第八座桥
如果居民们建造第八座桥，连接河的两岸，散步会变得可能吗？
两岸原来各连着 $3$ 条线；有了新桥，各连 $4$ 条。度数变成 $5$、$4$、$4$ 和 $3$：只有两个奇数点。每座桥走一次的散步变得可能，从一个奇数点出发，在另一个奇数点结束。
练习：为什么 K₃,₃ 不是平面图
用平面图的欧拉公式 $V-E+F=2$（顶点数减边数加面数）证明 $K_{3,3}$ 不是平面图。
$K_{3,3}$ 有 $V=6$，$E=9$。如果它是平面图，就有 $F=2-6+9=5$ 个面。$K_{3,3}$ 里没有三角形（每条连线都从房子连到设施），所以每个面至少有 $4$ 条边。由于每条边最多是 $2$ 个面的边界，$4F\leq2E$，即 $20\leq18$，矛盾。所以不存在没有交叉的画法。