本章逐个阅读了微积分的符号。下面的指南汇集了有助于把它们放在一起读的问题。

关于微积分的五个问题

  1. 谁在变？相对于谁变？ 在 $\frac{dy}{dx}$ 中，两个字母都写出来了。在 $f'$ 中，变量是隐含的；在 $\dot x$ 中，变量是时间。如果不清楚，就把它写出来。
  2. 这是有限差还是极限？ $\Delta$ 和 $\Sigma$ 是用数字做的计算；$d$ 和 $\int$ 是计算无止境地缩小后剩下的东西。形状相似，意义不同。
  3. 这里可以约分吗？ 只有一个变量、一阶导数时，$\frac{dy}{dx}$ 表现得像分数。遇到二阶导数或偏导数，先核实再约分。
  4. 哪个字母是哑字母？ 在积分中，$d$ 后面的字母是约束的；在极限中，箭头上的字母也是。它们都不能出现在外面。
  5. 这个 $\infty$ 是方向还是数量？ 在 $x\to\infty$ 和 $\sum^\infty$ 中，它是方向，与它有关的计算需要取极限。只有康托尔的 $\aleph$ 才是数量。

对一个方程的完整解读

$$\frac{d}{dx}\int_0^{x}e^{-t^2}\,dt=e^{-x^2}.$$
  1. 积分 $\int_0^xe^{-t^2}\,dt$ 是钟形曲线下从 $0$ 到 $x$ 的面积。它是 $x$ 的函数：每个 $x$ 对应一个面积。
  2. $t$ 是一个哑字母。把它换成 $s$ 什么也不变。换成 $x$ 就错了，因为 $x$ 已经出现在上限里。
  3. $\frac{d}{dx}$ 是一个算子：它问的是，当 $x$ 增大时，这块面积增长得多快。
  4. $=$ 断言一个恒等式，对每个 $x$ 都成立。它是基本定理的第一部分。
  5. 值得注意的细节： 积分 $\int_0^xe^{-t^2}\,dt$ 不能用初等函数写成公式。尽管如此，它的导数一行就能写出来。记号让我们能谈论一个自己写不出来的函数。

术语表

  • 差（$\Delta$）。 一个量的有限变化：$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$。
  • 微分（$dy$）。 沿切线的变化：$dy=f'(x)\,dx$。步长小时，它近似于 $\Delta y$。
  • 导数。 当 $\Delta x\to0$ 时 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的极限。写作 $\frac{dy}{dx}$、$f'(x)$、$\dot y$ 或 $Dy$。
  • 算子。 把一个函数变成另一个函数的规则，例如求导的 $D$。它可以相加、相乘，小心的话还可以因式分解。
  • 特征方程。 在常系数线性微分方程中，把 $D$ 换成 $r$ 所得到的多项式。
  • 黎曼和。 逼近积分的矩形面积之和 $\sum f(x_i)\,\Delta x$。
  • 定积分。 黎曼和的极限：$\int_a^b f(x)\,dx$，一个数。
  • 原函数（不定积分）。 满足 $F'=f$ 的函数 $F$。相差一个常数而确定：$\int f(x)\,dx=F(x)+C$。
  • 微积分基本定理。 求导和积分是互逆的运算：$\frac{d}{dx}\int_a^xf=f(x)$，$\int_a^bF'=F(b)-F(a)$。
  • 不定式。 像 $\infty-\infty$ 或 $\frac00$ 这样的表达式，其值取决于过程，而不只是形式。
  • 级数。 有无穷多项的和。当部分和接近一个数时，级数收敛，那个数就叫级数的和。
  • 条件收敛。 收敛、但重新排列各项后和会改变的级数。
练习：用一用指南

读 $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\cos x$。

变的是 $h$，它被极限约束；$x$ 是自由的。这个分数是有限差除以步长，即 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$，极限把它变成导数。$=$ 是一个恒等式，对每个 $x$ 都成立。用拉格朗日的记号，它就是 $\sin'=\cos$；用阿博加斯特的记号，是 $D\sin=\cos$。

练习：找出被捕获的字母

一个学生写道：$F(x)=\int_1^x\frac{1}{x}\,dx=\ln x$。结果是对的。写法错在哪里？

$x$ 既作为上限出现（自由的），又作为积分变量出现（约束的）。正确的写法是 $F(x)=\int_1^x\frac1t\,dt=\ln x$。结果碰巧是对的；如果被积函数同时依赖这两种角色，结果就会出错。

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