Euler's Eyes
2026-10-19
数学记号的符号学
第 65 页，共 86 页
如何阅读一张图：指南与术语表
本章读的是图。下面的指南汇集了一些问题，帮助我们像读公式一样仔细地读图。
关于一张图的五个问题
- 图复制了什么？ 一张图是某些关系的图像符号，从来不是全部关系的。在图论的图里，只有连接；在维恩图里，只有包含关系。找出重要的东西，忽略其余的。
- 什么是约定？ 刻度、坐标轴的起点、颜色、图框的比例。这些选择不以陈述的形式出现，却会改变眼睛得出的结论。
- 长度、面积还是角度？ 眼睛比较长度很好，比较面积很差，比较角度更差。问问是哪一个承载着信息，它是否按正确的比例画出。
- 图是在证明还是在说明？ 如果眼睛用到的每一种关系都能由论证保证，图就是证明。否则它只是说明，而且可能骗人。
- 漏掉了什么？ 多出的一个维度、放不下的一个变量、被坐标轴截掉的一个值。每张图都是一种选择，而选择本身就说明了什么。
对一张报纸图表的完整解读
一份报纸用折线图显示某种商品一年内的价格从 10.00 涨到 10.50，纵轴从 9.90 到 10.60。那条线从图的底部一直穿到顶部。
- 复制了什么： 价格随时间的先后顺序。这是对的。
- 约定： 坐标轴不从零开始。在折线图里这可以是合理的，但高度不再度量大小。
- 承载信息的是什么： 斜率。它看起来很陡，因为图框被竖向拉长了。
- 证明还是说明： 图说明了 $5\%$ 的上涨，却暗示了一次暴涨。
- 漏掉了什么： 这段时间的通货膨胀。如果通胀是 $6\%$，价格按实际计算其实下降了，图把故事讲反了。
术语表
- 图。 用平面上图形的排列来表示关系的符号。
- 关系的图像符号。 在皮尔斯看来，不是在事物上、而是在事物之间关系的结构上与对象相似的符号。
- 欧拉图。 按集合之间已知的关系摆放的圆：在里面、在外面或相交。
- 维恩图。 总是相交的圆，显示全部 $2^n$ 个区域，用阴影表示空区域。
- 纬度与经度（奥雷姆）。 性质的强度（竖直）沿着广延（水平）的分布。函数图像的祖先。
- 对数刻度。 每走同样长的一步就乘以同一个因子的坐标轴。把指数增长变成直线。
- 截断的坐标轴。 不从零开始的坐标轴。在条形图中会夸大差异。
- 复平面（阿尔冈平面）。 把 $a+bi$ 表示为点 $(a,b)$。乘以 $i$ 就是旋转 $90°$。
- 图（图论）。 点（顶点）和连线（边），其中只有谁连着谁才重要。
- 平面图。 能画得没有交叉的图。
- 无字证明。 用很少或不用解释，让证明一目了然的图。
- 投影。 一个对象在较低维空间中的影子，比如立方体在纸上的画法。
练习：用一用指南
一张饼图显示四家公司的市场份额分别为 23%、25%、26% 和 26%。指南怎么说？
信息在角度里，而眼睛比较角度很差：四片看起来一样大。如果问题是“谁领先？”，比较长度的条形图会显示出差别。如果问题是“市场是否被瓜分？”，饼图回答得很好，恰恰因为它隐藏了细小的差别。
练习：图忽略了什么
在地铁图上，两个车站相隔三站。它们有可能步行五分钟就到吗？
有可能。地铁图是一张图：它复制的是车站的顺序和换乘，而不是距离。两条不同线路上的车站，沿轨道可能隔三站，沿街道可能只隔一个街区。“我要走多远？”这个问题需要的是城市地图，而不是这张示意图。