Euler's Eyes
2026-10-14
布朗运动：数原子
如果这里讨论的运动确实能被观察到，那么经典热力学对于在显微镜下可分辨的空间就不能再被视为严格有效，而精确测定真实的原子大小也就成为可能。
— 阿尔伯特·爱因斯坦，《物理学年鉴》（1905 年 5 月）
1905 年，许多物理学家和化学家仍然怀疑原子是否存在。化学在这个假设下运作得很好，但没有人见过原子；一些重要的科学家，比如奥地利物理学家恩斯特·马赫和德国化学家威廉·奥斯特瓦尔德，认为原子只是一种方便计算的说法。爱因斯坦找到了一种看见它们的办法，或者说几乎看见：通过它们对大到能在显微镜下看到的东西产生的效应。
停不下来的花粉
1827 年，苏格兰植物学家罗伯特·布朗在显微镜下观察悬浮在水中、从某种植物花粉里释放出来的微小颗粒。它们不停地动，曲折而无目的。布朗起初以为这是生命，但他用玻璃粉和石粉也看到了同样的现象，而它们显然不是活的。这种运动从不停止，没有人能解释。
爱因斯坦提出了解释：每个颗粒时时刻刻都受到来自四面八方的水分子撞击。每秒有上万亿次撞击，它们几乎相互抵消，但并非完全如此：某一瞬间，偶然一侧的撞击比另一侧多，颗粒就跳一小下。就像一只沙滩球被一群看不见的人推来推去。
随机游走
我们来简化一下。设想一个颗粒，每隔一段时间 $\delta t$ 就向右或向左迈一步，步长为 $a$，向两边的机会各一半，每一步都与之前的步无关。走了 $N$ 步之后，位置是
$$x_N=\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_N,\qquad \xi_i=\pm a.$$平均而言，颗粒哪儿也没去：向右和向左的步子相互抵消，$\langle x_N\rangle=0$。但这并不意味着它停在原地！正确的问题是它通常走 多远，为此我们看位置的平方：
$$x_N^2=\sum_i\xi_i^2+\sum_{i\neq j}\xi_i\xi_j.$$每个 $\xi_i^2$ 都等于 $a^2$。不同步的乘积 $\xi_i\xi_j$ 以相同的机会取 $+a^2$ 或 $-a^2$，所以平均为零。剩下
$$\langle x_N^2\rangle=Na^2.$$典型距离，即这个值的平方根，是 $a\sqrt N$。走 100 步后，颗粒通常离起点 10 步；走 10 000 步后，离起点 100 步。写成 $N=t/\delta t$，并把 $D=\frac{a^2}{2\,\delta t}$ 称为 扩散系数，
$$\boxed{\langle x^2\rangle=2Dt.}$$距离随着 时间的平方根 增长。要走两倍远，就得等四倍的时间。这就是为什么一块方糖在不搅动的茶里要很久才能让整杯茶变甜。
爱因斯坦的公式
爱因斯坦的决定性一步，是把在显微镜下测得的 $D$ 与液体和分子的性质联系起来。对于在黏度为 $\eta$、绝对温度为 $T$ 的液体中半径为 $r$ 的球，他证明了
$$D=\frac{RT}{N_A}\cdot\frac{1}{6\pi\eta r}.$$这里 $R$ 是早已知道的气体常数，$N_A$ 是 阿伏伽德罗常数，即一摩尔中的分子数，当时没有人知道如何准确测量它。其余的一切都可以测量：温度、黏度、颗粒大小，以及只要耐心就能测出的位移 $\langle x^2\rangle$。于是公式给出 $N_A$。观察花粉颗粒，就能数出一杯水里有多少分子。
举个例子，室温下水中直径 1 微米的颗粒，$D\approx4\times10^{-13}$ m²/s。一秒钟内，它在一个方向上通常移动 $\sqrt{2Dt}\approx0.9$ 微米；一分钟内，大约 7 微米。不多，但在显微镜下看得见。
佩兰数原子
1908 年到 1909 年，法国物理学家让·佩兰做了这些测量。他制备了一种黄色树脂——藤黄的颗粒，大小完全相同，在显微镜下每隔 30 秒追踪一次，把它们的轨迹画在方格纸上。用爱因斯坦的公式，他得到 $N_A\approx6\times10^{23}$，非常接近今天公认的值 $6.022\times10^{23}$。其他完全不同的方法也给出了同样的数。
面对这些结果，连奥斯特瓦尔德也相信了原子的存在。佩兰获得了 1926 年诺贝尔物理学奖。
练习：一个颗粒在 10 秒内平均移动 2 微米。它要多长时间才能移动 20 微米？
距离与 $\sqrt t$ 成正比。要让距离乘以 10，时间就得乘以 $10^2=100$：即 1 000 秒，将近 17 分钟。所以扩散在短距离上很快，比如在细胞内部；在长距离上则极其缓慢。
练习：在一条直线上走 4 步、每步长 1，x² 的平均值是多少？数出 16 种情形来验证。
公式给出 $\langle x^2\rangle=Na^2=4$。数一数：最终位置为 $4$、$2$、$0$、$-2$ 或 $-4$，分别有 $1$、$4$、$6$、$4$、$1$ 条路径，正是帕斯卡三角形中的数。于是
$$\langle x^2\rangle=\frac{1\cdot16+4\cdot4+6\cdot0+4\cdot4+1\cdot16}{16}=\frac{64}{16}=4.$$$x$ 的平均值是零，但 $x^2$ 的平均值不是。
来源： Albert Einstein，“论静止液体中悬浮小粒子的运动”，Annalen der Physik 17（1905），收入 John Stachel 编《爱因斯坦奇迹年》· Jean Perrin，《原子》（1913）· 1926 年诺贝尔物理学奖，诺贝尔基金会。
阿尔伯特·爱因斯坦的全部主题 · ← 光电效应：光是一份一份的 · 狭义相对论：用光做的钟 →
图片来源.