每个四元数 $q = a + v$（标量部分为 $a$，向量部分为 $v$）都满足一个实系数的二次方程。由于 $v^2 = -\lvert v \rvert^2$（见向量），

$$q^2 = a^2 + 2av + v^2 = a^2 - \lvert v \rvert^2 + 2av,$$

由此

$$q^2 - 2a\,q + \lvert q \rvert^2 = 0, \qquad \lvert q \rvert^2 = a^2 + \lvert v \rvert^2.$$

一个四元数是一个二次实系数多项式的根，正如复数 $z$ 是 $z^2 - 2\operatorname{Re}(z)\,z + \lvert z \rvert^2 = 0$ 的根。在 1853 年的《四元数讲义》中，哈密顿更进一步，证明了四元数的某些线性函数也满足它们自己的一个多项式方程，并用它来计算这些函数的逆。

对于矩阵

五年后的 1858 年，阿瑟·凯莱发表了奠定矩阵代数的《矩阵理论论文》，并在其中一般地陈述了这个结果：每个方阵 $A$ 都使它的特征多项式 $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ 等于零。凯莱验证了 $2 \times 2$ 的情形，说他核对过 $3 \times 3$ 的情形，却没有费心去证明一般情形。第一个完整的证明出自费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯，1878 年。这个定理以凯莱和哈密顿的名字命名。

对于 $2 \times 2$ 矩阵，

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad p(\lambda) = \lambda^2 - (a + d)\,\lambda + (ad - bc),$$

定理说

$$A^2 - (a + d)\,A + (ad - bc)\,I = 0.$$

中间的系数是迹；最后一个是行列式。

一个例子

对 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，迹是 $5$，行列式是 $-2$。确实，

$$A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}, \qquad A^2 - 5A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I,$$

所以 $A^2 - 5A - 2I = 0$。这个等式白送了逆矩阵：$A(A - 5I) = 2I$，因此

$$A^{-1} = \frac{A - 5I}{2} = \frac12\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}.$$
练习：验证逆矩阵

把 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 与上面得到的逆矩阵相乘。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 3 & 1 - 1 \\ -6 + 6 & 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。逆矩阵是对的，而且不需要解任何方程组。

练习：不用多乘就能求幂

对 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，用定理把 $A^3$ 写成 $A$ 和 $I$ 的组合，并算出它。

迹是 $4$，行列式是 $3$，所以 $A^2 = 4A - 3I$。于是 $A^3 = 4A^2 - 3A = 4(4A - 3I) - 3A = 13A - 12I = \begin{pmatrix} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{pmatrix}$。验证：$A^2 = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$，$A^2 A = \begin{pmatrix} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{pmatrix}$。

来源： William Rowan Hamilton, Lectures on Quaternions（1853）· Arthur Cayley, “A Memoir on the Theory of Matrices”, Philosophical Transactions（1858）· Ferdinand Georg Frobenius, “Über lineare Substitutionen und bilineare Formen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik（1878）· Thomas Hawkins, The Mathematics of Frobenius in Context（2013）。

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