写下

$$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.$$

它看起来就像 $3+4=7$ 那样的计算：左边是加数，右边是结果。但从来没有人把所有这些项都加起来，以后也不会有。这里的等号做的工作，与第4章列出的都不一样。它断言的是部分和

$$1,\quad1.5,\quad1.75,\quad1.875,\quad\ldots$$

能任意地接近 $2$。用符号写：

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\frac1{2^n}=2.$$

$\Sigma$ 上方的 $\infty$，就是上一篇中作为方向的那个 $\infty$：它不是最后一项，而是“继续下去”的指令。

0.999… = 1

最让学生不安的等式是

$$0.999\ldots=1.$$

许多人认为 $0.999\ldots$“非常接近 $1$，但永远到不了”。这种反对有符号学上的根源：省略号似乎描述一个正在进行的过程，而过程是不会结束的。但 $0.999\ldots$ 不是一个过程，它是这个过程的极限的名字：

$$0.999\ldots=\frac9{10}+\frac9{100}+\frac9{1000}+\cdots=\frac{9/10}{1-1/10}=1.$$

研究者戴维·托尔和什洛莫·温纳在 1981 年一项后来成为经典的研究中，把这称为概念意象（学生看到符号时所想象的东西）与概念定义之间的冲突。意象是“某个越来越近的东西”；定义是“一切都越来越接近的那个数”。

会骗人的和

当部分和不接近任何东西时，带 $=$ 的写法依然不变，危险就在这里。

格兰迪级数。 1703 年，意大利神父圭多·格兰迪研究了

$$1-1+1-1+1-\cdots$$

一种方式分组，$(1-1)+(1-1)+\cdots=0$。另一种方式，$1-(1-1)-(1-1)-\cdots=1$。格兰迪得出结论说和是 $\frac12$，并把它看作世界从无中被创造的象征。部分和 $1,0,1,0,\ldots$ 不接近任何东西：这个级数在极限意义下没有和。

欧拉的 $-1$。 几何级数的公式 $1+x+x^2+\cdots=\frac1{1-x}$ 在 $|x|<1$ 时成立。欧拉把它用在 $x=2$ 上，写下

$$1+2+4+8+\cdots=\frac1{1-2}=-1.$$

一串正数之和竟是负数。写法毫无异议地接受了这次代入；直到十九世纪的数学家要求每一个带省略号的 $=$ 都附有收敛的证明。

顺序很重要

在有限和中，加数的顺序无关紧要：$3+4=4+3$。在无穷和中，顺序可能很重要。交错调和级数

$$1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots=\ln2\approx0.693$$

是收敛的。现在把同样的项重新排列，每个正项后面接两个负项：

$$1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac1{10}-\frac1{12}+\cdots$$

三个一组，每组是 $\frac1{2k-1}-\frac1{2(2k-1)}-\frac1{4k}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k}\right)$，整个和变成原来的一半：$\frac12\ln2$。伯恩哈德·黎曼证明，对这样的级数，适当的重排可以得到你想要的任何值。符号 $\Sigma$ 不显示各项的顺序，而在这里，顺序就是一切。

练习：0.333… 与 0.999…

把 $0.333\ldots$ 写成几何级数并求和。再用这个结果得出 $0.999\ldots$

$0.333\ldots=\frac3{10}+\frac3{100}+\cdots=\frac{3/10}{1-1/10}=\frac13$。乘以 3：$0.999\ldots=3\cdot\frac13=1$。接受 $0.333\ldots=\frac13$ 却拒绝 $0.999\ldots=1$ 的人，拒绝的其实是一次乘以 3 的运算。

练习：阿基里斯在哪里追上

用趣味栏中的数据，不用级数求出相遇点，再用级数验证。

设 $d$ 是阿基里斯追上乌龟时跑的距离。同一时间里乌龟跑了 $\frac{d}{10}$，于是 $d=100+\frac d{10}$，$d=\frac{1000}9=111.1\ldots$ 米。几何级数给出同样的结果：$\frac{100}{1-1/10}=\frac{1000}{9}$。

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