三角学 | Euler's Eyes

正弦、直角边与斜边：三角学和它失落的名字

几乎每个学生都学会了说“正弦”“余弦”“直角边”和“斜边”，却不知道这些词原本是什么意思。它们是要背的标签，就像陌生城市里的街名。但每个词都曾经是一段描述，有些还藏着意想不到的故事。比如正弦（sine），就是一次翻译失误的产物。拉丁文里的毕达哥拉斯几何学中最著名的定理，在很长一段时间里，是一句关于真正的正方形的话——画在三角形各边上的正方形。本站早期的文章按照中世纪的方式把它写成： $$\textit{quadratum lateris } a \textit{ et quadratum lateris } b \textit{ aequalis quadratum lateris } c,$$“边 $a$ 上的正方形与边 $b$ 上的正方形之和，等于边 $c$ 上的正方形”。边长为 $3$、$4$、$5$ 时，正方形的面积是 $9$、$16$、$25$，而 $9+16=25$ 确实成立。边长 $6$、$8$、$10$：$36+64=100$。今天我们写作 $$a^2+b^2=c^2,$$而指数 $^2$ 的名字本身仍带着它所出自的图形：“平方”。这个定理并不只属于希腊。约公元前 1800 年的一块巴比伦泥板“普林顿 322”列出了满足这一关系的数组；中国的《周髀算经》用一幅叫作“勾股”的图证明了 $3$、$4$、$5$ 的情形，“勾”和“股”就是中文里两条较短边的名字。直角边与斜边在欧洲语言里，直角三角形各边的名字来自希腊语，原本是对位置的描述。直角边的西文名 cathetus 来自 káthetos，意思是“垂下来的东西”，这个词也指泥瓦匠的铅垂线：直角边就是垂直于另一条边落下的那条边。斜边的西文名 hypotenuse 来自 hypoteínousa，意思是“在下面绷紧的”：它是在直角下方从一端延伸到另一端的那条边，就像弓上的弦。这些名字是用语言做成的像似符：它们说明了每条边在哪里。一旦变成标签，图像就消失了。对懂希腊语的人来说，“斜边是最长的边”几乎不言自明；对只背过这个词的人来说，这又是一条规则。中文的“勾、股、弦”同样是图像：勾是曲尺短的一边，股是长的一边（像大腿），弦则是弓弦。等边三角形与特殊角学校要求背的正弦、余弦值，比如 $\frac12$、$\frac{\sqrt3}{2}$、$\frac{\sqrt2}{2}$，都来自两个图形。把边长为 $a$ 的等边三角形沿高 $h$ 切成两半：出现两个直角三角形，角为 $30^\circ$、$60^\circ$、$90^\circ$，斜边为 $a$，一条直角边为 $\frac a2$。由毕达哥拉斯定理， $$h^2+\left(\frac a2\right)^2=a^2\quad\Longrightarrow\quad h^2=\frac{3a^2}{4}\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{a}{2}\sqrt3.$$斜边取 $1$ 时，$30^\circ$ 角的对边长 $\frac12$，$60^\circ$ 角的对边长 $\frac{\sqrt3}2$。把正方形沿对角线切开，就得到 $45^\circ$ 角，两条直角边都等于 $\frac{\sqrt2}2$。要背的那张表，不过是对两个图形的阅读。

October 13, 2026 阅读

15 章中的练习 — 任何三角形

正弦定理 624 已知$\operatorname{sen}(180^{\circ} - x) = \operatorname{sen}x$和$\cos(180^{\circ} - x) = -\cos x$，确定： a) $\operatorname{sen}120^{\circ}$； b) $\cos 150^{\circ}$； c) $\cos 135^{\circ}$； d）$\operatorname{sen}150^{\circ}$； e) $\operatorname{sen}135^{\circ}$； f) $\cos 120^{\circ}$。 Ver respostaa) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · b) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · c) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · d) $\dfrac{1}{2}$ · e) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · f) $-\dfrac{1}{2}$ 625 在以下情况下确定$x$的值： Ver respostaa) $6\sqrt{2}$ · b) $6\sqrt{6}$ 626 在下列情况下确定三角形外接圆的半径： Ver respostaa) $4\sqrt{3}$ · b) $9\sqrt{2}$ 627 在以下情况下获取$x$的值： a) $ABCD$是平行四边形； b) $ABCD$ 是等腰梯形。 Ver respostaa) $6\sqrt{2}$ · b) $12\sqrt{2}$

October 12, 2026 阅读

显着线的计算

中位数、高度和角平分线只能从三边计算。所有公式都来自度量关系，而斯图尔特的单一关系可以一次性解决所有问题。谁发现的中位数公式被称为阿波罗尼乌斯定理：亚历山大的教皇将其归因于佩尔加的阿波罗尼乌斯（公元前 3 世纪）。高度公式使用三角形的面积作为边的函数，即海伦公式，由亚历山大的海伦在1世纪以公制（阿拉伯人将其归因于阿基米德）证明。苏格兰人Matthew Stewart在一些在高等数学中相当有用的一般定理一书中在1746中发表了适用于连接顶点和对边的任何线段的关系。佩尔加的阿波罗尼乌斯，后来的艺术表现。乔瓦尼·巴蒂斯塔备忘录 · 维基共享资源 · 公共领域亚历山大的苍鹭，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域阿基米德，后来的艺术表现。多梅尼科·费蒂 · 维基共享资源 · 公共领域马修·斯图尔特。未知作者未知作者 · 维基共享资源 · 公共领域故事斯图尔特 (1717–1785) 是格拉斯哥罗伯特·西姆森 (Robert Simson) 和爱丁堡科林·麦克劳林 (Colin Maclaurin) 的学生，并接替麦克劳林担任数学教授。他以希腊的方式提倡纯粹的几何方法，甚至适用于天文学问题，例如计算到太阳的距离。罗伯特·西姆森.作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域科林·麦克劳林.大卫·斯图尔特·厄斯金 (1742–1829) · 维基共享资源 · 公共领域将顶点连接到对侧点的线段现在称为 ceviana，以纪念意大利人 Giovanni Ceva (1678)。中位数、高度和角平分线是特定的 Cevians，因此 Stewart 关系给出了所有这些的公式。

October 12, 2026 阅读

度量关系和余弦定理

当角度不正确时，毕达哥拉斯定理有一个修正项。这个术语就是余弦定律。谁发现的该主题的度量关系在欧几里得（c. 300 BC）的几何原本中，以区域语言表示：命题II.12处理钝角的对边，并且II.13，与锐角相对。余弦形式 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ 与三角函数表一起出现的时间要晚得多。波斯天文学家Jamshid al-Kashi在算术的关键中的1427中提出了它；在法国，余弦定律仍称为théorème d’Al-Kashi。 François Viète 在 1593 中用余弦编写。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域弗朗索瓦·维埃特。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域故事欧几里得没有余弦或长度数。他说，钝角对边的正方形比另外两条边的正方形之和大“一侧与另一侧投影形成的矩形的两倍”。和这个主题的关系是一样的，都是用区域来写的。比较$a^2$和$b^2 + c^2$有一个简单的测试：只要知道三边就可以知道三角形是锐角、直角还是钝角。在日常生活中 **导航。**一艘船行驶 10 公里，转向 40°，再行驶 6 公里，是根据余弦定律计算出的距离港口的距离。 **机器人。**两段机械臂的关节角度通过余弦定律计算。 **地形。**当测量一块土地的两条边以及它们之间的角度时，第三条边不符合余弦定律。 **体育。**分析师根据两名球员和第三名球员之间的距离以及他们之间的角度来计算传球距离。来源：元素，命题 II.12 · 元素，命题 II.13 · Al-Kashi (MacTutor)。理论与结构度量关系 Teorema · 锐角的对面在任何三角形中，锐角对边的平方等于其他两条边的平方和减其中一条边与另一条边在其上的投影的乘积的两倍： $$\hat A < 90^{\circ},\; m = \text{proj. de } b \text{ sobre } c \;\Longrightarrow\; a^2 = b^2 + c^2 - 2cm.$$ Teorema · 钝角的对边在钝角三角形中，钝角一侧的正方形等于另外两条边的平方和加上其中一侧与另一侧在其上（或包含它的直线上）投影的乘积的两倍： $$\hat A > 90^{\circ},\; m = \text{proj. de } b \text{ sobre } c \;\Longrightarrow\; a^2 = b^2 + c^2 + 2cm.$$

October 12, 2026 阅读

正弦定理

在任何三角形中，每条边除以对角的正弦值总是给出相同的数字：外接圆的直径。谁发现的正弦定理诞生于天文学，用于在天球上绘制三角形。球形版本是由伊斯兰世界的天文学家在 10 世纪获得的，其中包括阿布·瓦法和阿布·纳斯尔·曼苏尔。平面三角形的形状系统地出现在四边条约 (1260) 源自波斯语纳西尔·丁·图西，这使得三角学成为一门独立于天文学的学科。在欧洲，它随书而传播关于所有类型的三角形，从雷吉奥蒙塔努斯，写于 1464 年，印刷于 1533 年。 Abu al-Wafa，后来的艺术代表。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 Nasir al-Din al-Tusi，后来的艺术代表。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域雷吉奥蒙塔努斯。身份不明的录音机；史密森尼收藏 · 维基共享资源 · 公共领域故事在正弦之前，天文学家研究了弦：喜帕恰斯和托勒密将圆的每个弧的弦制成表格。圆弧的弦是圆心角一半的正弦值的两倍——这就是为什么正弦定理本质上是圆弦的结果，而本主题的演示正是使用外接圆。尼西亚的喜帕恰斯，后来的艺术表现。威廉·亨利·史密斯 · 维基共享资源 · 公共领域克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域利用正弦定理，只需测量距离和两个角度即可计算三角形的另一条边。这就是三角测量的原理，它测量了 17 世纪和 19 世纪之间的整个国家。

October 12, 2026 阅读

章节练习 14 — 直角三角形

度量关系 506 在以下情况下确定$x$的值： Ver respostaa) 5 · b) 12 · c) $\sqrt{7}$ · d) $3\sqrt{3}$ 507 在下列情况下，将 $x$ 确定为 $a$ 的函数： Ver respostaa) $a\sqrt{3}$ · b) $\dfrac{a}{2}$ 508 在以下情况下确定 $x$： Ver respostaa) 12 · b) 24 · c) 20 · d) 8 509 在以下情况下确定 $x$： Ver respostaa) $2\sqrt{29}$ · b) 9 510 写出10与图中所示元素的度量关系。 Ver resposta其中：$b^2 + a^2 = n^2$、$c^2 + a^2 = m^2$、$\dfrac{1}{m^2} + \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{1}{a^2}$。 511 在以下情况下确定 $x$： Ver respostaa) 6 · b) 3 · c) 8 · d) 9

October 12, 2026 阅读

毕达哥拉斯定理的应用

正方形的对角线、等边三角形的高度以及30°、45°和60°的三角比都来自同一个定理。谁发现的正方形的对角线已经计算出来巴比伦人：平板电脑 YBC 7289（约公元前 1800–1600 年）给出 $\sqrt{2}$ 具有六位正确的小数位。直角三角形边之间的比率最初是天文表格：尼西亚的喜帕恰斯（公元前2世纪）建立了弦表，印度人阿里亚巴塔（499）开始使用半绳——我们的正弦 ——伊斯兰天文学家喜欢阿布·瓦法（10世纪）有组织的影子表，我们的切线。生成所有有边的毕达哥拉斯三角形的公式 $x^2 - y^2$, $2xy$ 和 $x^2 + y^2$，出现在书中的一句座右铭中元素的欧几里得. 尼西亚的喜帕恰斯，后来的艺术表现。威廉·亨利·史密斯 · 维基共享资源 · 公共领域 Aryabhata，后来的艺术表现。Cpjha13 · 维基共享资源 · CC BY-SA 4.0 Abu al-Wafa，后来的艺术代表。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事埃及人已经使用三角比来建造金字塔：莱茵德纸莎草纸（约公元前 1650 BC）计算 seked，即每肘高高度，面部水平前进多少手掌——面部的斜率，余切值。莱茵德纸莎草纸的细节，由艾哈迈斯在公元前 1650 左右抄写。该文件保留了埃及的数学问题和程序。抄写员艾哈迈斯；大英博物馆文件的复制品 · 维基共享资源 · 公共领域。毕达哥拉斯套装有一个著名的后代。在 1637 左右，Pierre de Fermat 在他的丢番图算术副本的页边空白处指出，就在套装问题旁边，$x^n + y^n = z^n$ 对于 $n > 2$ 没有正整数解。演示仅在 1994 进行，由 Andrew Wiles 进行。

October 12, 2026 阅读

度量关系

斜边的平方是边的平方和。但这只是直角三角形中高度所揭示的几种关系之一。谁发现的直角三角形边之间的关系比萨摩斯岛的毕达哥拉斯（公元前六世纪）。董事会巴比伦从公元前 1800 年左右开始，使用 3、4、5 等术语来计算正方形的对角线；你苏尔巴经从印度（约公元前 800 年至公元前 500 年）规定了建造祭坛的规则；和中文文本周笔算经提供视觉证据。希腊传统将该定理与毕达哥拉斯联系在一起，但没有文献证据证明他证明了这一定理。我们最古老的示威是在元素的欧几里得（约公元前 300 年）：命题 I.47 通过面积证明定理，并且 I.48 证明互惠的。与音高的关系——每条腿和音高为比例平均数 ——在提案中六.8 及其推论。萨摩斯岛的毕达哥拉斯，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事本章的证明是第六卷中欧几里得的证明：高度将三角形分成两个与原来相似的三角形，比例给出了度量关系；将它们两个相加就得到毕达哥拉斯定理。很少有数学陈述能以如此多的方式得到证明：美国教授 Elisha Loomis 在 1940 版的《毕达哥拉斯命题》毕达哥拉斯命题中汇集了 370 种不同的论证，其中包括未来美国总统詹姆斯·加菲尔德的一项论证，作者是 1876，用秋千做的。伊丽莎·斯科特·卢米斯。Finkel, B. F. · 维基共享资源 · 公共领域詹姆斯·加菲尔德。身份不明的摄影师； Brady-Handy 收藏 · 维基共享资源 · 公共领域欧几里得毕达哥拉斯定理（命题一47）的中文字母：在利玛窦和徐光启翻译的《几何原本》1607中，希腊标签变成了十个天干。来自博客的原始教学插图，根据欧拉之眼系列中的人物重新设计。该定理也是通向无理数的大门：边长为 1 的正方形的对角线测量为 $\sqrt{2}$，并且这个数字不是分数的发现震惊了毕达哥拉斯学派。

October 12, 2026 阅读

ENEM 2025 – 已解决的数学：问题 151 到 165

来源： INEP – 证明和模板第二天，笔记本 5 – 黄色。 ENEM 数学和技术测试 2025 于第二天进行，并将从问题 136 到 180。这篇文章解决了问题 151 到 165。此处使用的编号是笔记本 5 – 黄色的编号；我们在其他笔记本中，相同的问题以不同的顺序出现。模板问题主题模板 151 多面体：顶点数 B 152 比例：生产 D 153 数字代码（规则阅读） D 154 概率：排列 D 155 阅读图表：条形图和扇形图 B 156 三角学：余弦定律和方向 A 157 统计：平均值和标准差 D 158 平均（跑步配速） E 159 正切函数：周期和位移 E 160 网格定位（方向） A 161 一级的百分比和不平等 B 162 组合分析：乘法原理 B 163 规模 E 164 原因 C 165 百分比：成本和利润 C 问题 151：回旋五边形圆顶的顶点陈述陀螺拉长的五边形圆顶是约翰逊多面体，其面为正多边形，但不是柏拉图、阿基米德、棱柱的多面体或反棱镜。

September 26, 2026 阅读

FUVEST 2025 – 第二阶段：解决数学问题

来源： FUVEST – 第二阶段测试，第二天（问题 M01 至 M06），可在 FUVEST 集合 2025 中找到。 FUVEST 2025 的第二阶段在第二天提出了具体的话语问题职业生涯；数学测试有六个问题，M01 到 M06。每位候选人只解决了你职业生涯的主题（六个问题，或者只是四个或前三个）。第二阶段没有选择题答卷：FUVEST发表了一份答题指南与小组预期的答案。以下决议是我们的，每一项决议使用本指南并通过第二条路径检查结果。模板问题主题答案 M01 线性系统：文具促销 b) R$ 32,00; c) 促销活动 I 和 III M02 条件概率和相对风险 a) 0,025; b) ≈ 0,833; c) 145 M03 表格中的数字模式 a) $46 + 40n$; b) 10; c) $n$ M04 价格体系中的融资（PG 总和） a) 38; b) R$ 19.294,05; c) $-\log_{1{,}01} 0{,}62$ M05 级数和小数位 a) PA比率1/8； b) 2； c) $2^{b+1} - 1$ M06 雕塑中的三角学 a) 45°; b) $k = 2\tan\alpha$; c) 2,5 m 问题 M01：文具店的促销活动（线性系统）陈述一家文具店提供三种不同的促销活动：

September 26, 2026 阅读

FUVEST 2026 – 第一阶段：解决数学问题

来源： FUVEST – 测试 V1 和模板常识测试（第一阶段），应用于23/11/2025。文件位于 FUVEST 集合 2026。 FUVEST 第一阶段 2026 有来自所有人的 90 多项选择题学科。这篇文章带来了数学问题。这里使用的编号是证明 V1；在版本 V2、V3 和 V4 中，相同的问题出现在另一个版本中订单（官方模板包含对应表）。模板问题主题模板 3 逻辑推理：决胜局选举取消 4 对数：香农熵 A 6 空间几何：正金字塔 E 7 三角学：双弧方程 D 18 指数函数和对数 E 30 空间几何：圆柱体积 B 36 直角三角形中的三角函数 E 37 解析几何：圆方程 A 55 完美数、素数和级数 B 74 函数图变换 D 问题3：多少票保证选举？问题已被 FUVEST 取消。在官方答卷中，测试 V1 中的问题 3 带有星号（无效）出现。 FUVEST没有透露取消的原因。陈述在由 5 名成员组成的理事会的选举中，有 7 位候选人已登记选民总数为 35 名。得票最多的 5 候选人当选，决定胜负的是年龄，也就是说，如果只有一个地方可以容纳两个人票数相同的候选人中，年龄最大的候选人当选，更年轻，不。阿莱夫是所有候选人中最年轻的分析他需要多少票才能保证他的当选。

September 26, 2026 阅读