1925 年和 1926 年，量子力学的两个版本几乎同时诞生。海森堡的版本使用无穷矩阵；薛定谔的版本使用一个波动方程。两者在实验中给出相同的结果，却像是在谈论不同的东西，而且物理学家们使用的一些技巧，比如狄拉克的 delta“函数”，在数学家看来是不可接受的。

在哥廷根，冯·诺依曼与希尔伯特合作，证明了二者是同一个理论在不同坐标下的写法，并用一种统一的语言重写了全部内容。1932 年出版的《量子力学的数学基础》至今仍是想要完全严格地了解这一理论的人的参考书。

态是向量

在冯·诺依曼的语言里，一个物理系统的态是希尔伯特空间中长度为 1 的向量。希尔伯特空间是带有内积的空间，就像平面或三维空间，但可以有无穷多维。举一个最简单的例子：一个测量时只能给出“上”或“下”两种结果的系统，它的态位于平面上：

$$\psi = a\,\mathbf{e}_\uparrow + b\,\mathbf{e}_\downarrow, \qquad a^2 + b^2 = 1.$$

把向量与实验室联系起来的规则由马克斯·玻恩提出、冯·诺依曼加以整理：每种结果的概率是对应分量的平方。取 $a = \frac35$，$b = \frac45$，

$$P(\uparrow) = \left(\tfrac35\right)^2 = \tfrac{9}{25} = 36\%, \qquad P(\downarrow) = \left(\tfrac45\right)^2 = \tfrac{16}{25} = 64\%.$$

条件 $a^2 + b^2 = 1$，即向量长度为 1，就是勾股定理在说：各个概率加起来等于 100%。

测量就是投影

测量之后，系统不再停留在 $\psi$：它转入与所得结果对应的态，$\mathbf{e}_\uparrow$ 或 $\mathbf{e}_\downarrow$。冯·诺依曼把这写成向量在某个轴上的投影，并把被测量的量，比如能量或位置，称为算子。测量可能得到的值就是这些算子的特征值。这是第一次完全用无穷维线性代数来描述实验室物理，冯·诺依曼也正是为此创造了今天研究生数学课程中讲授的大部分算子理论。

练习：把态归一化

某个态正比于 $\mathbf{e}_\uparrow + \mathbf{e}_\downarrow$。把它写成长度为 1 的形式，并计算概率。

$(1, 1)$ 的长度是 $\sqrt{2}$，所以这个态是 $\psi = \frac{1}{\sqrt2}\mathbf{e}_\uparrow + \frac{1}{\sqrt2}\mathbf{e}_\downarrow$。每种结果的概率都是 $\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2 = \frac12$：一枚公平的量子硬币。

练习：角度与概率

如果态与轴 $\mathbf{e}_\uparrow$ 成角 $\theta$，即 $\psi = \cos\theta\,\mathbf{e}_\uparrow + \sin\theta\,\mathbf{e}_\downarrow$，那么 $P(\uparrow)$ 是多少？角度为多少时它等于 $75\%$？

$P(\uparrow) = \cos^2\theta$。由 $\cos^2\theta = \frac34$ 得 $\cos\theta = \frac{\sqrt3}{2}$，所以 $\theta = 30°$。基本恒等式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ 再一次保证两个概率之和为 1。

来源： John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik（1932）· Grete Hermann, “Die naturphilosophischen Grundlagen der Quantenmechanik”（1935）· John S. Bell, “On the problem of hidden variables in quantum mechanics”, Reviews of Modern Physics（1966）。

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