十八世纪末，欧拉和拉普拉斯用一个大胆的技巧计算困难的实积分：把实变量换成复变量，算完之后再回到实数。拉普拉斯称之为“从实到虚的过渡”。结果都对得上，但没有人能说清楚这个技巧何时合法。正是为了回答这个问题，25 岁的柯西在 1814 年向科学院提交了一篇关于定积分的论文。这篇论文直到 1827 年才发表，而它只是一个开端。

在平面上可导的函数

复变函数 $f(z)$，其中 $z = x + iy$，可以写成 $f = u + iv$，$u$ 和 $v$ 是 $x$、$y$ 的实函数。要使 $f$ 在复数意义下可导，$u$ 和 $v$ 必须满足柯西–黎曼方程：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$$

这组方程在达朗贝尔和欧拉那里已经出现过；柯西把它们放到了理论的中心，三十年后黎曼又以它们为出发点。对 $f(z) = z^2 = (x^2 - y^2) + i\,(2xy)$：$u_x = 2x = v_y$，$u_y = -2y = -v_x$。

积分定理

1825 年，柯西发表了《论虚数限之间的定积分》。在平面上从点 $z_0$ 积分到点 $z_1$，必须选一条连接两点的路径。核心定理说：路径无关紧要，只要把一条路径变形为另一条时所扫过的区域内，函数始终有限且连续。换一种说法：沿任何不绕过麻烦点的闭合曲线，积分都为零，

$$\oint f(z)\,dz = 0.$$

最重要的例子恰恰是定理不适用的情形。沿半径为 1 的圆按逆时针方向对 $\frac{1}{z}$ 积分。令 $z = e^{it}$，则 $dz = i e^{it}\,dt$，于是

$$\oint \frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi} \frac{i e^{it}}{e^{it}}\,dt = \int_0^{2\pi} i\,dt = 2\pi i.$$

结果不为零，因为这个圆绕过了 $z = 0$，而 $\frac{1}{z}$ 在那里趋于无穷。

留数

1826 年，柯西在他的《数学练习》中把这个计算变成了一种方法，即留数计算。如果在点 $a$ 附近，函数表现为 $\frac{R}{z - a}$ 加上一个性质良好的部分，数 $R$ 就是 $f$ 在 $a$ 处的留数。绕 $a$ 一圈的闭合曲线给出

$$\oint f(z)\,dz = 2\pi i \cdot R,$$

如果绕过好几个这样的点，就把各点的留数相加。在图中，圆可以移动和放大。函数 $\frac{1}{1 + z^2}$ 在 $z = i$ 和 $z = -i$ 处趋于无穷，积分只取决于这两点中哪些在圆内：

一个实积分

看看这个方法如何计算一个实积分：

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2}.$$

由于 $1 + z^2 = (z - i)(z + i)$，在 $z = i$ 附近函数约等于 $\frac{1}{2i} \cdot \frac{1}{z - i}$：在 $i$ 处的留数是 $\frac{1}{2i}$。取由实轴上从 $-R$ 到 $R$ 的线段和上半平面中半径为 $R$ 的半圆组成的闭合路径。当 $R > 1$ 时，它只绕过点 $i$，于是

$$\int_{-R}^{R} \frac{dx}{1 + x^2} + \int_{\text{弧}} \frac{dz}{1 + z^2} = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} = \pi.$$

在弧上，$|1 + z^2| \ge R^2 - 1$，弧长是 $\pi R$，所以弧上的积分至多为 $\frac{\pi R}{R^2 - 1}$，它趋于零。剩下的是

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2} = \pi.$$

这与用 $\arctan x$ 得到的结果相同，但留数方法可以用同样的方式处理那些找不到原函数的积分。

积分公式

1831 年，已经流亡都灵的柯西迈出了下一步，即积分公式：如果 $f$ 在一个圆内性质良好，$a$ 是圆内一点，那么

$$f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{f(z)}{z - a}\,dz.$$

函数在边界上的值决定了它在内部的全部值。柯西由此推出：每个在复数意义下可导的函数都有幂级数，而且这个级数在不含任何麻烦点的最大圆内收敛。这解释了一个老谜团：级数 $\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots$ 只在 $|x| < 1$ 时收敛，尽管这个函数在整条实数轴上都十分光滑。原因在实轴之外：点 $\pm i$ 到原点的距离是 1。

练习：复指数函数

对 $e^z = e^x \cos y + i\,e^x \sin y$ 验证柯西–黎曼方程。

$u = e^x \cos y$，$v = e^x \sin y$。于是 $u_x = e^x \cos y = v_y$，$u_y = -e^x \sin y = -v_x$。方程在整个平面上成立：指数函数处处可导，它的级数 $1 + z + \frac{z^2}{2} + \cdots$ 对所有 $z$ 收敛，因为没有任何麻烦点。

练习：收敛半径

对 $x = \frac{1}{2}$ 和 $x = 2$，把 $1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots$ 的前几项加起来，并与 $\frac{1}{1 + x^2}$ 比较。

$x = \frac{1}{2}$ 时：$1 - 0.25 + 0.0625 - 0.015625 = 0.796875$，而 $\frac{1}{1.25} = 0.8$：级数收敛。$x = 2$ 时：$1 - 4 + 16 - 64 = -51$，各项只会越来越大，而 $\frac{1}{5} = 0.2$。根据柯西定理，收敛半径是原点到 $\pm i$ 的距离，即 1，而 $\frac{1}{2} < 1 < 2$。

来源： Augustin-Louis Cauchy，“Mémoire sur les intégrales définies”（1814，1827 年发表） · Augustin-Louis Cauchy，Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires（1825） · Augustin-Louis Cauchy，“Sur le calcul des résidus”，Exercices de mathématiques 1（1826） · Frank Smithies，Cauchy and the Creation of Complex Function Theory（1997） · 高斯致贝塞尔的信，1811 年 12 月 18 日，收于 Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel（1880）。

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