一篇用中文写的数学文章，同时是用两种语言写的。一种是符号的语言：$=$、$+$、$x$、$\sqrt{\ }$。另一种看上去是中文，却又不完全是：它用的是日常词语，但意思是数学家们约定好的，两者在同一句话里混在一起。

英国语言学家韩礼德（Michael Halliday）在 20 世纪 70 年代把这种语言变体称为数学语域。语域是与某种活动相联系的说话方式，比如厨房里的（“爆炒”、“勾芡”），或足球里的（“越位”、“定位球”）。数学语域还多一个麻烦：它的许多词在日常语言里早已存在，意思却不同，而意思改变的时候，读者并不会得到提醒。

改变意思的词语

英国数学教育家戴维·皮姆在《说数学》（Speaking Mathematically，1987）一书中收集了许多这样的例子。以下是其中一些：

  • 积是乘法的结果，不是积攒下来的东西。
  • 差是减法的结果；“7 和 3 的差是多少？”要的是 $4$，而不是“两个都是奇数”。
  • 体积量的是空间。
  • 根是正方形的边，就像我们在第1章中看到的，也是使多项式等于零的那个值。
  • 正规、有理和实，并不是指平常、讲理和真实。
  • 平均数可以是算术的、几何的、加权的；报纸上说的几乎总是其中一种。

最大的危险不在名词上，名词可以靠术语表解决。危险在那些小词上。

小词

“或”。 在日常生活里，“咖啡还是茶？”期待的是只选一样。在数学里，“$x > 0$ 或 $y > 0$”在两个都为正时也成立。数学里的“或”是相容的；不相容的那种必须说出来：“二者择一，但不能两个都是”。

“如果……那么……”。 “如果下雨，我就不去”通常会被理解成“不下雨的话我就去”。在数学里，“如果 $n$ 是 4 的倍数，那么 $n$ 是偶数”对那些不是 4 的倍数的数什么也没说：$6$ 是偶数却不是 4 的倍数，而这句话依然成立。要把两方面都说出来，数学用另一种说法，“当且仅当”，和另一个符号，即第4章中的 $\Leftrightarrow$。

“有些”。 “有些学生缺席了”在交谈中暗示并非全部缺席。在数学里，“有些素数是偶数”只是说“至少有一个”，即使全部都是，这句话也仍然成立。

“多几倍”。 “彼得的贴纸比安娜多三倍。”如果安娜有 $10$ 张，彼得有 $30$ 张（安娜的三倍），还是 $40$ 张（安娜的，再加上它的三倍）？词典和写作手册的意见并不一致。数学语域干脆换个说法来避免疑问：是……的三倍。

学习语域

数学语域不能靠一纸定义表来学会。它和任何语言一样，要在使用中听到它、说它、被纠正。所以让学生把 $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$ 这样的句子大声读出来（“对所有实数 $x$，$x$ 的平方大于或等于零”）并不是浪费时间：这是从一种语言到另一种语言的过渡，它会显示出阅读在哪里出了问题。

练习：对还是错？

按数学的意思判断：(a)“每个素数都是奇数或等于 2。”(b)“如果一个数能被 6 整除，那么它能被 3 整除。”(c)“有些 4 的倍数是偶数。”

(a) 对：唯一的偶素数是 $2$，相容的“或”没有妨碍。(b) 对：$6k = 3 \cdot 2k$。它并没有说每个能被 3 整除的数都能被 6 整除（$9$ 就不能）。(c) 对，而且按数学的意思，即使所有 4 的倍数都是偶数，它也仍然成立：“有些”只要求至少一个。

练习：改写得没有歧义

用数学语域改写：“物价比工资多涨了两倍”，已知工资涨了 $5\%$，而本意是说物价的涨幅是工资涨幅的两倍。

“物价的百分比涨幅是工资百分比涨幅的两倍：工资涨了 $5\%$，物价涨了 $10\%$。”把“多涨了两倍”换成“是……的两倍”并写出数字，就消除了两种可能的读法（$10\%$ 或 $15\%$）。

本章目录 · ← 先读后算：波格丹诺夫-别尔斯基的画 · 船长的年龄：从应用题到方程 →