声音是一种压缩波：空气被推动、压缩，推动下一层空气，然后舒张。这种波的速度取决于空气的两个性质：它抵抗压缩的程度，以及它有多重。

牛顿的公式

在 1687 年的《原理》中，牛顿第一次计算了声速。他假设空气被压缩时服从玻意耳定律，即压强与密度成正比，得到

$$v = \sqrt{\frac{P}{\rho}}.$$

在海平面、20 °C 时，压强 $P = 101\,325$ 帕，空气密度 $\rho = 1.204$ 千克/立方米。公式给出

$$v = \sqrt{\frac{101\,325}{1.204}} \approx 290 \text{ 米/秒}.$$

然而测量值约为 340 米/秒，多出大约 15%。牛顿试图用一些牵强的假设来解释这个差别，比如空气粒子的大小和水蒸气。一百多年里，这个差异一直得不到解释。

会变热的空气

拉普拉斯找到了错误所在。气体被压缩时会变热，用手动打气筒给自行车轮胎打过气的人都知道这一点。玻意耳定律在温度保持不变时成立。但声波中的压缩非常快，热量来不及散出去：被压缩的空气稍微变热，因而推得比牛顿假设的更用力。今天我们说，这种压缩是绝热的，而不是等温的。

用数学语言说，波在流体中的速度是 $v = \sqrt{\frac{dP}{d\rho}}$，即密度升高时压强升高多少。对等温压缩，$P = k\rho$，

$$\frac{dP}{d\rho} = \frac{P}{\rho}.$$

对绝热压缩，$P = k\rho^\gamma$，其中 $\gamma$ 是气体定压比热与定容比热之比，

$$\frac{dP}{d\rho} = k\gamma\rho^{\gamma-1} = \gamma\,\frac{P}{\rho}.$$

所以拉普拉斯在 1816 年发表的正确公式是

$$v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}.$$

对于空气，$\gamma \approx 1.40$。这个修正把牛顿的结果乘以 $\sqrt{1.40} \approx 1.183$：

$$v \approx 290 \times 1.183 \approx 343 \text{ 米/秒},$$

正好是测量值。拉普拉斯还把论证反过来用：在 $\gamma$ 能被精确直接测量之前，他用测得的声速来估计 $\gamma$。

练习：冷天和热天的声速

对理想气体，$\frac{P}{\rho} = \frac{RT}{M}$，所以 $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$，其中 $R = 8.314$ 焦/（摩·开），空气的 $M = 0.02896$ 千克/摩。计算 0 °C 和 30 °C 时的声速。

0 °C 时，$T = 273.15$ 开：$v = \sqrt{\frac{1.40 \times 8.314 \times 273.15}{0.02896}} \approx \sqrt{109\,800} \approx 331$ 米/秒。30 °C 时，$T = 303.15$ 开：$v \approx \sqrt{121\,800} \approx 349$ 米/秒。声速与压强无关，只与温度有关：热天里声音每秒要快将近 20 米。

练习：闪电有多远

你看到闪电，6 秒后听到雷声。闪电落在多远的地方？

光几乎是同时到达的。声音以约 343 米/秒的速度，在 6 秒内传播约 $343 \times 6 \approx 2\,060$ 米：闪电落在约 2 千米外。经验法则是把秒数除以 3，就得到以千米为单位的距离。

来源： Isaac Newton，Philosophiæ naturalis principia mathematica（1687），第二卷，命题 48–50 · Pierre-Simon Laplace，“Sur la vitesse du son dans l’air et dans l’eau”，Annales de chimie et de physique 3（1816） · Bernard S. Finn，“Laplace and the Speed of Sound”，Isis 55（1964） · Robert Fox，“The Rise and Fall of Laplacian Physics”，Historical Studies in the Physical Sciences 4（1974）。

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