从上学起我们就知道“加法交换律”：加数的顺序不影响和。对有限和来说，这是对的。对无穷和来说，却不然。最清楚的例子就出现在黎曼定义积分的那篇 1854 年的授课资格论文里。

和为 ln 2 的级数

交错调和级数

$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots$$

是收敛的，它的和是 $\ln 2 \approx 0.6931$。但它有一种脆弱之处。如果把正项和负项分开，每一组单独加起来都是无穷大：

$$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots = \infty, \qquad \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \cdots = \infty.$$

这个级数之所以收敛，只是因为正项和负项交替出现、不断相互抵消。像这样收敛、但各项绝对值之和为无穷大的级数，称为条件收敛的级数。

任何数

黎曼认识到，在条件收敛的级数中，可以通过重排各项得到任何和。选一个目标，比如 1.5，按下面的方法做：

  1. 加正项 $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots$，直到超过 1.5；
  2. 加负项 $-\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \cdots$，直到低于 1.5；
  3. 回到还没用过的正项，如此反复。

由于每一组单独都是无穷大，总有足够的项能再次越过目标。又由于各项越来越小，在目标附近的摆动也越来越小。重排后的级数之和恰好是 1.5。原级数的每一项都恰好出现一次，改变的只是顺序。

用同样的方法，还可以让级数发散到 $+\infty$ 或 $-\infty$。

练习：一正两负

把交错调和级数重排为一个正项后接两个负项：

$$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + \cdots$$

证明它的和是 $\frac{1}{2}\ln 2$。

把每个正项与紧跟其后的第一个负项组合：$\left(1 - \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{6}\right) - \frac{1}{8} + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{10}\right) - \cdots$。每个括号等于正项的一半：$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{10} - \cdots = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots\right) = \frac{1}{2}\ln 2$。同样的项，换个顺序，和就只剩一半。

练习：朝目标 1.5 的最初几步

按上面的方法、以 1.5 为目标，在第一个负项之前要加几个正项？

$1 = 1$；$1 + \frac{1}{3} \approx 1.333$；再加 $\frac{1}{5}$ 得 $1.533$，已超过 1.5。共三个正项（$1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}$）。接着是 $-\frac{1}{2}$，和变为 $1.033$，低于 1.5，于是回到正项：$\frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \ldots$

来源： Bernhard Riemann，“Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe”（1854，1867 年出版），第 3 节 · Peter Gustav Lejeune Dirichlet，“Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression…”（1837） · Konrad Knopp，Theory and Application of Infinite Series（1928）。

黎曼的全部主题 · ← 黎曼积分 · 黎曼曲面 →

图片来源.