微积分之争

莱布尼茨在 1684 年和 1686 年发表了微积分。牛顿早在 1665–1666 年就得到了同样的思想，却把一切都留在手稿里。十五年间，没有人争什么。

1699 年，牛顿的朋友、瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·德迪利耶在一本书中暗示莱布尼茨借鉴了牛顿。1708 年，苏格兰人约翰·基尔更进一步，指控莱布尼茨剽窃。理由是：1676 年莱布尼茨访问伦敦时，见过牛顿《分析》的一份抄本。

身为皇家学会会员的莱布尼茨请求学会进行公正调查。1712 年，一个委员会认定牛顿是第一发明人。莱布尼茨从未被请去陈述自己的理由，而那份报告是由学会会长牛顿本人秘密写成的。

莱布尼茨以一本匿名小册子回应，并试图把争论变成一场数学挑战。他于 1716 年去世，问题悬而未决。据说牛顿听到他的死讯时说，自己“伤透了莱布尼茨的心”。

今天历史学家的结论很清楚：两人是各自独立发明微积分的。莱布尼茨的手稿一步一步地记录了他得出这些思想的过程，那是一条不同于牛顿的道路。牛顿先得到，莱布尼茨先发表，而且记号更好。

在牛顿的遗产一篇中，可以看到从牛顿一方讲述的同一个故事。

胜出的记号

这场争执有一个意外的赢家：记号。欧洲大陆的数学家，如伯努利家族、欧拉和拉格朗日，使用莱布尼茨的 $dx$ 和 $\int$，在 18 世纪把微积分推向了很远。在英国，出于对牛顿的忠诚，人们坚守小点记号，英国数学因此落后。1812 年，剑桥学生创立了分析学会，正是为了采用莱布尼茨的记号，他们戏称这是在推崇“纯粹的 d 主义”，反对大学里的“点时代”。

莱布尼茨留给数学的有：

  • 符号 $dx$、$\dfrac{dy}{dx}$ 和 $\int$；
  • 数学意义上的函数和坐标这两个词；
  • 用点“$\cdot$”表示乘法、用冒号“:”表示除法；
  • 相似符号 $\sim$ 和全等符号 $\cong$（与今天相近的形式）。

数学之外

莱布尼茨也是历史上伟大的哲学家之一，著有《单子论》和《神义论》。在物理学中，他与笛卡儿的追随者争论如何度量运动物体的“力”，他的“活力”（$mv^2$）是动能概念的前身。在计算领域，二进制和用计算来推理的梦想预示了直到 20 世纪才实现的思想。

控制论的创始人诺伯特·维纳称莱布尼茨为这一领域的“守护神”。在德国，最重要的科学研究奖项就叫戈特弗里德·威廉·莱布尼茨奖。

要点回顾

  • 莱布尼茨生于 1646 年，卒于 1716 年，除了是数学家，还是法学家、外交官、图书馆馆长和哲学家。
  • 他成年后才在巴黎跟随惠更斯认真学习数学。
  • 他在 1675 年创造了符号 $d$ 和 $\int$，并于 1684 年和 1686 年发表了微积分。
  • 链式法则 $\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}$ 借助记号看起来就像约分。
  • 乘积的导数是 $u\,dv+v\,du$，而不是 $du\,dv$。
  • $\int$ 和 $d$ 是互逆运算：把差加起来就得到总量。
  • 他系统整理了二进制算术，并于 1703 年发表。
  • 他用阶梯轮造出了一台会做乘法的机器。
  • 他发现了 $\dfrac\pi4=1-\dfrac13+\dfrac15-\cdots$，马德哈瓦和格雷戈里此前已知道。
  • 牛顿和莱布尼茨各自独立发明了微积分。

资料来源： 生平与著作，MacTutor · 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨图书馆藏莱布尼茨文献。

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