ENEM 2025 – 已解决的数学：问题 151 到 165

来源： INEP – 证明 和模板 第二天，笔记本 5 – 黄色。

ENEM 数学和技术测试 2025 于第二天进行，并将 从问题 136 到 180。这篇文章解决了问题 151 到 165。此处使用的编号是笔记本 5 – 黄色 的编号；我们 在其他笔记本中，相同的问题以不同的顺序出现。

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问题 151：回旋五边形圆顶的顶点

陈述

陀螺拉长的五边形圆顶是约翰逊多面体，其面为 正多边形，但不是柏拉图、阿基米德、棱柱的多面体 或反棱镜。

这些图展示了这个多面体的两个位置和一个平面图。

这个多面体有多少个顶点？

• A) 21
• B) 25
• C) 55
• D) 80
• E) 110

解决

1。通过展平来计算面数。 有 1 十边形（红色）， 1 五边形（绿色）、5 正方形（黄色）和 25 三角形（蓝色）：20 na 围绕十边形和“圆顶”中的 5 的条带，位于正方形之间。总面数：

2。计算边缘。 每条边缘由两个面共享。添加 所有面的边除以 2：

**3。欧拉关系。**对于凸多面体，$V - A + F = 2$：

4。直接会议。 多面体有三“层”顶点：10 底十边形，中间十边形的 10（其中三角形带 与圆顶相遇）和顶部五边形的 5：$10 + 10 + 5 = 25$。

答案：替代B (25)。

请注意以下问题： 55（替代 C）是边的数量，并且 110（选项 E）是除以 2 之前所有面的边的总和。

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问题152：生态砖的生产（比例）

陈述

一家生态砖工厂，拥有 3 名员工，每个人都在工作 每天 6 小时，每天生产 720 单位。为满足成长 对该类型砖的需求，该工厂现有5名员工， 每个人每天工作 9 小时，从而提高他们的能力 生产。所有员工每人生产相同数量的砖块 小时，无论他们每天工作 6 小时还是 9 小时。

增加产能后每日生产的砖块数量 产量是

• A) 800.
• B) 1 080.
• C) 1 200.
• D) 1 800.
• E) 2 520.

解决

**1。每个员工每小时的产量。**之前：$3 \cdot 6 = 18$ 小时 每天工作，生产 720 块砖：

**2。新生产。**现在每天有$5 \cdot 9 = 45$个工作时间：

答案：替代D (1 800)。

**要小心陷阱：**只考虑员工的增加 （$720 \cdot \frac{5}{3} = 1200$，选项 C）或仅几个小时 （$720 \cdot \frac{9}{6} = 1080$，备选方案 B）。产量正比于 同时两个数量。

要查看，请参阅3的规则.

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问题 153：访客识别码

陈述

为了监控其大楼的访客流量，一家公司建立了一个 访问的识别码。根据既定规则， 每个访客都将通过带有 7 的数字序列代码进行识别 确定的数字，从左到右，如下：

• 第一个数字表示访客要去的楼层，是从1到4的数字；
• 接下来的两位数字对应于访问者想要访问的公司部门的编号。该编号范围为01至20；
• 接下来的三位数字对应于访客将要会见的公司员工的号码。该编号范围为001至135；
• 最后一位数字表示访客是上午到达公司，数字0，还是下午到达公司，数字1。

一位访客于上午10小时到达公司，与公司领导会面 编号为 109 的员工，在公司的部门 08 工作， 位于二楼。

该访客的识别码是

• A) 0109082.
• B) 0281090.
• C) 1010982.
• D) 2081090.
• E) 2810910.

解决

按照请求的顺序组装代码：

添加：2 08 109 0 = 2081090。

答案：替代D (2081090)。

要小心陷阱： 替代 B (0281090) 以以下数字开头 时期; a E (2810910) 忘记了扇区 08 左侧的零。代码有 固定顺序和位数。

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问题 154：随机退回手机（概率）

陈述

四名候选人在一场比赛中参加了考试。之前 考试开始后，四位考生的手机均被收缴。 涂抹者将它们每一个都放在一个黑色信封内。结束时 测试中，管理员将装有手机的四个信封退还给四人 候选人是随机的，因为他们没有确定 信封。

所有候选人收到信封的概率 与他们各自的手机是

• A) $\dfrac{1}{2}$
• B) $\dfrac{1}{10}$
• C) $\dfrac{1}{16}$
• D) $\dfrac{1}{24}$
• E) $\dfrac{1}{256}$

解决

1。可能的情况。 在 4 个候选人之间分发 4 个不同的信封， 每一个都是 4 元素的排列：

2。有利的情况。 只有一种分配方式为每个人提供了自己的手机。

3。概率。

答案：替代D ($\frac{1}{24}$)。

注意陷阱： 替代方案 E ($\frac{1}{256} = \frac{1}{4^4}$) 将每次交付视为独立的，就好像同一个信封可以 交付给不止一个人。但每个投递的信封都离开了投递者的手。

要回顾，请参阅[等概率事件]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/real/prob/eventoequi/).

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问题 155：按运动划分的学生（图形）

陈述

在学校里，所有高中生都会练习以下三种练习之一 体育运动作为体育活动提供，并且每个人都练习 仅其中一项活动。图表提供了一些相关数据 从事这些运动的学生人数 学校，尽管没有报告某些数量。

这所学校有多少名高中生？

• A) 720
• B) 360
• C) 320
• D) 288
• E) 240

解决

条形图的轴上没有数字，但同样有网格线 间隔。我们将对应的学生人数称为$u$ 两行之间的空间。

1。以单位 $u$ 读取条形图：

2。发现 $u$。 饼图告诉您 80 学生在玩 篮球。通过酒吧，篮球添加了$8u$：

3。学生总数。

（查看饼图：足球有 $180$，360 的一半，就像 半圆的蓝色部分表示。）

答案：替代B (360)。

**请注意以下问题：**饼图中的值 80 是 篮球，不是百分比。并且您需要计算三个系列的条形。

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问题 156：修正船舶航线（余弦定律）

陈述

船主必须通过以下方式从点 $P$ 出发并到达点 $R$ 两个线性位移并以恒定速度航行。这个 旅行将在夜间进行，因为他只有指南针和 一个时钟，规划了他的路线如下：

第 1 次 – 从点 $P$ 出发，朝 110 方向行驶 4 小时，到达点 $Q$；

第二次 – 从点 $Q$ 出发，朝 90 方向行驶 2 小时，到达目的地点 $R$。

然而，当引导船进行第一次位移时，它的方向是 340 而不是 110。结果，他进行了以下旅行：

1 日 – 从点 $P$ 出发，朝 340 方向航行，航行 4 小时，到达点 $S$；

第 2 次 – 从点 $S$ 出发，朝 90 方向航行，航行 2 小时，到达点 $T$。

图中显示了指南针、计划路线和执行路线。

船主在到达点$T$时才意识到错误。有了这个， 现在他需要定义允许他的方向和导航时间， 从点$T$出发，经过路线到达目的地点$R$ 直线的。

将 0,64 视为 cos 50° 的近似值。

船东必须提供的方向和大概航行时间 使用分别是

• A) 135 和 7 小时 15 分钟。
• B) 45 和 7 小时 15 分钟。
• C) 135 和 12 小时。
• D) 135 和 6 小时。
• E) 45 和 6 小时。

解决

由于速度恒定，我们将以“航行小时”来测量距离。 在罗盘上，方向以度为单位，顺时针，从 北（0 = N、90 = L、180 = S、270 = W）。

1。 TR 等于 SQ。 第二个偏移量（$Q \to R$ 和 $S \to T$）是 等于：方向90、2小时。所以 $STRQ$ 是一个平行四边形，并且路径 $T \to R$ 与 $S \to Q$ 具有相同的长度和方向。

2。三角形 PSQ。 $PS = PQ = 4$（小时）。 $P$ 中的角度就是差值 在方向 340 和 110 之间，较小的一侧：

3。余弦定律。 如 $\cos 130° = -\cos 50° = -0{,}64$：

还有 $0{,}24 \text{ h} = 0{,}24 \cdot 60 \approx 15$ 分钟。那么，关于 7 小时 15 分钟。

4。方向。 三角形 $PSQ$ 是等腰三角形，因此底角有效 $\frac{180° - 130°}{2} = 25°$。离开$S$，指向$P$的方向是 $340 - 180 = 160$。从$S$到$Q$的方向是$25°$再往东 （如图所示，从$S$看$Q$在$P$的右侧）：

方向 135 指向东南，与 图中的$T$至$R$。

答案：替代A（135和7小时和15分钟）。

**要小心陷阱：**方向 45（选项 B 和 E）指向 东北，但 $R$ 位于 $T$ 的东南方。时间不仅仅是简单的总和 或者航行时间的差异：您需要解决三角形$PSQ$。

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问题 157：年龄在 20 和 30 岁之间的群体（平均值和标准差）

陈述

在一项临床研究中，55 位女性被随机分配到 5 组 11 人。为了测试一种新药物，将选择一个小组，其中 大多数女性的年龄在 20 到 30 岁之间。其他组将采取 安慰剂或市场上已有的药物。框架，部分 完成后，它提供了一些有关这些群体中女性年龄的数据。

即使图片不完整，也可以选择其中一组，因为， 仅根据表中提供的数据，就可以确定一组： 当然符合选择标准。

选择的小组是

• A) 1.
• B) 2.
• C) 3.
• D) 4.
• E) 5.

解决

我们需要一个组，其中的数据保证大多数（至少 6 11）的年龄在 20 到 30 岁之间。

1。组 4：平均值 25 和标准差 1。 小标准差告诉您 年龄非常接近平均水平。更准确地说，方差是平均值 偏差的平方：

因此，偏差的平方和为11。如果任何女性的数量少于 20 或超过30年，其偏差将大于5，并且只有其平方 将超过 25，即大于 11。不可能的。所以所有 11 女性都有 20 到 30 年之间。

2。为什么其他人不提供服务。

• 组1：平均值25，但标准差10，即年龄分布良好；他可以 20到30之外会有很多。
• 组2：中位数25仅保证一半最多具有25，一半至少具有25， 并不是说它们在 20 和 30 之间。
• 组3：众数25只表示25是出现次数最多的年龄；可能是，对于 例如，两名女性带有 25，其余则分散。
• 组 5：年龄较小的 20 和年龄较大的 35；有几个可能大于30。

答案：替代D（组4）。

请注意以下问题： 均值、中位数或众数单独等于 25 并不 他们没有提及数据的传播。衡量价差的是 标准差，并且它需要很小。

要查看，请参阅[分散措施]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/real/estatistica/descritiva/meddisp/).

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问题 158：重复最佳速度（平均）

陈述

配速是跑步者用来描述他在比赛中的平均配速的术语。 比赛。表示该跑步者所需的平均时间（以秒为单位） 行程 1 公里。

该图显示了跑步者穿过跑道所需的时间（以秒为单位） 在 5 公里的比赛中定义前四段 1 公里的标记，以及 每段行驶 1 公里所花费的时间。

该跑步者在 5 公里比赛中取得的最佳配速是 281 秒/公里。

这样您就可以在本次比赛中在 5 公里的比赛中重复自己的最佳配速， 他在第五节的时间一定比他花费的时间少了多少秒 去第4段旅游？

• A) 1
• B) 2
• C) 8
• D) 9
• E) 15

解决

1。 步速为 281 秒/公里（以 5 公里为单位）的总时间。

2。第 5 部分的可用时间。 他已经花费了 1 132 秒长达 4 公里：

3、与第4节的比较，花费了 288 秒：

答案：替代E (15)。

要小心陷阱： 仅执行 281 中的第五部分是不够的。 速度是 5 部分的平均值；第一个 4 如何一起使用 1 132 s (8 s 超过$4 \cdot 281 = 1124$），后者需要补偿这些8。重要的是总时间。

要查看，请参阅位置测量.

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问题 159：填充容器（正切函数）

陈述

容器的形状意味着，当在一定温度下装满水时 恒定流量，水层到台面的距离$D$，单位： 厘米，相对于时间 $T$ 的增加，以分钟为单位，根据函数 类型的

参数$k$、$p$和$m$为实数，$T$在0和4之间变化 分钟，如图所示，其中呈现渐近线 $D$ 定义中使用的正切函数的垂直线。

表示$D$和$T$之间关系的代数表达式是

• A) $D = 2{,}5 + \text{tg}\left[30\left(T - \dfrac{5 - 2\pi}{2}\right)\right]$
• B) $D = 4 + \text{tg}\left[30\left(T + \dfrac{5}{2}\right)\right]$
• C) $D = 4 + \text{tg}\left[2{,}5\left(T + \dfrac{5 + 2\pi}{2}\right)\right]$
• D) $D = 30 + \text{tg}\left[\dfrac{1}{2}(T - 5)\right]$
• E) $D = 30 + \text{tg}\left[\dfrac{1}{2}\left(T - \dfrac{5}{2}\right)\right]$

解决

函数 $y = \text{tg}\,x$ 在 $x = -\frac{\pi}{2}$ 处有渐近线，并且 $x = \frac{\pi}{2}$，穿过它们中间的$(0, 0)$，并有句点$\pi$。 $D = k + \text{tg}[p(T + m)]$ 的每个参数都会更改这些特性之一。

1。周期 → $p$。 两个连续渐近线之间的距离是周期：

$\text{tg}(pT)$的周期为$\frac{\pi}{p}$，然后为$\frac{\pi}{p} = 2\pi$，即 $p = \frac{1}{2}$。

2。中心点 → $m$。 曲线的“中心”（拐点，其中 正切值 0) 位于渐近线的中间：

此时，$T + m = 0$，然后是$m = -\frac{5}{2}$。

3。中心值 → $k$。 在中心点，$\text{tg}(0) = 0$ 和 $D = k$。该图显示$D = 30$ 到$T = 2{,}5$，然后显示$k = 30$。

4。把它放在一起。

答案：替代E。

要小心陷阱： 替代方案 D 使用 $(T - 5)$，将中心放置在 在 $T = 5$ 而不是 $T = 2{,}5$ 中。交换$k$的角色也很容易 （垂直偏移，30）和$p$（控制周期），如 备选方案 A 和 B。

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问题 160：João 的房子（方块网格中的方向）

陈述

图中的灰色方块代表了一部分的块 若昂和他的朋友居住的街区。小方块（A），涂成黑色和 位于较大正方形的左上角，表示该人的房屋 若昂的朋友。若昂也住在街角的房子里，但最后 一个街区的东北部。离开家去朋友家时， João 应该绕着他住的街区向西走，然后右转， 向北步行三个街区，然后左转。的房子 你的朋友在西第二个街区。

João 的房子所在的街区由带有字母的方块表示

• A) P.
• B) Q.
• C) R.
• D) S.
• E) T.

解决

我们将块列从 1 到 6（从西到东）编号， 从 1 到 7 的线路（从北到南）。朋友的区块（A）已上线4， 3 列，房子位于其西北角。

测试块P（行7，列5）：

1. John离开P的东北角，沿着P的一侧向西走 在 P 上方，到达 P 的西北角，在柱 4 和 5 之间的街道上。

2。 右转（向北）并步行三个街区：穿过线 6、5 和 4，到达线 4 上方的街道。

3。 左转（西）：经过的第一个区块位于 4 列中，并且 第二个位于 3 列、4 行。第二个街区的尽头是拐角处 A区西北：朋友家。成功了。

**检查其他选项：**离开T（第6列），相同的路线结束 再东边的一列（在列 4 的拐角处）；离开R（列1），它会 向西转向时脱离地图； Q 和 S 在 的北边或在同一条线上 A，向北走了三个街区，他们没有到达 A 线。

答案：替代A (P)。

**要小心这个技巧：**描述的路线是从 João 的房子出发的，但是 已知的数据是朋友的房子。测试每个替代方案更安全 按顺序遵循说明，仔细数块。

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问题 161：使用再生塑料进行生产（百分比）

陈述

一家公司在给定月份生产了 110 吨塑料 来自石油衍生物和 80 吨来自再生塑料。成本 回收一吨塑料需要 R$ 500,00，相当于 5% 用动物副产品生产等量塑料的成本 油。接下来的一个月，该公司的目标是生产相同数量的产品 当月生产的塑料数量，但减少了至少 50% 生产成本。

为了使公司在下个月达到目标，最低金额 必须通过回收生产的吨塑料必须

• A) 135.
• B) 140.
• C) 155.
• D) 160.
• E) 175.

解决

1。每吨石油的成本。 R$ 500,00 是该成本的 5%：

2。这个月的费用。

3。目标。 最多生产相同的 $110 + 80 = 190$ 吨成本 一半：R$ 570 000,00。如果$r$吨被回收，则其他$190 - r$吨 来自石油：

答案：替代B (140)。

注意陷阱：“成本降低 50%”并不是“将 50% 降低到 石油塑料的生产”。有必要以雷亚尔计算成本。

要查看，请参阅百分比基础知识.

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问题 162：每对夫妇最多可容纳 1 人

陈述

十对夫妇成立了一个舞蹈团，并决定组成一个董事会 三个职位：主席、秘书和财务主管。为了获得更大的代表性， 决定每对夫妇最多只能有一个人在这个职位上占据一席之地 板。

这些10对可以组成多少种不同的棋盘？

• A) $10 \times 9 \times 8$
• B) $20 \times 18 \times 16$
• C) $20 \times 19 \times 18$
• D) $10 \times 9 \times 8 \times 2$
• E) $20 \times 18 \times 16 \times 2$

解决

我们按顺序选择位置（位置不同，所以顺序很重要）。

1。总统： 20 人 → 20 选项中的任何一个。

2。秘书： 不能是总统或其配偶 → $20 - 2 = 18$ 选项。

**3。财务主管：**不可能是已使用的两对夫妇中的任何人→$20 - 4 = 16$选项。

根据乘法原理：

答案：替代B ($20 \times 18 \times 16$)。

要小心陷阱： 仅限替代 C ($20 \times 19 \times 18$) 防止同一个人担任两个职位，但允许一对夫妇担任两个职位 职位。获得正确答案的另一种方法：按顺序选择情侣 ($10 \times 9 \times 8$)，并且在每一个中，两者中的哪一个假设 ($2^3 = 8$)，这给出 $10 \times 9 \times 8 \times 8 = 20 \times 18 \times 16$。替代方案D 乘以 2 而不是 $2^3$。

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问题 163：沙子中绘图的比例

陈述

一位经常在海滩上用沙子作画的艺术家问一位沐浴者 制作一幅小图画，作为大型艺术作品的草图。 在沙子里创造的艺术。该设计如图所示。

完成后，获得的艺术品保持与图纸相同的比例 由沐浴者制作，图中所示的尺寸被扩大 至 30 米。

这幅画代表了多大比例的艺术作品？

• A) 1 : 1,5
• B) 1 : 2,25
• C) 1 : 10
• D) 1 : 100
• E) 1 : 150

解决

比例为（图中测量）：（实际测量），相同单位。

1。同一单位。 $30 \text{ m} = 3000 \text{ cm}$。

2。原因。

答案：替代E (1 : 150)。

要小心陷阱： 替代方案 A (1 : 1,5) 来自将 30 除以 20 无需将米转换为厘米。 B (1 : 2,25) 是其平方， 与面积比混淆。

要回顾，请参阅比例和几何.

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问题 164：工作日和非工作日的皮质醇（原因）

陈述

皮质醇是一种由肾上腺产生的激素，可以通过 被认为是生理压力的重要标志。在一项研究中 与护士一起开发，发现皮质醇的浓度 一个工作日的唾液量（用 $T$ 表示）平均为 1,59 倍 休息日唾液皮质醇浓度，用 $F$ 表示。

ROCHA，M.C.P. 等人。护士的压力：在工作日和非工作日使用唾液皮质醇。 修订版。护理专业美国药典，n。 5、2013（已改编）。

在本研究中，$T$和$F$之间获得的关系为

• A) $T = 1{,}59 + F$
• B) $F = 1{,}59 + T$
• C) $\dfrac{T}{F} = 1{,}59$
• D) $\dfrac{F}{T} = 1{,}59$
• E) $F \cdot T = 1{,}59$

解决

“$T$ 是 1,59 乘以 $F$” 写成乘法：

两边除以$F$：

答案：替代C ($\frac{T}{F} = 1{,}59$)。

要小心陷阱：“times”表示乘法，而不是求和 （备选方案 A）。顺序很重要：$\frac{F}{T} = 1{,}59$（替代 D） 我想说的是，休息时间是皮质醇较多的地方。

要查看，请参阅比例.

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问题 165：每月停车费

陈述

停车场有 120 个停车位，所有这些停车位都 忙。每个客户每月支付一定的费用来使用空间，即 根据每月停车费用和预期利润计算。 每月停车费用为：R$ 14 240,00 含维护费 每辆车的保险 R$ 36,00。停车利润由以下因素决定 所产生费用的月费中收取的金额之间的差异。一个 从次月开始，每辆车的保险金额将增加20%，并且 维护费用将保持不变。结果，该业主 停车将重新调整月费，以获得每月利润 R$ 10 000,00。尽管进行了这一调整，所有空缺仍将被占用。

调整后的月费的价值（雷亚尔）为

• A) 185,60.
• B) 226,09.
• C) 245,20.
• D) 268,93.
• E) 285,60.

解决

1。每辆车新增保险。 20% 增加：

2。新的每月开支。

**3。必要的收款。**利润=收款-费用，所以：

4。月费。 在 120 个空缺之间分配：

答案：替代C (R$ 245,20)。

**要小心陷阱：**将 20% 的增加应用于整个费用，而不是 只是保险，或者忘记将保险乘以 120 辆车辆，会导致 不同的价值观。整个停车场的维护费用是固定的。

要查看，请参阅增加和折扣.

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