ENEM 2024 – 已解决的数学：问题 151 到 165

来源： INEP – 证明 和模板 第二天，笔记本 5 – 黄色。

ENEM 数学和技术测试 2024 于第二天进行，并将 从问题 136 到 180。这篇文章解决了问题 151 到 165。此处使用的编号是笔记本 5 – 黄色 的编号；我们 在其他笔记本中，相同的问题以不同的顺序出现。

模板

问题 151：更大体积的圆柱形包装

陈述

某行业与一家果汁经销商建立合作伙伴关系，推出 市场上有两种类型的包装。为了制造这些包装， 工业上有矩形铝板，每块尺寸为 10 厘米 20 厘米。这些片材中的每一个都用于形成 包装，呈直圆柱体形状，随后接收 圆形底部和盖子。如图所示，取决于两者中的哪一个 扩展将用作高度，这两个选项形成可能的 包装。

在这两个包中，容量最大的一个包的体积为 立方厘米，等于

• A) $4\thinspace 000\pi$
• B) $2\thinspace 000\pi$
• C) $\dfrac{4\thinspace 000}{\pi}$
• D) $\dfrac{1\thinspace 000}{\pi}$
• E) $\dfrac{500}{\pi}$

解决

卷起纸张时，一侧会转动 高度 气缸的另一个成为 周长 从基地： $2\pi r$.

1。包装 1（高度 20 厘米，周长 10 厘米）：

2。包装 2（高度 10 厘米，周长 20 厘米）：

3。比较。 $\frac{1\thinspace 000}{\pi} > \frac{500}{\pi}$，然后 封装2容量最大。

答案：替代D ($\frac{1\thinspace 000}{\pi}$ cm3)。

请注意以下问题：纸张的边是长度 周长，而不是半径或直径。谁使用10作为闪电发现 $\pi \cdot 100 \cdot 20 = 2\thinspace 000\pi$（替代方案 B）。替代方案E 是最小包裹的体积。

要查看，请参阅[圆形区域]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/irracional/geoirra/areacirculo/).

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问题 152：使用趋势线估算收入

陈述

某个行业在 2014 到 2021 期间获得的年收入，单位为 百万雷亚尔，按点记录在图表上。其中也有 描绘了描述收入演变趋势的直线。 这条直线可用于估计接下来几年的收入。

该行业今年的预计收入（百万雷亚尔） 从这条趋势线获得的2026是

• A) 7.
• B) 8.
• C) 9.
• D) 10.
• E) 11.

解决

红点是实际收入；该问题仅使用直线。

**1。找到落在网格上的线上的两个点。**查看图表， 该线正好穿过：

• $(2014, \ 4)$;
• $(2017, \ 5)$.

2. 变化率 （预计收入每年增加多少）：

（检查图形：在 2020 中，直线穿过 6，因为 $5 + 3 \cdot \frac{1}{3} = 6$。）

3。估计 2026。 从 2014 到 2026 是 12 年：

答案：替代B（8百万雷亚尔）。

**小心陷阱：**不要使用红点（真正的食谱） 绘制趋势图。例如，将2014（约3,5）连接到2021（约 6,7) 给出另一个斜率和另一个估计值。

要回顾，请参阅一级函数.

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问题 153：用舱壁填充水箱

陈述

坦克，形状为直长方体，内部有 两个垂直舱壁，固定在其底座和两个相对的墙壁上， 与它们垂直，如图所示。

这些舱壁的厚度可以忽略不计，其安装方式是为了 将水箱底部分成三个全等的矩形，并确定其高度 等于水箱高度的一半又四分之一。水箱充满了 位于天花板上的入口，通过管道以一定流量排出水 常数，需要 12 小时才能完成填充。

该图描述了每个时刻水柱的最大高度， 在整个储罐填充过程中形成的物质中，有

解决

从左到右将这些隔间命名为 1、2 和 3。从图中， 1 和 2 之间的隔板高度为 $\frac{H}{4}$，2 和 3 之间的隔板高度 高度$\frac{H}{2}$，进水口位于隔间上方3。

1。每“切片”的时间。装满水箱需要 12 小时。每个隔间都是 从底座开始 $\frac{1}{3}$，然后填充整个隔间（高度 $H$） 需要 4 小时。将隔室填充至 $\frac{H}{2}$ 需要 2 小时，并且最多 $\frac{H}{4}$ 需要 1 小时。

2。监控填充：

**3。图表。**最大高度在2 h 处快速上升至$\frac{H}{2}$，变为 从 2 h 停止到 6 h，然后以更缓慢的速度（直线）爬升到 12 h 处的 $H$。 就是图B。

答案：替代B。

要小心陷阱：问题是最大之间的高度 列，而不是特定隔间的高度。图 D 和 E “下去”，这是不可能发生的：水永远不会离开隔间3。并从 6 h 到 12 h 上升速度比开始时慢，因为现在水扩散了 遍布整个基地。

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问题 154：平均合约阅读时间

陈述

互联网上提供的各种服务的合同提供了数量 过多的信息。这使得阅读所需的时间 这些合同可能会很长。

该表提供了阅读所需时间的示例 一些数字服务的完整合同。

ROMERO，L. 我还没有读过，但我同意。超级有趣，不。 307，8 月 2012（已改编）。

完整阅读合同所需的平均时间（以分钟为单位） 表中列出的服务大约为小数点后一位，

• A) 13,0.
• B) 15,0.
• C) 19,8.
• D) 20,0.
• E) 23,3.

解决

算术平均值是值的总和除以值的数量。

1。添加时间：

2。除以服务数量 (6)：

答案：替代C（19,8分钟）。

要小心陷阱： 13,0（替代方案 A）是 模式（ 重复），15,0（选项 B）是中位数 ($\frac{13 + 17}{2}$)。 该问题询问平均值。

要查看，请参阅位置测量.

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问题155：传感器扇形面积

陈述

业主想要安装存在传感器来保护他的 财产。传感器必须检测物体和人的运动 某些平坦区域。该图显示了俯视图 放置在点 $S$ 的传感器的覆盖范围（蓝色圆形扇区）。这个 面积取决于角度 $\alpha$（以度为单位）和半径 $R$（以米为单位）的测量值。

通过增加角度 $\alpha$ 或半径 $R$ 的覆盖范围 传感器。然而，这个面积越大，传感器的价格就越高。

为此，市场上有五种类型的传感器，每种都具有 具有以下特点：

• 类型 I：$\alpha = 15°$ 和 $R = 20$ m；
• 类型 II：$\alpha = 30°$ 和 $R = 22$ m；
• 类型III：$\alpha = 40°$和$R = 12$m；
• IV型：$\alpha = 60°$和$R = 16$米；
• V 型：$\alpha = 90°$ 和 $R = 10$ m。

该业主打算购买其中一种传感器，该传感器能够 以尽可能低的价格覆盖至少 70 平方米的面积。

使用 3 作为 $\pi$ 的近似值。

业主必须购买类型传感器

• A) I.
• B) 二．
• C) 三．
• D) 四．
• E) V.

解决

1。扇形面积。 角度 $\alpha$ 的扇形是分数 整圈的$\frac{\alpha}{360°}$：

2。计算每种类型：

**3。选择最便宜的。**在那些覆盖至少 70 平方米（II、IV 和 五）、价格随面积增长。 面积最小的是 V 型 (75 m²)。

答案：替代E（类型V）。

注意问题： IV 型具有最大面积，但 业主希望在满足 70 平方米最低要求的业主中获得最低价格。

要查看，请参阅[圆形区域]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/irracional/geoirra/areacirculo/).

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问题 156：每个应用程序一次乘车的价值（功能）

陈述

使用交通应用程序已成为人们的替代选择 寻找更具竞争力的价格，尤其是大型企业 城市。用于确定每次行程收费金额的方法 不同的申请有所不同，但一般来说，需要支付的金额为 $V$，以 真实的，取决于：

• 基本票价 $F$：固定金额，以雷亚尔为单位，在行程开始时收取；
• time $T$：行程时间，以分钟为单位；
• 距离$D$：行驶距离，以公里为单位。

这些应用程序之一按固定金额收取 R$ 2,00，另加每笔 R$ 0,26 行驶分钟数和每行驶公里 R$ 1,40。

在这些条件下，提供行程支付金额 $V$ 的表达式 该应用程序的

• A) $2{,}00F + 0{,}26T + 1{,}40D$
• B) $2{,}00 + 0{,}26T + 1{,}40D$
• C) $2{,}00 + 0{,}26T + D$
• D) $0{,}26T + 1{,}40D$
• E) $F + T + D$

解决

我们逐部分设置值：

1。固定费用： R$ 2,00，收取一次。这是一个数字，与其他因素无关 什么也没有：$2{,}00$。

2。时间： R$ 0,26 每分钟，$T$ 分钟：$0{,}26T$。

3。距离： R$ 1,40 每公里，$D$ 公里期间：$1{,}40D$。

4。添加：

答案：替代B。

要小心陷阱：在备选方案 A 中，项 $2{,}00F$ 相乘 2 的基本费率。但基本汇率已经 R$ 2,00；正确的术语是 仅 $2{,}00$（即 $F = 2{,}00$）。

要回顾，请参阅一级函数.

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问题 157：填充游泳池的流量

陈述

游泳池的容量为 2 500 000 升。您的供应系统 调节为每分钟 6 000 升水的恒定流量。

相同的系统安装在第二个水池中，容量为 2 750 000 升，并调节流量，也是恒定的，能够 填充它的时间比填充第一个池的时间长 20%。

第二个水池供应系统的流量（以升/分钟为单位）为

• A) 8 250.
• B) 7 920.
• C) 6 545.
• D) 5 500.
• E) 5 280.

解决

请记住：$\text{tempo} = \dfrac{\text{volume}}{\text{vazão}}$ 和 $\text{vazão} = \dfrac{\text{volume}}{\text{tempo}}$。

1。首次泳池时间：

2。第二个池时间（大于 20%，即 $1{,}2$ 倍）：

3。第二池流量：

答案：替代D (5 500 L/min)。

要小心陷阱： 20% 时间越高 否 意味着 20% 流量较低。 执行 $0{,}8 \cdot 6\thinspace 000 \cdot 1{,}1$ 得到 5 280（选项 E）。 先计算时间，再计算流量。

要查看，请参阅3的规则.

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问题 158：流量测量单位（比例量）

陈述

管道在单位时间内输送相同体积的水 一个水箱，也就是说这个管道里的水流量是 常数。在该管道与水箱的连接处， 过滤膜的目的是过滤水中存在的任何杂质 水，结合良好的水流。通过水的流量 ($\phi$) 膜的表面积与水的流速成正比 管道，以每秒毫升为单位测量，与面积成反比 膜表面的面积，以平方厘米为单位测量。

描述水流量 ($\phi$) 的适当测量单位 穿过膜表面

• A) $\text{mL} \cdot \text{s} \cdot \text{cm}^2$
• B) $\dfrac{\text{mL}}{\text{s}} \cdot \text{cm}^2$
• C) $\dfrac{\text{mL}}{\text{cm}^2 \cdot \text{s}}$
• D) $\dfrac{\text{cm}^2 \cdot \text{s}}{\text{mL}}$
• E) $\dfrac{\text{cm}^2}{\text{mL} \cdot \text{s}}$

解决

1。建立关系。 与流量 $Q$ 成正比（在 分子）与面积 $A$ 成反比（它位于分母中）：

2。放置单元。 流速为 $\frac{\text{mL}}{\text{s}}$，并且 $\text{cm}^2$ 中的区域：

答案：替代C。

要小心陷阱： 替代方案 B 乘以面积，即 它将与面积“成正比”。成反比的意思是 除除以面积。

回顾见【数量分析】（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/racional/proporcoes/analise-de-grandezas/).

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问题 159：购买农药的成本更低

陈述

在一家农药商店里，部分产品的价格 发表在海报上。

已知 1 升 A 型农药足以施用在 0,5 公顷 (ha)，而 1 升 B 型农药足以 申请在0,4公顷。农民需要在这家商店购买一定数量的 足以在 20 公顷面积上施用的农药升数，此外 请携带口罩以供使用。

农民花费的最低金额（雷亚尔）为

• A) 147,00.
• B) 150,00.
• C) 162,50.
• D) 165,75.
• E) 168,00.

解决

根据海报：A 型费用为 R$ 4,20/升，B 型费用为 R$ 3,00/升， 口罩价格为 R$ 12,50，购买至少 35 升 A 型口罩的人将获得 面具。

1。每种类型每公顷的成本：

• A 型：1 升覆盖 0,5 公顷，因此 1 公顷成本为 $\frac{4{,}20}{0{,}5} = 8{,}40$ 雷亚尔；
• B 型：1 升覆盖 0,4 公顷，因此 1 公顷成本为 $\frac{3{,}00}{0{,}4} = 7{,}50$ 雷亚尔。

B型每公顷更便宜； A的优势就是免费的面具。

2. 仅适用于 B 型的选项： $\frac{20}{0{,}4} = 50$ 升。

3。仅适用于 A 型的选项： $\frac{20}{0{,}5} = 40$ 升（赢得面罩）。

4。混合选项（35 A 的 L 赢得面具 + B 其余）： 35 A 的 L 覆盖范围 $35 \cdot 0{,}5 = 17{,}5$ 公顷；缺少2,5哈，谁问 $\frac{2{,}5}{0{,}4} = 6{,}25$ B 的 L。

5。比较： 162,50 < 165,75 < 168,00。最低价格是只买B型 并支付口罩费用。

答案：替代C (R$ 162,50)。

注意陷阱： 促销似乎更有利，但 A 类更有利 每公顷价格昂贵，差价超过了口罩的价格。替代方案A (147,00) 和 B (150,00) 只是帐户的一部分（A 的 35 L；B 的 50 L，没有 面具）。

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问题 160：糖果部分的新价格

陈述

您附近的一家糖果店出售并配送 100 克糖果 生日。目前单笔配送费用为R$10,00，收取的金额 一部分是 R$ 25,00。对于销售策略，从下一个 周，单次配送费用为 R$ 15,00，并且每次将收取新的金额 一部分，以便客户在购买时支付的总金额 5 部分保持不变。

从下周开始，新的费用将是多少（以雷亚尔为单位） 部分？

• A) 12,50
• B) 20,00
• C) 24,00
• D) 30,00
• E) 37,50

解决

1。当前 5 份总量：

2。新总计，其中 $x$ = 新份价，必须相等：

3。解决：

答案：替代C (R$ 24,00)。

请注意问题：送货费用独特：最高可达 R$ 5,00 1 只有一次。这一增加额被分成 5 部分，每部分获得 R$ 1,00 更便宜。

要回顾，请参阅一次方程.

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问题 161：抽签中最有可能的年龄组

陈述

某公司拥有 400 名员工，分布在三个部门： 行政、物流和生产。该图显示了分布 按部门和年龄组划分的这些雇员的数量。

这些员工将安排一次假期旅行，以便 每个人都有平等的机会被抽中。

最大概率是抽签的员工属于该年龄段

• A) 在 25 到 45 岁之间，因为这是员工人数最多的年龄组。
• B) 在 25 和 45 岁之间，因为它是唯一一个百分比高于每个部门最低百分比的年龄组。
• C) 最高可达 25 岁，因为它是唯一一个与部门相关的百分比随着每个部门雇员人数的增加而增加的年龄组。
• D) 最多 25 岁，因为该年龄组在生产部门中拥有最多的员工，而生产部门雇用了公司一半的员工。
• E) 从 45 岁开始，因为与该年龄组相关的百分比总和为 110%，大于与其他年龄组相关的相应总和，即 105% 和 85%。

解决

由于每个人都有相同的机会，因此最有可能的范围是 更多 员工。这些百分比来自不同规模的行业（80、120 和200），那么我们需要将它们转换为 数量.

1。每个范围和部门的数量：

（检查：$126 + 142 + 132 = 400$。）

**2。结论。**25和45年之间的范围具有最大的数字（142），因此 最高概率：$\frac{142}{400} = 35{,}5$%。

答案：替代A。

要小心这个技巧： 添加扇区的百分比（替代 E） 这是没有意义的，因为每个百分比都是不同的总数。 50% 的 行政人员只有 40 人，而生产的 35% 是 70。

要回顾，请参阅[概率导论]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/real/prob/introprob/） 和基本百分比.

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问题 162：轨迹的正交投影

陈述

在虚拟手机游戏中，角色可以移动轨迹 直线沿着墙壁飞行或移动。考虑到 字符描述轨迹 $ABCDEF$，其中点 $A$、$D$ 和 $E$ 位于与包含点 $B$ 和 $C$ 的平面平行的平面中，这两个点是 与包含点 $F$ 的基准平面正交的平面，如图所示。

所描述的轨迹 $ABCDEF$ 到基平面的正交投影 由字符是

解决

正交投影到底座上是“从上面看”：每个点都落在底座上 垂直于地板。调用 $A'$, $B'$, … 投影。在替代方案中， 正方形的左侧是$B$和$C$墙的底边，右侧是 $A$、$D$和$E$墙的底部，底侧是正面。

1。点在右墙上。由于这面墙垂直于底座， $A$、$D$ 和 $E$ 投影到正方形的右侧。 $A$ 位于 底部，因此 $A'$ 是右上角。

2。 $B$ 和 $C$。 它们位于左侧墙壁上，一个正好位于另一个的上方 （段 $BC$ 是垂直的）。所以 $B'$ 和 $C'$ 是侧面的同一个点 向左，并且部分 $BC$ 变为单个点。

3。 $D$ 和 $E$。 它们位于右墙上，但不在同一垂直方向上：$E$ 比 $D$ 更低且更靠前。所以 $D'$ 和 $E'$ 是点 右侧不同，并且$DE$部分成为右侧的段 对。。

4。 $F$ 已经位于底部、前缘。

5。投影图形： $A'$（后角，右侧）→ $B' = C'$（侧面 左）→$D'$（右侧）→$E'$（右前）→$F$ （前面）。只有替代方案 C 具有这种形状：平躺的“V”形，垂直截面 右侧，然后是前面的一段。

答案：替代C。

要小心陷阱： 替代方案 B 在一个点连接 $D'$ 和 $E'$， 就好像 $DE$ 是垂直的（$BC$ 是这种情况，而不是 $DE$）。至 选项 D 和 E 绘制穿过正方形的水平截面，其中 轨迹上不存在。

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问题 163：在显微镜下观察红细胞的镜头

陈述

人类视觉在不使用显示器的情况下能够看到的最小尺寸 辅助设备相当于100千分尺（1千分尺= $10^{-3}$ 毫米）。一名学生打算可视化并分析来自 人类血液，直径为 0,007 毫米。她买了一台显微镜 具有目镜的光学器件，可将物体的图像放大 10 倍 观察，以及一组具有这些观察能力的物镜 放大倍率：

• 镜头I：2次；
• 镜头二：10倍；
• 镜头III：15倍；
• 红外镜头：1,1时间；
• 镜头V：1,4时间。

该显微镜的操作允许单独使用目镜或 将其与其物镜之一相结合，在这种情况下，提供： 最终扩展容量的增加，由以下乘积给出 目镜和物镜的放大能力。

该学生打算选择最低的物镜 与目镜结合使用的放大倍数可以使红细胞可视化 人类的血液。

学生选择的物镜是

• A) I.
• B) 二．
• C) 三．
• D) 四．
• E) V.

解决

1。相同单位。 视野极限为

2。需要放大倍数。 红细胞图像 (0,007 mm) 需要达到 至少 0,1 毫米：

3。使用最小物镜的目镜（10倍）测试组合 放大到最大：

具有最低放大倍率的镜头是 I 号镜头。

答案：替代A（镜头I）。

要小心这个技巧：使用 V 镜头时，图像为 0,098 毫米，非常 接近 0,1 毫米，但仍低于最小值。谁回合选V （选项E）错误。

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问题 164：使用错误的除数计算平均值

陈述

在计算 4 次测试中的平均成绩时，学生除以 错误，5 的注释总和。结果，获得的平均值为1，比 如果计算正确的话应该是这样。

该学生平均绩点的正确值为

• A) 4.
• B) 5.
• C) 6.
• D) 19.
• E) 21.

解决

1。称分数总和为 $S$。 正确的平均值为 $\frac{S}{4}$；错误的 是$\frac{S}{5}$。

2。错误的是1较小的单位：

3。求解（4和5的MMC为20）：

4。正确平均值：

（检查：错误的平均值为 $\frac{20}{5} = 4$，1 小于 5。）

答案：替代B (5)。

请注意以下问题： 4（选项 A）是平均值错误，而 20 是 成绩总和；问题是正确平均值。

要查看，请参阅位置测量.

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问题165：包含数字和字母的密码（计数）

陈述

打开公司大门，每个员工都必须注册一个密码 使用如图所示的字母数字键盘。

例如：包含数字2的按键有对应的字母A、B C. 每次触摸该键都会依次显示以下字符： 2、A、B 和 C。对于下一个响铃，重复此序列。其余的 键的工作方式相同。

员工注册的密码必须包含5个字符， 2 是不同的数字，后跟 3 不同的字母，按此顺序。一 员工将注册他们的第一个密码，可以在 显示数字 1、2、5、7 和 0 及其相应字母的键 相关，如果有的话。

该员工必须注册的不同可能性的数量 你的密码是

• A) 11 520.
• B) 14 400.
• C) 18 000.
• D) 312 000.
• E) 390 000.

解决

1。可用字符。

• 数字：1、2、5、7 和 0 → 5 位。
• 字母：1和0键没有字母； a 2 有 A、B、C； a 5 有 J、K、L；这 7 有 P、Q、R、S → $3 + 3 + 4 =$ 10 字母。

2。两位数字（不同，顺序很重要）：

3。三个字母（不同，顺序很重要）：

4。乘法原理（数字和字母）：

答案：替代B (14 400)。

**小心这个技巧：**谁允许你重复字母和数字 找到 $5 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 25\thinspace 000$，这甚至没有 是替代方案之一。仔细阅读“不同”和“不同”： 每做出一个选择，就少一个选择。

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