Euler's Eyes
2026-10-30
拉普拉斯妖
我们应当把宇宙的现状看作它先前状态的结果，以及它之后状态的原因。一个智者，如果在某一时刻知道推动自然的一切力量，以及组成自然的一切存在物各自的位置，并且广博到足以对这些数据加以分析，那么它就能用同一个公式囊括宇宙中最大天体的运动和最轻原子的运动：对它来说，没有什么是不确定的，未来和过去一样，都呈现在它眼前。
— 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯，《概率的哲学随笔》（1814）
这是拉普拉斯被引用最多的一段话。它概括了把牛顿力学推到尽头的世界观：如果运动定律是精确的，现在又被完全知道，那么未来就被完全决定了。这就是决定论。
不是妖的妖
拉普拉斯从未用过“妖”这个词：他说的是“智者”。这个绰号是后来才有的，类比于物理学中其他想象出来的存在。而这段话的上下文常常被遗忘。它在一本概率书的开头，拉普拉斯的论证与表面看上去恰恰相反。
他说，人类的心智只能提供这个智者的一个模糊影像。我们并不知道所有的力和所有的位置，只知道一部分。正因为如此，我们才需要概率。对拉普拉斯来说，概率衡量的不是世界中存在的偶然，而是我们的部分无知。抛出的硬币遵循力学定律；我们说正面的概率是 $\frac{1}{2}$，是因为我们不确切知道抛掷的力度。这与继承法则背后的观点相同：概率是知之甚少的人的相信程度。
混沌
拉普拉斯的决定论假设：几乎完美地知道现在，就能几乎完美地知道未来。1890 年，亨利·庞加莱在研究三体问题时发现，情况并非总是如此。在某些系统里，初始条件的微小差别会不停地增长。1963 年，气象学家爱德华·洛伦茨在一次天气模拟中重新发现了这个现象，也就是今天所说的混沌，或者蝴蝶效应。
一个简单的计算就能显示这种效应有多强。假设初始误差是 $10^{-10}$，即百亿分之一，每一步翻一倍。$n$ 步之后误差为 $2^n \cdot 10^{-10}$，当
$$2^n = 10^{10} \quad\Longleftrightarrow\quad n = \frac{10}{\log_{10} 2} \approx 33$$时，误差达到 1 的量级，也就是系统本身的大小。只需 33 步，十位小数的精度就毫无用处。而每多一位小数，只能多撑约 3.3 步。拉普拉斯的智者需要无限的精度。
20 世纪，量子力学走得更远：根据海森堡的不确定性原理，一个粒子的位置和速度甚至不能同时以任意精度被知道。在拉普拉斯的世界里，现在决定未来；取而代之的，是一个概率就写在定律本身之中的世界。
练习：十五位小数
计算机存储数字时约有 15 位小数。如果误差每一步翻一倍，混沌模拟经过多少步会失去全部精度？
需要 $2^n \cdot 10^{-15} \approx 1$，即 $n = \frac{15}{\log_{10} 2} \approx \frac{15}{0.301} \approx 50$ 步。即使用现有最好的算术，经过五十来次翻倍，预测也就失去了意义。
练习：天气预报的极限
假设在大气中误差每 2 天翻一倍，而当误差达到测量值的 100% 时预报就失去用处。如果初始测量的误差为 1%，最多能预报多少天？如果初始误差降到 0.1% 呢？
误差为 1% 时，需要增长 100 倍：$2^n = 100$，$n = \log_2 100 \approx 6.6$ 次翻倍，约 13 天。误差为 0.1% 时，倍数是 1000：$n = \log_2 1000 \approx 10$ 次翻倍，约 20 天。测量精度提高十倍，只换来多一周的预报。这就是为什么，尽管有超级计算机，详细的天气预报也超不过两周。
来源： Pierre-Simon Laplace，Essai philosophique sur les probabilités（1814），引言 · Henri Poincaré，“Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique”，Acta Mathematica 13（1890） · Edward N. Lorenz，“Deterministic Nonperiodic Flow”，Journal of the Atmospheric Sciences 20（1963） · Ian Stewart，Does God Play Dice? The Mathematics of Chaos（1989） · Ian Hacking，The Taming of Chance（1990）。
图片来源.