微积分老师常常同时说两句话：“$\frac{dy}{dx}$ 不是分数”和“可以像分数那样把 $du$ 约掉”。两句都对，而这正是莱布尼茨记号的力量和危险所在。它看起来像分数，而且在大多数计算中表现得像分数。知道这种相似在哪里成立、在哪里失效，是阅读数学最精细的能力之一。

在哪里成立

链式法则。 如果 $y$ 依赖于 $u$，$u$ 依赖于 $x$：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.$$

两个 $du$ 像分数那样“约掉”。对 $y=(x^2+1)^{10}$，取 $u=x^2+1$：$\frac{dy}{du}=10u^9$，$\frac{du}{dx}=2x$，所以 $\frac{dy}{dx}=20x(x^2+1)^9$。

反函数。 如果 $y=e^x$，那么 $x=\ln y$，且

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}=\frac1{e^x}=\frac1y.$$

把分数倒过来，就得到 $\ln y$ 的导数。在别的记号里需要一个定理的规则，在这里把纸翻过来就出来了。

分离变量。 对 $\frac{dy}{dx}=ky$，把 $dx$“移到另一边”：

$$\frac{dy}{y}=k\,dx\quad\Longrightarrow\quad\ln y=kx+C\quad\Longrightarrow\quad y=Ce^{kx}.$$

严格的数学家对“移到另一边”皱眉头，但结果是对的，而且有一个定理保证，在这类计算中结果总是对的。

在哪里失效

二阶导数。 写法 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 似乎是在说“$d^2y$ 除以 $dx^2$”，于是很容易得出 $\frac{d^2y}{dx^2}=\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$。对 $y=x^2$：$\frac{d^2y}{dx^2}=2$，而 $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=4x^2$。两者毫不相干。更糟的是，二阶导数的链式法则不是二阶导数的乘积：

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2y}{du^2}\left(\frac{du}{dx}\right)^2+\frac{dy}{du}\cdot\frac{d^2u}{dx^2},$$

多出的那一项，没有任何“约分”预告过它。

偏导数。 对理想气体，$pV=nRT$。三个量中的每一个都可以写成另外两个的函数，偏导数为

$$\frac{\partial p}{\partial V}=-\frac{p}{V},\qquad\frac{\partial V}{\partial T}=\frac{nR}{p},\qquad\frac{\partial T}{\partial p}=\frac{V}{nR}.$$

如果它们是分数，乘积会约成 $1$。但是

$$\frac{\partial p}{\partial V}\cdot\frac{\partial V}{\partial T}\cdot\frac{\partial T}{\partial p}=-\frac pV\cdot\frac{nR}p\cdot\frac{V}{nR}=-1.$$

负号来自记号所隐藏的东西：每个 $\partial$ 固定的是不同的变量，而这个变量没有写出来。第一个因子里的 $\partial p$ 和第三个因子里的 $\partial p$ 不是同一个对象。物理学家知道这一点，在热力学中把固定的变量写成下标：$\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T$。

那么，到底是不是？

对莱布尼茨来说，是的：$dy$ 和 $dx$ 是无穷小量，$\frac{dy}{dx}$ 是它们的比。到了十九世纪，柯西和魏尔斯特拉斯的严格化用极限取代了无穷小，$\frac{dy}{dx}$ 成了一个不可分割的整体符号。二十世纪六十年代，逻辑学家亚伯拉罕·鲁滨逊证明，只要小心，就能构造出真正的无穷小数；在这种非标准分析里，导数又重新成为一个比值，只需稍作调整。

简短的回答是：当只有一个自变量、一阶导数时，$\frac{dy}{dx}$ 表现得像分数。超出这个范围，就必须核实。

练习：正弦的反函数

用 $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}$ 求 $x=\arcsin y$ 的导数，其中 $-1

若 $y=\sin x$，则 $\frac{dy}{dx}=\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}=\sqrt{1-y^2}$（在适当的区间内 $\cos x>0$）。所以 $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$，这就是反正弦的导数。

练习：用链式法则求二阶导数

对 $y=u^3$，$u=2x$，用两项的公式计算 $\frac{d^2y}{dx^2}$，再直接对 $y=8x^3$ 求导来验证。

$\frac{d^2y}{du^2}=6u$，$\frac{du}{dx}=2$，$\frac{dy}{du}=3u^2$，$\frac{d^2u}{dx^2}=0$。公式给出 $6u\cdot4+0=24u=48x$。直接求：$y=8x^3$，$y'=24x^2$，$y''=48x$。一致。这里第二项为零，是因为 $u$ 是线性的；若 $u=x^2$，就不为零了。

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