Euler's Eyes
2026-10-15
什么是群：三角形的六种对称
用纸剪一个正三角形，把三个角编号为 1、2、3，放在桌上画好的轮廓上。有多少种方法可以把三角形拿起来再放回去，使它恰好盖住同一个轮廓？
有六种。可以什么都不做；转 $120°$ 或 $240°$；或者绕三条轴之一把三角形翻过来，每条轴经过一个角和对边的中点。
我们把什么都不做的动作记作 $e$，两个旋转记作 $r$ 和 $r^2$，三个翻折记作 $s_1, s_2, s_3$，其中 $s_1$ 沿竖直轴，$s_2$ 沿经过右下角的轴，$s_3$ 沿经过左下角的轴。
对称的乘法表
连续做两个动作，结果总是六个之一。例如，转两次 $120°$ 就是转 $240°$：$r$ 之后再做 $r$ 得到 $r^2$。转三次回到起点：$r^3=e$。我们用 $a\star b$ 表示"先做 $a$，再做 $b$"。用纸三角形把所有组合都试一遍，就得到完整的表：
| $a\star b$ | $e$ | $r$ | $r^2$ | $s_1$ | $s_2$ | $s_3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $e$ | $e$ | $r$ | $r^2$ | $s_1$ | $s_2$ | $s_3$ |
| $r$ | $r$ | $r^2$ | $e$ | $s_2$ | $s_3$ | $s_1$ |
| $r^2$ | $r^2$ | $e$ | $r$ | $s_3$ | $s_1$ | $s_2$ |
| $s_1$ | $s_1$ | $s_3$ | $s_2$ | $e$ | $r^2$ | $r$ |
| $s_2$ | $s_2$ | $s_1$ | $s_3$ | $r$ | $e$ | $r^2$ |
| $s_3$ | $s_3$ | $s_2$ | $s_1$ | $r^2$ | $r$ | $e$ |
行表示第一个动作，列表示第二个动作。用纸验证其中一格：转 $120°$ 后，角 1 到了右下，角 3 到了上方。再沿竖直轴翻折，角 3 留在上方，下面两个角交换位置。原来在左下的角 2 最后到了右下，正是它一开始所在的位置。这就是 $s_2$ 的效果：$r\star s_1=s_2$。
顺序很重要
现在反过来做：先 $s_1$，再 $r$。表中写着 $s_1\star r=s_3$。所以
$$r\star s_1=s_2\neq s_3=s_1\star r.$$对于数，$3\times5=5\times3$；对于对称，顺序会改变结果。顺序永远无关紧要的群称为阿贝尔群。三角形的群是最小的非阿贝尔群。
四条规则
使这六个动作构成一个群的，是四条性质，它们对伽罗瓦的根的置换也成立：
- 封闭性。 复合两个元素得到的仍是集合中的元素。表中只出现这六个动作。
- 结合律。 $(a\star b)\star c=a\star(b\star c)$：连续做三个动作，无论先结合哪两个，结果都一样。
- 单位元。 存在 $e$，使 $e\star a=a\star e=a$。
- 逆元。 每个动作都可以撤销。$r$ 的逆元是 $r^2$，因为 $r\star r^2=e$。每个翻折都是它自己的逆元：$s_1\star s_1=e$。
子群
三个旋转 $\{e, r, r^2\}$ 自己就在群内构成一个群：旋转复合只能得到旋转。这是一个子群。$\{e, s_1\}$、$\{e, s_2\}$、$\{e, s_3\}$ 也是子群。它们的大小 1、2、3、6 都是 6 的约数。根据拉格朗日定理，总是如此：子群的大小整除群的大小。不存在 4 个或 5 个元素的子群。
旋转子群有一个特殊的性质，它在下一篇中将起决定作用：它是正规的。粗略地说，这意味着从三角形的"另一面"看，它还是一样的。若 $g$ 是任意对称，$h$ 是一个旋转，那么撤销 $g$、做 $h$、再做 $g$，结果仍是一个旋转。对子群 $\{e, s_i\}$ 来说，这一点不成立。
需要回正的探测器
设想一个三棱柱形的空间探测器，它只能处于六种朝向，也就是三角形的六种对称。穿过一团粒子云时，它接连受到四次撞击，传感器把它们记录为 $s_1$、$r$、$s_3$、$r$。它最后处于什么朝向？只要用乘法表从左到右复合：
$$s_1\star r=s_3,\qquad s_3\star s_3=e,\qquad e\star r=r.$$四次撞击相当于一次旋转 $r$。为了在拍照前回到原来的朝向，探测器需要一个满足 $r\star x=e$ 的机动 $x$，也就是 $r$ 的逆元：$x=r^2$。星载计算机不必把四次撞击一一撤销，一次机动就够了。在真实的卫星中，旋转构成一个无限群，但计算方法相同：把转动复合起来，再作用其逆，永远不要忘记顺序很重要。
练习：解方程 r ⋆ x = s₁，其中未知数 x 是三角形的一个动作。
在 $r$ 这一行中，找出现 $s_1$ 的那一列：是 $s_3$ 列。所以 $x=s_3$。另一种方法：在左边"除以" $r$，即作用其逆元：$x=r^2\star s_1$。$r^2$ 行、$s_1$ 列给出 $s_3$。结果一致。
练习：证明 s₁ ⋆ s₂ 是一个旋转。是哪一个？
由表，$s_1\star s_2=r^2$。连续两次翻折把三角形翻过来两次，它又回到正面朝上。所以结果必定是一个旋转。一般地，沿夹角为 $\theta$ 的两条轴先后翻折，得到转角为 $2\theta$ 的旋转。这里两轴夹角为 $60°$，旋转在一个方向上是 $120°$，在另一个方向上是 $240°$。
来源： Évariste Galois，Œuvres mathématiques，约瑟夫·刘维尔编（1846）· Israel Kleiner，A History of Abstract Algebra（Birkhäuser，2007）· Mark Armstrong，Groups and Symmetry（Springer，1988）。
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