代数不过是写出来的几何；几何不过是画出来的代数。

— 索菲·热尔曼，《关于科学与文学状况的总体思考》（1833）

索菲·热尔曼几乎一直是独自工作的，没有学位，没有职位，也没有学生。当时的数学家们通过课堂、期刊和讨论互相学习，而这些她都接触不到，这一点在她的工作中看得出来：想法极具独创性，有时却留有缺口，而这些缺口本可以由一位老师及时指出。即便如此，她在两个几乎互不相干的领域——数论和弹性理论——都留下了自己的名字。

铁塔上缺少的名字

1889 年埃菲尔铁塔落成时，古斯塔夫·埃菲尔在塔上刻下了 72 位法国科学家和工程师的名字。其中许多人研究过弹性理论，如纳维、泊松和柯西，铁塔本身也正是靠这一理论才得以计算。索菲·热尔曼的名字不在上面。1913 年，历史学家 H. J. 莫赞斯指出了这一缺席：在他看来，一位帮助奠定了使铁塔成为可能的理论的人被遗忘了，只因为她是女性。

留下了什么

  • 数论。 热尔曼定理是关于费马大定理的第一个一般性结果。她的手稿直到 2010 年才被研究，显示出一个比人们以为的远为宏大的计划。
  • 索菲·热尔曼素数。 使 $2p+1$ 也是素数的素数 $p$ 以她的名字命名，今天作为安全素数保护着互联网的安全连接。
  • 代数。 恒等式 $a^4+4b^4=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$ 是经典的因式分解工具。
  • 弹性理论。 在 1816 年获奖的振动板方程，是工程师至今仍在使用的板理论的基础。
  • 几何。 她用来衡量曲面弯曲程度的平均曲率，出现在肥皂泡、极小曲面和细胞膜中。
  • 哲学。 她去世后由侄子出版的《关于科学与文学状况的总体思考》主张科学与艺术的统一。奥古斯特·孔德称赞过这部著作。
索菲·热尔曼在巴黎拉雪兹神父公墓第 16 区的墓。
索菲·热尔曼在巴黎拉雪兹神父公墓第 16 区的墓。Pierre-Yves Beaudouin, 2015 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0

纪念

巴黎第 14 区有一条索菲-热尔曼街，玛莱区有一所以她命名的学校——索菲-热尔曼中学。自 2003 年起，法国科学院每年颁发索菲·热尔曼奖，这是法国数学界最重要的奖项之一。

要点回顾

  • 索菲·热尔曼生于 1776 年，卒于 1831 年，生活在巴黎。她违背父母的意愿，自学数学。
  • 在给拉格朗日（1794 年）和高斯（1804 年起）的信中，她署名勒布朗先生。
  • 同余式 $a\equiv b\pmod m$ 表示 $a$ 和 $b$ 除以 $m$ 的余数相同。
  • 若 $p$ 和 $2p+1$ 都是素数，则在费马问题的第一情形中，方程 $x^p+y^p=z^p$ 无解。
  • 使 $2p+1$ 也是素数的素数 $p$ 以她的名字命名，100 以内有十个。
  • $a^4+4b^4$ 总能分解成两个因式之积。
  • 1816 年，她凭振动板理论获得科学院奖，其方程含有四阶导数。
  • 曲面的平均曲率是两个主曲率的平均值：$H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$。
练习：索菲生于 1776 年。这个数最少是几个平方数之和？

$1776=16\cdot111$，而 $111=8\cdot13+7$，所以 $1776=4^2\,(8\cdot13+7)$ 具有勒让德的形式 $4^a(8b+7)$，不是三个平方数之和。根据拉格朗日定理，它是四个平方数之和，例如 $1776=40^2+12^2+4^2+4^2=1600+144+16+16$。

练习：索菲卒于 1831 年。这个数是素数吗？是索菲·热尔曼素数吗？

$1831$ 不能被 $\sqrt{1831}\approx42.8$ 以内的任何素数整除，所以是素数。但 $2\cdot1831+1=3663=3\cdot1221$ 不是素数。所以 $1831$ 是素数，但不是索菲·热尔曼素数。

资料来源： 索菲·热尔曼传记，MacTutor · H. J. Mozans，Woman in Science（1913）· Dora Musielak，Prime Mystery: The Life and Mathematics of Sophie Germain（2015）。

索菲·热尔曼的全部主题 · ← 平均曲率：曲面弯曲了多少 · 图片来源 →

图片来源.