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三角比率和解直角三角形

角度选择边的角色 选择直角三角形中的锐角 $\alpha$。相对于它，一侧是相对的，另一侧是相邻的。如果我们换个角度，这些角色就会颠倒过来；斜边保持不变。 如果两个三角形具有相同的锐角，则它们相似。因此，它们对应边之间的比率相等： $$\sin\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}},\quad \tan\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}.$$将第一个商除以第二个商，我们得到 $\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$。由于锐角互补，因此 $\sin(90°-\alpha)=\cos\alpha$ 也是互补的。 五种数据类型 称斜边为 $a$、$\alpha$ 的对边为 $b$，以及相邻的边为 $c$。 已知数据 如何完成 斜边 $a$ 和角 $\alpha$ $b=a\sin\alpha$, $c=a\cos\alpha$ 对边 $b$ 和角度 $\alpha$ $a=b/\sin\alpha$, $c=b/\tan\alpha$ 邻边 $c$ 和角度 $\alpha$ $a=c/\cos\alpha$, $b=c\tan\alpha$ 斜边 $a$ 和边 $b

October 22, 2026 阅读
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毕达哥拉斯、直角三角形的高度和投影

命名每个段 在直角三角形中，与直角相对的边是斜边。称呼她为 $a$ 和男孩们 $b,c$。其他角都是锐角，加起来为 $90°$。 将高度 $h$ 绘制到斜边。它将 $a$ 分为两个投影：与边 $b$ 关联的 $m$，以及与边 $c$ 关联的 $n$。因此，$m+n=a$。 通过相似性进行论证 两个较小的三角形有一个直角和一个锐角，与原来的三角形相同。他们和他很相似。比较对应边： $$\frac b a=\frac m b\Rightarrow b^2=am,\qquad \frac c a=\frac n c\Rightarrow c^2=an.$$将两个等式相加并使用 $m+n=a$： $$b^2+c^2=a(m+n)=a^2.$$我们得到了毕达哥拉斯定理。它是根据相似边之间的关系推导出来的，而不依赖于特定测量的示例。 两条路径的高度 面积可以通过腿或斜边及其高度来计算： $$\frac{bc}{2}=\frac{ah}{2}\Rightarrow ah=bc.$$平方并代入 $b^2=am$ 和 $c^2=an$： $$h^2=\frac{b^2c^2}{a^2}=\frac{am\cdot an}{a^2}=mn.$$因此，$h=\sqrt{mn}$。所有这些措施都是积极的。 中线到斜边 斜边的中点M到三个顶点的距离相同。要了解原因，请完成三角形直至形成矩形。矩形的对角线相等并切成两半。每一半的测量值为$a/2$。 因此，从直角到 M 绘制的中位数测量为 $a/2$。这也表明以M为圆心、以$a/2$为半径的圆经过三个顶点。 工作示例 对于腿 6 和 8 厘米，$a=\sqrt{36+64}=10$ 厘米。然后： $$h=\frac{6\cdot8}{10}=4{,}8\text{ cm},$$ $$m=\frac{6^2}{10}=3{,}6\text{ cm},\qquad n=\frac{8^2}{10}=6{,}4\text{ cm}.$$预测总和为 10 cm，中位数为 5 cm，证实了这些关系。 在日常生活中 瓦工的正方形。 通过标记 3 米、4 米并检查 5 米对角线，瓦工保证了一个直角。 **电视尺寸。**电视英寸测量对角线：宽度和高度是边。 **捷径。**沿对角线穿过一块 30 米 x 40 米的土地，可节省 20 米。 瓦工方格：一面墙为 3 米，另一面墙为 4 米；如果对角线给出 5 m，则角是直的，因为 $3^2 + 4^2 = 5^2$。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 22, 2026 阅读
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30、45和60度值的演示

两张图代替记忆 锐角的三角比为： $$\sin\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}},$$ $$\tan\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.$$可以使用毕达哥拉斯精确计算某些角度。请参阅本轨道中的度量关系类以获取定理的证明。 45 度三角形 边长为 1 的正方形的对角线将其分成两个等腰直角三角形。锐角相等且相加为$90°$；每个措施 $45°$。 根据毕达哥拉斯定理，对角线的尺寸为 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$。标识： $$\sin45°=\cos45°=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad\tan45°=1.$$30 和 60 度的三角形 绘制一侧的高度 等边三角形 2。它将底面分为长度为1的两部分，将顶角分为$30°$的两部分。 高度 $h$ 满足 $h^2+1^2=2^2$，然后满足 $h=\sqrt3$。读取相对和相邻的腿： 角度 正弦 余弦 切线 $30°$ $1/2$ $\sqrt3/2$ $\sqrt3/3$ $45°$ $\sqrt2/2$ $\sqrt2/2$ $1$ $60°$ $\sqrt3/2$ $1/2$ $\sqrt3$ 在$30°$和$60°$中，猫交换了角色。这解释了为什么一个的正弦与另一个的余弦重合。 精确值和近似值 $\sqrt3/2$ 是一个精确值。小数 $0{,}866$ 是一个近似值。在整个计算过程中保留根式，仅在需要解释测量结果时进行舍入。 在日常生活中 正方形。 学校正方形的角度为 $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ 和 $90^\circ$。 屋顶。 $30^\circ$ 和 $45^\circ$ 的屋顶很常见：半宽为 4 米，$45^\circ$ 的屋顶升高 4 米。 蜂窝。 蜜蜂制作六边形，其内三角形为 等边，角度为 $60^\circ$。 箱子和工具箱上的显着角度：两个方形和六角螺母（正六边形）。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 21, 2026 阅读
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内切多边形和中心半角的正弦

两根辐条之间的绳子 在半径为 $R$ 的圆内接一个边长为 $n\ge3$ 的正多边形。将两个相邻顶点连接到中心 O。所形成的三角形具有等于多边形 $R$ 的两条边和等于多边形边 $\ell$ 的底边。 $n$ 相等的圆心角完成一圈。每个测量值都是 $360°/n$。从 O 处画出这个三角形的高度。为了对称，它将底角和圆心角切成两半。 与正弦关系的演示 其中一半出现一个直角三角形。它在 O 处的角度为 $180°/n$，其斜边为 $R$，对边为 $\ell/2$。 我们将锐角的正弦定义为对边与斜边的比值。所以： $$\sin\frac{180°}{n}=\frac{\ell/2}{R}=\frac{\ell}{2R}.$$绝缘边长： $$\ell=2R\sin\frac{180°}{n}.$$在半径为 1 的圆周上，关系简化为 $\sin(180°/n)=\ell/2$。在高中，相同的角度测量将写为 $\pi/n$ 弧度。 六边形的应用 正六边形可以按其半径分为六个 等边三角形：每个圆心角的尺寸为 $360°/6=60°$。因此，六边形的边长为 $R$。 替换 $n=6$ 和 $\ell=R$： $$\sin30°=\frac{R}{2R}=\frac12.$$正弦没有单位：它是以同一单位测量的长度之间的比率。半径加倍会使边加倍，但不会改变商。 在日常生活中 **六角螺母。**螺钉的头部是正六角形；中心半角正弦将边与半径连接起来。 停止标志。 该标志是一个正八边形：$45^\circ$ 的八个圆心角。 **辐条轮。**在自行车车轮上，两个相邻辐条末端之间的距离是弦，用半角的正弦计算。 日常多边形：边长为 8，即 STOP 标志；带有 6，六角螺母。该字符串是$2r\operatorname{sen}\frac{\theta}{2}$。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 有决心的练习 1。 正内接六边形的半径为 7 厘米。计算它的边长和周长。

October 21, 2026 阅读
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以度、分和秒为单位测量角度

比较旋转的单位 将转弯分为 360 等份定义度数。一整圈的测量值为 $360°$；半圈，$180°$；一个房间，$90°$。 $0°$和$90°$之间的角度是锐角；在 $90°$ 和 $180°$ 之间，钝角。 在圆上，弧的度数就是其相应圆心角的量度。要区分具有相同端点的两条弧，请指示正在测量哪一条弧。 学位的次要部分 度数有 60 角分，每分钟有 60 角秒： $$1°=60',\qquad1'=60'',\qquad1°=3600''.$$这些单位测量角度。名称并不能使角度成为时间的度量。 要将 $27°18'$ 转换为十进制： $$27°18'=\left(27+\frac{18}{60}\right)°=27{,}3°.$$反之，在$42{,}25°$中，$0{,}25°$部分对应于$0{,}25\cdot60=15'$。因此，$42{,}25°=42°15'$。 演示：为什么我们需要重组？ 添加相同类型的单元可得出： $$18°45'+7°30'=25°75'.$$与$75'=60'+15'=1°15'$一样，分钟小于60的形式为： $$25°75'=26°15'.$$变换改变了部分总和的单位，保留了总测量值。减法时，我们可以做相反的事情：$30°=29°60'$。 补充与补充 当两个角度之和为 $90°$ 时，互补；当两个角度之和为 $180°$ 时，互补。 $34°$的补码是$56°$；补充是$146°$。 当我们研究直角三角形的两个锐角和三角循环的对称性时，这些关系会再次出现。 在日常生活中 坐标。 纬度和经度以度、分和秒给出；圣保罗接近 $23^\circ 33'$ S。 海里。 一分钟的纬度约为 1852 米，即船舶和飞机使用的海里；一秒，大约 31 米。 手机 GPS。 应用程序还以十进制显示坐标：$23{,}55^\circ = 23^\circ 33'$。 纬度以度、分和秒为单位，到赤道的距离以海里为单位。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 有决心的练习 **1。**计算$40°10\prime-12°35\prime$。 检查分辨率 1$40°10\prime=39°70\prime$。减去，$39°70\prime-12°35\prime=27°35\prime$。 2。 将 $12°24\prime36\prime\prime$ 转换为十进制。

October 21, 2026 阅读
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弧、弦、射线和角

从绘图开始 在圆上标记不同的点 A 和 B。他们将其分为两条弧，都包括A和B。弦AB是点之间的直线段。弧不是线段。 如果极值重合，我们可以区分归零弧（简化为点）和转弯弧（覆盖整个圆周）。在将最终位置与所执行的转弯进行比较时，这种区别非常重要。 什么是角？ 半直线有一个原点并无限地沿一个方向延伸。原点为 O 的两条射线确定了平面的两个角区域。当我们使用最小光圈时，我们需要注明这一点；另一侧的开口也存在。 如果光线相反，则每个区域对应于 $180°$ 的浅角。如果它们重合，我们可以考虑$0°$的零角或$360°$的一圈角。 相同的开口，不同的拱门 画两个同心圆，一个半径为 2 厘米，另一个半径为 4 厘米。两条半直线从中心切出两条弧线。圆心角相同，但大圆的弧长是其两倍。 半径之间的比率为： $$\frac42=2.$$放大系数 2 使所有长度加倍并保留角度。因此，弧的角度测量与其长度是不同的信息。 工作示例 两条射线界定四分之一圈。圆心角测量： $$\alpha=\frac{360°}{4}=90°.$$在以此中心为中心的任何圆上，所选圆弧占据圆的四分之一。尽管弧长随半径变化，但其角度测量值为 $90°$。 在日常生活中 **建筑。**旧门窗上的拱门是一个圆周弧形；穿过它的直梁是一根绳子。 指南针。 指南针的开口是一个角度，它划出的线是一条弧线。 风扇。 风扇的叶片绕轴成相等的角度：三个叶片，叶片之间为 $120^\circ$。 拱形窗：顶部是一个圆拱，穿过它的梁是一根绳子。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 21, 2026 阅读
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三角形在不改变形状的情况下生长

漫画绘制的坡道 在网格上，在右侧绘制路径 3 漫画，在顶部绘制 4 漫画。用线段将开头与结尾连接起来。您已形成一个带直角的三角形：直角三角形。 现在复制一份，将所有长度都折叠起来。水平路径会有6漫画；垂直，8。长度发生了变化，但角部开口保持不变。 $$3\cdot2=6,\qquad4\cdot2=8.$$为什么仅弯曲一侧就会改变形状？ 比较两个副本：在第一个副本中，折叠水平和垂直路径；在第二个中，仅折叠水平方向。在第二个副本中，坡道更加平坦。不改变形状的增长需要以相同的比例向各个方向扩展。 这一经验准备了一个将在基础 II 中演示的想法：具有相同角度的三角形具有相应的比例边。 折叠的两条边相等 对角折叠一个正方形。直角两侧在弯曲之前长度相同，并且保持不变。两个较小的角也是一样的。该图是两条边相等的直角三角形的模型。 如果其中一侧的尺寸为 5 厘米，则另一侧的尺寸也为 5 厘米： $$a=b=5\text{ cm}.$$该字母只是测量的名称。对角线是另一条边；上面的等式并没有说明它测量的是多少。 在日常生活中 放大复印。 在复印机上放大图形会按相同比例放大所有边：形状不会改变。 **地图。**地图是地点的缩小版；因此，街道之间的角度与城市地图上的角度相同。 **模型。**建筑师制作模型时，所有测量值除以相同的数字，并且屋顶具有相同的坡度。 放大的复印件会弯曲所有侧面，但保持角度：副本的坡道与原件具有相同的坡度。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 21, 2026 阅读
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车轮上的拐角、辐条和路径

相同点之间的两条路径 画一个轮子，并在其上标记两个点，A 和 B。用直线将它们连接起来：它是一条绳子。现在沿着轮子的边缘从 A 到 B：您已经走过了一条弧线。边缘周围有两条可能的路径；表明您正在使用哪一个。 center 是轮子中间的点。从中心到边缘的线段是半径。同一车轮上的所有辐条具有相同的长度。 一首我们可以随身携带的歌 将一张纸对折，然后再垂直于第一次折叠。形成的角是直角模型，其尺寸为$90°$。将这个角靠在门、桌子和图画上：哪些开口与它相同？ 两个相邻的直角形成半圈： $$90°+90°=180°.$$四人完成一圈： $$90°+90°+90°+90°=360°.$$为什么手臂长度不会改变唱歌？ 画两个来自同一点的箭头。延长两个箭头而不改变其方向。开口保持不变。因此，角度取决于方向，而不是手臂设计的尺寸。 对于相同的旋转，较大的轮子可能具有较长的弧线。 $90°$ 的角保持不变：他占据了大轮的四分之一，也占据了小轮的四分之一。 在日常生活中 门。 打开的门与墙形成一个角；小衣柜门和大客厅门的开口相同。 **披萨。**将披萨切成相等的部分，无论披萨大小，其中心都有相同的角。 剪刀。 打开剪刀或多或少会改变刀片之间的角，而不是刀片的大小。 更改切片数量：每片的角仅取决于披萨的数量，而不取决于披萨的大小。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 尝试一下 使用两支铅笔作为角度臂。将两端保持在一起。或多或少地打开铅笔并与页面的一角进行比较。将每个开口描述为小于、等于或大于直角。 有决心的练习 1。 轮子的半径为 3 厘米。同一个车轮上的另一个辐条有多长？ 检查分辨率 1也是 3 厘米。半径相等是圆周定义的一部分。 2. 两点之间的边缘路径和直线路径是否具有相同名称？ 检查分辨率 2不。围绕边缘的路径是一个拱形；直线段是弦。 与源材料的对应 适合本阶段的关于角度和三角形的准备活动。一般公式出现在以下轨道中。 本课程的文本是教学性的重写。页面转录保留了原始练习和其他项目的顺序；它仍然有 OCR 片段等待审核。 阶段索引 · ←上一堂课 · 下一堂课→

October 21, 2026 阅读
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整圈、半圈和四分之一圈

转动你的身体 看一堵墙。旋转直到您看到后墙：您已经完成了掉头。再转半圈，您将回到起点。现在尝试以四个相等的部分进行相同的旋转。每个部分都是四分之一圈。 一圈可以通过多种方式分割。两个半场和四个四分之一圈完成同一圈： $$\frac12+\frac12=1,\qquad \frac14+\frac14+\frac14+\frac14=1.$$这里数字1代表一整圈。我们测量的不是您脚部行走路径的长度，而是您方向的转弯。 为什么两个四分之一等于一半？ 画一个圆并将其折成四等份。绘制两个相邻的部分。绘制的区域占据了磁盘的一半。这就是为什么： $$\frac14+\frac14=\frac24=\frac12.$$这是一个按比例的演示：相同的部分可以分成四分之一或两半来数。 措施的名称 大人常说一个转弯有$360°$，读作“360度”。然后： $$360°\div2=180°,\qquad360°\div4=90°.$$在识别旋转之前没有必要记住数字。转一整圈、半圈又四分之一圈；然后将名称与测量值关联起来。 在日常生活中 **统一秩序。**在学校和军队，“转身，转身！”他说转半圈，然后“右转！”，转四分之一圈。 **方向盘和水龙头。**打开水龙头“四分之一圈”或转动方向盘“半圈”都是转动的测量。 时钟。 在 15 分钟内，大指针转四分之一圈；在 30 分钟内，半圈。 在时钟上，15 分钟是大指针的四分之一圈，30 分钟是大指针的半圈。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 活动 在圆盘上用箭头做一个标记。从顶部位置开始，每次前进四分之一圈。在返回起点之前，您将访问四个方向。在每个阶段，说出您转动了多少圈：四分之一圈、两圈、四分之三圈和一圈。 有决心的练习 **1。**您已转了四分之三圈。完成一圈需要多长时间？ 检查分辨率 1还剩四分之一：$\frac34+\frac14=1$。 2. 两个半圈是否指向初始方向？ 检查分辨率 2是的。 $\frac12+\frac12=1$回来了。即使最终方向与初始方向相同，所执行的旋转仍然存在。 与源材料的对应 适合本阶段的关于角度和三角形的准备活动。一般公式出现在以下轨道中。 本课程的文本是教学性的重写。页面转录保留了原始练习和其他项目的顺序；它仍然有 OCR 片段等待审核。 阶段索引 · 下一堂课→

October 21, 2026 阅读
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解决三角形并讨论不明确的情况

什么数据决定三角形？ 解三角形就是从足够的数据中获取它的边和角。始终使用约定：$a,b,c$ 与 $A,B,C$ 相对。非退化三角形的正边和角度在 0 和 $\pi$ 之间。 一侧和两个角 已知$a,B,C$，计算$A=\pi-B-C$。 $B+C<\pi$ 为必填项。正弦定理给出： $$b=\frac{a\sin B}{\sin A},\qquad c=\frac{a\sin C}{\sin A}.$$数据确定三角形、减去位置和反射。 两条边以及它们之间的角度 已知 $b,c,A$，使用 $0

October 21, 2026 阅读
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高度、Heron、中位数、角平分线 和半径

从侧面获取特殊测量值 考虑边数 $a,b,c$、面积 $K$ 和半周长 $s=(a+b+c)/2$。我们需要一个非退化三角形：正边且每条边都小于其他两条边的总和。 演示海伦公式 根据余弦定律，$\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$。在$K=bc\sin A/2$中，使用$\sin^2A=1-\cos^2A$： $$\begin{aligned} 16K^2&=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2\\ &=((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)\\ &=(a+b+c)(b+c-a)\\ &\quad\cdot(a+b-c)(a-b+c)\\ &=16s(s-a)(s-b)(s-c). \end{aligned}$$面积为正，因此： $$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$高地 作为$K=ah_a/2=bh_b/2=ch_c/2$： $$h_a=\frac{2K}{a},\qquad h_b=\frac{2K}{b},\qquad h_c=\frac{2K}{c}.$$代入 Heron 表达式，得出每个高度仅是边的函数。 $h_a=b\sin C=c\sin B$ 及其排列也是有效的。 中位数 中线 $m_a$ 将 A 连接到 BC 的中点。将基端放置在 $(-a/2,0)$ 和 $(a/2,0)$ 处，将 A 放置在 $(u,v)$ 处。将端点距离的平方相加得出： $$b^2+c^2=2(u^2+v^2)+\frac{a^2}{2}.$$作为 $m_a^2=u^2+v^2$，其结果是： $$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.$$交换索引得到 $m_b$ 和 $m_c$。 角平分线 内部 A 的 角平分线 在 D 中与 BC 相交，并将角度分成两等份。 ABD 和 ACD 的面积比率为 $c:b$，因为它们相对于直线 BC 具有相同的高度，也可以通过 $A/2$ 的正弦来计算。标识： $$BD=\frac{ac}{b+c},\qquad DC=\frac{ab}{b+c}.$$角平分线$t_a=AD$各边计算的面积之和为：

October 21, 2026 阅读
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正弦、余弦、投影和面积定律

修复符号 在非退化三角形中，角 $A,B,C$ 分别与边 $a,b,c$ 相对。所有面均为正且 $A+B+C=\pi$。 余弦定律的演示 将顶点 A 放置在原点，B 放置在 $(c,0)$ 处，C 放置在 $(b\cos A,b\sin A)$ 处。 B 和 C 之间的距离是 $a$。将毕达哥拉斯定理应用于坐标差： $$\begin{aligned} a^2&=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2\\ &=b^2(\cos^2A+\sin^2A)+c^2-2bc\cos A\\ &=b^2+c^2-2bc\cos A. \end{aligned}$$该论证也适用于钝角。如果$A=\pi/2$，余弦项为零，我们再次找到毕达哥拉斯。排列字母可得出另外两个余弦定律。 正弦定理的面积和证明 即使脚落在底座延伸部分上，相对于 $c$ 的高度也会测量为 $b\sin A$。面积 $K$ 为： $$K=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}.$$将三个表达式相等并除以 $abc/2>0$ 得出： $$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}.$$如果$R$是外接圆的半径，则内切角$A$所对的弦满足$a=2R\sin A$。对于高 $A$，这来自于将由弦和两个半径形成的三角形分成两半；对于 $A$ 钝角，使用相同正弦的补充。在直的情况下，弦是直径。所以： $$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R,$$ $$K=\frac{abc}{4R}.$$投影关系 围绕一侧方向的位移相加，并带有符号。将边 $c$ 和 $b$ 投影到 $a$ 的直线上：

October 21, 2026 阅读