Euler's Eyes
2026-10-21
双弧和三弧的正弦、余弦和正切
应用于自身的加法公式
将$b=a$替换为加法公式：
$$\sin2a=2\sin a\cos a,$$$$\cos2a=\cos^2a-\sin^2a.$$
基本恒等式允许余弦有两种其他形式：
$$\cos2a=1-2\sin^2a=2\cos^2a-1.$$选择取决于可用的数据。如果我们只知道正弦，第一个替代表达式可以避免计算余弦并选择其符号。
如果存在切线：
$$\tan2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}.$$带有$\tan a$的表格需要$\cos a\ne0$和$1-\tan^2a\ne0$；不涵盖 $\tan2a$ 存在的所有情况。
三重公式演示
写入$3a=2a+a$。对于正弦：
$$\begin{aligned} \sin3a&=\sin2a\cos a+\cos2a\sin a\\ &=2\sin a\cos^2a+(1-2\sin^2a)\sin a\\ &=2\sin a(1-\sin^2a)+\sin a-2\sin^3a\\ &=3\sin a-4\sin^3a. \end{aligned}$$同理，将和的余弦展开并代入$\sin^2a=1-\cos^2a$：
$$\cos3a=4\cos^3a-3\cos a.$$将正弦除以余弦并化简，得到 $t=\tan a$：
$$\tan3a=\frac{3t-t^3}{1-3t^2},$$其中 $\tan a$ 存在且 $1-3t^2\ne0$。零分母对应于表达式中的中断。
已知原因的示例
如果$\sin a=3/5$和$\cos a=4/5$：
$$\sin2a=\frac{24}{25},\qquad\cos2a=\frac7{25},$$$$\sin3a=\frac{117}{125},\qquad\cos3a=-\frac{44}{125}.$$
正弦和负余弦表明$3a$的图像位于第二象限。乘以角度时，符号可能会改变。
在日常生活中
- 投掷。 投掷的范围与 $\operatorname{sen} 2\theta$ 成正比；这就是为什么$30^\circ$和$60^\circ$到达同一个地方而$45^\circ$走得更远。
- **电功率。**电阻器中的功率与 $\operatorname{sen}^2\omega t = \frac{1 - \cos 2\omega t}{2}$ 成正比：它以电压频率的两倍振荡，每秒 120 次。
- 三重角度。 将一个角度分成三份（三等分）会得到一个三阶方程，与 $\cos 3a$ 中出现的方程相同 - 这就是为什么它不能用尺子和指南针完成的原因。
有决心的练习
**1。**仅用$c=\cos a$表达$\cos4a$。
检查分辨率 1
$\cos4a=2\cos^22a-1=2(2c^2-1)^2-1=8c^4-8c^2+1$.
2。 如果 $\tan a=1/2$，则计算 $\tan2a$。
检查分辨率 2
$\tan2a=2(1/2)/(1-1/4)=4/3$。涉及的分母非零。
在互动书中
交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：
本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。