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用尺子和圆规建造

没有标记的尺子和指南针：仅用这两种工具，希腊人就可以完全精确地绘制中点、垂直线和平行线。 谁发现的 经典结构位于欧几里得（公元前300）的几何原本中：垂直平分线和中点（命题I.10），角平分线 (I.9)、垂直一点（I.11 和 I.12）和平行一点（I.31）。只使用没有标记的尺子和圆规的规则来自欧几里得的前三个公设：通过两点画一条直线，延长它并以任意圆心和半径画一个圆。 故事 对于希腊人来说，建筑是以绘图形式进行的演示：每一步都需要通过已经证明的结果来证明其合理性。这就是为什么有刻度的尺子不值得——测量是近似，建造是保证。 两千多年来，三个著名的问题一直困扰着这些工具：将任何角度分成三等分，构造一个体积是另一个体积两倍的立方体，以及构造一个与圆面积相同的正方形。 19 世纪，Pierre Wantzel (1837) 和 Ferdinand von Lindemann (1882) 证明仅用尺子和指南针就可以实现这三个目标不可能。 在日常生活中 **木工和金属制品。**干点罗盘标记中心，将零件分成两半并绘制垂直线，而无需正方形。 技术制图。 CAD 程序和 GeoGebra 的“垂直平分线”、“角平分线”和“垂直”工具重复了欧几里得的构造。 园艺。 使用两根木桩和一根绳子，您可以标记圆形花坛或垂直于墙壁的线。 四种构造 在每个图中，拖动点并一次前进一步。用真正的尺子和圆规在纸上重复构建。 垂直平分线 和中点 Definição · 垂直平分线 线段 $\overline{AB}$ 的 垂直平分线 是通过其中点垂直于 $\overline{AB}$ 的线。 垂直平分线 上的每个点与 $A$ 和 $B$ 的距离相同。 垂直平分线的构造：点P和Q到A和B的距离相同。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 为什么会起作用？ 圆弧具有相同的半径，因此 $PA = PB$ 和 $QA = QB$。距$A$和$B$等距离的点组成垂直平分线；由于其中有$P$和$Q$，所以直线$PQ$就是垂直平分线。

October 12, 2026 阅读
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阅读：勒让德：走向严谨和说教的几何

进一步阅读 Leitura 勒让德：走向严谨和说教的几何学 在古希腊，公理似乎意味着所有研究领域的共同真理，而公设则意味着特定领域的真理。欧几里得假设了五个公设——其中，从任何一点到任何另一点都可以画一条直线，每条有限的直线都延伸，以任何圆心和半径都可以画一个圆，直角相等，以及著名的第五条平行线——以及五个公理，例如“相同的事物相等”和“整体大于部分”。从那时起，几何原本 就在没有练习或应用的情况下滔滔不绝地讲述定理：以现代标准来看，这是一篇不太具有说教意义的文本。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 在 18 世纪的法国，有几本书似乎使欧几里得更容易理解，但许多书籍牺牲了严谨性。一个值得注意的例外是 Adrien-Marie Legendre 的几何元素 (1752–1833)。勒让德在他的研究中大放异彩——在椭圆函数和数论方面，他完整地阐述了二次互反律——而他的几何学著作则兼具严谨性和说教性，在作者生前在法国出版了二十个版本。在1809中，它在里约热内卢被翻译，并在次年创建的皇家军事学院采用。大约四十年来，勒让德试图证明第五条公设不同于其他公设——正如我们现在所知，这是一项不可能完成的任务——但即使在这些尝试中，他也表现出了巨大的创造力。 阿德里安-玛丽·勒让德，朱利安-利奥波德·布利的漫画。Julien-Léopold Boilly · 维基共享资源 · 公共领域

October 11, 2026 阅读
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12 章中的练习 — 泰勒斯定理

练习和决议 413 用$r$、$s$和$t$平行线确定下面每种情况下$x$的值。 Ver respostaa) 3 · b) 12 · c) 15 · d) 6 414 在图中，线$r$、$s$和$t$是平行的。确定$x$和$y$的值。 Ver respostaa) $x = \dfrac{10}{3}$ · b) $x = \dfrac{25}{6}$ · c) $x = \dfrac{10}{3}$ e $y = \dfrac{18}{5}$ 415 图中，$\overline{MN}$与三角形$ABC$的底边$\overline{BC}$平行。计算$x$的值。 Ver resposta$x = 25$ 416 图中，$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$。计算$AB$的值。 Ver resposta$AB = 18$ 417 图中，计算$x$的值。 Ver resposta$x = 24$

October 11, 2026 阅读
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角平分线 定理

三角形角的角平分线将其对边分成与另外两条边成比例的部分。 谁发现的 内角平分线定理是欧几里得的几何原本的命题VI.3（c. 300 BC）。带有外部的角平分线并不存在于希腊文本中：它是由苏格兰人Robert Simson在其1756的几何原本版本中作为第六卷的“命题A”添加的，该版本是英国一个多世纪以来几何教学的基础。这两个 角平分线 与阿波罗尼乌斯圈子有关，由佩尔加的阿波罗尼乌斯（公元前 3 世纪）研究。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 罗伯特·西姆森.作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 佩尔加的阿波罗尼乌斯，后来的艺术表现。乔瓦尼·巴蒂斯塔备忘录 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 阿波罗尼乌斯证明，与两个固定点的距离之比恒定的点形成一个圆。内、外角平分线在分割比率的两个点处切割线段，这两点是该圆的直径的端点。 平行线按比例切割三角形的边；辅助三角形允许面积证明。来自博客的原始教学插图。 欧几里得的证明使用与 角平分线 相似的方法，并依赖于上一主题中的泰勒斯定理。这是 几何原本 的结果如何相互支持的另一个示例。 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 在日常生活中 **迫害。**阿波罗尼乌斯之环对追捕者以两倍于逃亡者的速度设法追上的情况作出回应：可能的交汇点形成了这个圆圈。 按比例划分。 角平分线 一个角上的栅栏将三角形土地的正面与其他边按比例划分。 照明。 在具有两个功率不同的极点的正方形中，从每个极点接收相同光的点形成一个阿波罗尼乌斯圆。 光学。 在镜子中，反射光线与法线形成相等的角度，其作用相当于入射光线和出射光线之间的 角平分线。 来源： 元素，命题 VI.3 · Robert Simson (MacTutor) · Apollonius (MacTutor)。 理论与结构 Teorema · 内部 角平分线 定理 三角形的内部 角平分线 将相对边分成（相加）线段与相邻边成比例。当 $\overline{AD}$ 为内部 角平分线、$DB = x$ 和 $DC = y$（带有 $x + y = a$）时： $$\frac{x}{c} = \frac{y}{b}.$$

October 11, 2026 阅读
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泰勒斯定理

一束平行线将两条横截线切割成成比例的部分。正是基于这个想法，一块板被分成相等的部分，而不需要做任何数学计算。 谁发现的 结果被称为米利都传说（公元前 6 世纪），传统上与​​通过阴影测量大金字塔的高度相关（请参阅本章开头对此的好奇）。我们知道的演示来自欧几里德，在几何原本（约公元前300）的命题VI.2中，并使用三角形的面积。这一结果被称为“塔尔斯定理”，这是巴西、葡萄牙、法国、西班牙和意大利等国家的传统；在德语和英语中，同一个名称指的是半圆内切的角。 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 没有记录表明泰勒斯证明了该定理。消息来源称，他使用比例来测量高度和距离。欧几里得的证明也需要适用于不可通约的线段，这就是为什么它基于第五卷中 Eudoxus 的比例理论。 这个名字似乎在 19 世纪末就出现在法国教科书中，并从那时起进入了巴西的教学。泰勒斯对半圆角的看法更为古老，来自第欧根尼·拉尔西奥 (Diógenes Laércio)。 第欧根尼·拉埃西奥（Diógenes Laércio），后来的艺术代表。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 在日常生活中 将木板分成相等的部分。 木匠将卷尺倾斜在木板上，直到从边缘到边缘适合“圆形”测量（例如 30 厘米到 5 部分），并从 6 到 6 厘米进行标记：标记将宽度分成相等的部分。 **比例。**地图、模型和平面图保持原始比例。 **板条和网格。**等距平行线将任何斜线切成相等的部分。 **透视图。**设计师使用比例来分隔绘图中分开的柱子和窗户。 来源： 故事 (MacTutor) · 元素，命题 VI.2 · 元素，书 V。 理论与结构 Definição · 平行和横向梁 平行线束是一组彼此平行的共面线。 梁的横截面是平面中与梁的所有直线相切的直线。 两条横截面的对应点位于梁的同一条直线上； 相应的段在相应的点处有端点。 Propriedade · 一致的零件 如果两条直线是一束不同平行线的截线，其中一条线段被分为 $p$ 个全等部分，且该束直线经过分界点，则另一条截线的相应线段也被分为 $p$ 个全等部分彼此全等。

October 11, 2026 阅读
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3 - 角度一章中的练习

练习和决议 下面的计算器逐步计算练习 29 到 33 的度、分和秒。先尝试解决它并用它来检查。 输入角度并选择操作。它显示了每个步骤：60”变为1’，60’变为1°。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 29 简化以下测量： a) $30^{\circ}70^{\prime}$ · b) $45^{\circ}150^{\prime}$ · c) $65^{\circ}39^{\prime}123^{\prime\prime}$ · d) $110^{\circ}58^{\prime}300^{\prime\prime}$ · e) $30^{\circ}56^{\prime}240^{\prime\prime}$ Ver respostaa) $31^{\circ}10^{\prime}$ · b) $47^{\circ}30^{\prime}$ · c) $65^{\circ}41^{\prime}3^{\prime\prime}$ · d) $111^{\circ}3^{\prime}$ · e) $31^{\circ}$ 30 确定总和： a) $30^{\circ}40^{\prime} + 15^{\circ}35^{\prime}$ · b) $10^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime} + 15^{\circ}29^{\prime}20^{\prime\prime}$ Ver respostaa) $46^{\circ}15^{\prime}$ · b) $26^{\circ}0^{\prime}5^{\prime\prime}$ 31 确定差异： a) $20^{\circ}50^{\prime}45^{\prime\prime} - 5^{\circ}45^{\prime}30^{\prime\prime}$ · b) $31^{\circ}40^{\prime} - 20^{\circ}45^{\prime}$ · c) $90^{\circ}15^{\prime}20^{\prime\prime} - 45^{\circ}30^{\prime}50^{\prime\prime}$ · d) $90^{\circ} - 50^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime}$ Ver respostaa) $15^{\circ}5^{\prime}15^{\prime\prime}$ · b) $10^{\circ}55^{\prime}$ · c) $44^{\circ}44^{\prime}30^{\prime\prime}$ · d) $39^{\circ}29^{\prime}15^{\prime\prime}$

October 11, 2026 阅读
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直角、锐角和钝角 — 测量

为什么完整的转弯具有 360 度，而不是 100？答案在于美索不达米亚天文学。 谁发现的 名称直角、锐角和钝角来自欧几里得，他在几何原本中定义了它们（定义I.10到I.12）：直角是与其补邻角相等的角；锐的，比直的小；钝的，最大的。 度 的测量有另一个起源，即巴比伦天文学，如下面好奇的“为什么是 360 度？”中所述。 分钟和秒这两个词来自Claudius Ptolemy（公元2世纪）的拉丁语翻译。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域 故事 欧几里得从未以度为单位测量角度。对他来说，直角是自然单位：一个角“等于两个直角”或“小于一个直角”，他的第四条公设指出所有直角都相等。数值测量来自天文学家，他们需要定位天空中的恒星和行星。 节点 天文学大成，托勒密将每个度数细分为以 60 为基数的分数。在拉丁语翻译中，它们变成了 主要细节部分 和 次要微小零件 —“第一小部分”和“第二小部分”—，分钟和秒的来源。 角度 21° 12′ 22″ 以托勒密的希腊方式、拉丁语和葡萄牙语书写：分和秒来自六十进制部分。来自博客的原始教学插图。 在法国大革命中，人们尝试将直角与米一起分成 100 部分，即 grad。该单位在科学计算器的“GRAD”模式下仍然存在，但学位已经过期。 在日常生活中 **瓦工的正方形。**确保墙壁和地板以直角相交。 地理坐标。 纬度和经度是以度、分和秒为单位测量的角度。 演习。“To Give 180”是颠倒意思；滑板上的“360”就是一个完整的转弯。 指南针。 飞机或轮船的航向以从北开始的度数给出：90° 为东，180° 为南。 来源： 元素，假设 4 · 托勒密 (MacTutor) · 元素，定义 I.10。

October 11, 2026 阅读
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一致性和比较

复制一个角度并将其分成两半是经典的结构。然而，两千多年来，将其分成三等份一直是数学家面临的挑战。 谁发现的 这两个结构位于欧几里德（c. 300 BC）的几何原本中：命题I.9将一个角度分成两半（a 角平分线），并且I.23 将给定角度复制到另一条直线上。用尺子和圆规将角度三等分（将任何角度分成三等分）在1837被法国人Pierre Wantzel证明是不可能的，当时他才刚过20岁。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 三等分是三个古典希腊问题之一，另外两个是立方加倍和圆的平方。希腊人能够使用特殊的曲线或带有标记的尺子来解决这个问题——阿基米德给出了这样的解决方案——但绝不仅仅使用没有标记的尺子和指南针。 阿基米德，后来的艺术表现。多梅尼科·费蒂 · 维基共享资源 · 公共领域 角平分线 将开口分成两个相等的角度：相等的长度有助于建立比较。来自博客的原始教学插图。 Wantzel 将问题转化为代数：使用尺子和圆规的每个构造都相当于求解 2 度方程，而三等分 60° 的角度需要一个无法约简到它们的 3 度方程。业余爱好者寄给杂志的“三分”至今仍然出现；他们都有一些错误。 在日常生活中 **木匠的suta。**它是一个“角度复制器”：它复制屋顶或楼梯的坡度以供切割——实践中的I.23命题。 斜接。 要闭合装饰线条和踢脚板上的 90° 角，每块都在 45° 处切割：在 角平分线 处从直角切割。 折叠。 无需任何工具，将纸张的一侧折叠到另一侧标记 角平分线 上。 **台球。**球离开球台的角度与到达时的角度相同。 来源： 元素，命题 I.9 · 元素，命题 I.23 · Wantzel (MacTutor)。 理论与结构 Postulado · 角度全等 角度的同余（符号$\equiv$）是一个原始概念，满足： 反射： $\widehat{ab} \equiv \widehat{ab}$。 **对称：**如果 $\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$，则 $\widehat{cd} \equiv \widehat{ab}$。 **传递：**如果 $\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$ 和 $\widehat{cd} \equiv \widehat{ef}$，则 $\widehat{ab} \equiv \widehat{ef}$。 **角度传递：**给定平面的角度 $A\hat{O}B$ 和射线 $\overrightarrow{O^{\prime}A^{\prime}}$，在该平面中，直线 $O^{\prime}A^{\prime}$ 确定的每个半平面中都存在一条射线 $\overrightarrow{O^{\prime}B^{\prime}}$，它与 $\overrightarrow{O^{\prime}A^{\prime}}$ 形成与 $A\hat{O}B$ 一致的角度 $A^{\prime}\hat{O^{\prime}}B^{\prime}$。

October 11, 2026 阅读
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角度：定义

两条具有相同原点的射线形成一个角度。关于角度的第一个定理甚至有一个有名的发现者。 谁发现的 Proclus（公元 5 世纪）引用了罗得岛的 Eudemus 的几何史，根据其说法，米利都的泰勒斯（约公元前 624–546 BC）首先认识到与顶点相对的角相等；欧几里得后来才在命题 I.15 中“科学地”证明了这一点。角度作为“两条线的倾斜度”的定义在Euclid的几何原本中（定义I.8）。 雅典学院的人物归因于罗德岛的尤德穆斯 (Eudemus of Rhodes)；不确定的识别。拉斐尔·桑齐奥； Jic 和 FranksValli 复制品的剪辑 · 维基共享资源 · 公共领域 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 毕竟，什么是角度？ Proclus 记录称，古人讨论了它是数量（可测量的东西）、质量（如形式）还是两条线之间的关系。现代定义避免了讨论：角度是由同源的两条射线形成的图形。 泰勒斯的著作来自于他之后许多世纪的作者，我们没有泰勒斯本人的文字。即便如此，它还是有价值的：它表明希腊人已经在其中看到了几何学的开端，在几何学中，事实需要论证。 在日常生活中 **剪刀和钳子。**打开刀片时，手柄以相同的角度打开：它们是与顶点相对的角度。 时钟指针。 在 3 h 处，它们形成直角；在 6 h 处，一个浅角度。 **开门。**带有减震器的门最大打开一定角度，以免撞到墙壁。 **视野。**手机摄像头告知他们可以看到的角度； “广角”涵盖的范围更多。 来源： 故事 (MacTutor) · 元素，命题 I.15 · 元素，定义 I.8。 理论与结构 Definição · 角度 角度是同源两条射线的交点，但不包含在同一条直线中（不共线）。 $$A\hat{O}B = \overrightarrow{OA} \cup \overrightarrow{OB}$$点$O$是角的顶点，射线$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$是边。当 $a$ 和 $b$ 是边时，我们也写 $a\hat{O}b$ 或简单地写 $\widehat{ab}$。

October 11, 2026 阅读
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简介：凸面和半平面

一条直线将平面分为两侧。当图形没有“凹痕”时，它就是凸图形。这两个想法是相辅相成的。 谁发现的 第一个仔细定义凸图形的是 锡拉丘兹的阿基米德 （约公元前287年至212年），在作品中 关于球体和圆柱体，它使用“凹向同侧”曲线来比较周长。平面与直线的分离形式化为 莫里茨·帕什 1882 年：他的公理说，从一侧进入三角形的直线必须从另一侧退出。 19世纪末， 赫尔曼·闵可夫斯基 使凸性成为自己的数学领域。 阿基米德，后来的艺术表现。多梅尼科·费蒂 · 维基共享资源 · 公共领域 莫里茨·帕什.古斯塔夫·巴托芬 · 维基共享资源 · 公共领域 赫尔曼·闵可夫斯基.身份不明的摄影师； 《Raum und Zeit》的复制 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 阿基米德需要凸性来解决一个具体问题：证明内接于圆的多边形的周长小于其自身的周长，而外接多边形的周长则大于其自身的周长。这样他就将 π 的值包围在 $3\tfrac{10}{71}$ 和 $3\tfrac{1}{7}$ 之间。 帕什公理解决了另一个问题：欧几里得从未证明直线将平面分成两侧。他只是简单地画、看。从帕什开始，“在直线的同一侧”开始有一个精确的定义——半平面——它将用来定义角的内部。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 在日常生活中 镜片。 凸镜片，例如放大镜和远视眼镜中的镜片，可以集中光线；凹面的则传播它。 **指甲上有松紧带。**围绕几个指甲的松紧带形成包含它们的最小凸形图形 - 计算机图形学中使用的“凸包”。 **街道的两侧。**街道将社区分为两个半平面：一侧为偶数，另一侧为奇数。 **电子游戏。**使用凸形状检测碰撞要快得多，这就是为什么角色被看不见的凸“盒子”包围。 来源： 阿基米德 (MacTutor) · Pasch (MacTutor) · Minkowski (MacTutor)。 理论与结构 观看有关凸区域和半平面的视频课程，然后遵循理论。

October 11, 2026 阅读