切线 | Euler's Eyes

章节练习 10 — 周长和圆

练习和决议 336 给定 $AB = 3x - 3$ 和 $OA = x + 3$，确定中心圆的半径 $O$。 Ver resposta$r = 12$ 337 该圆的半径为 16 厘米，点 $P$ 距离中心为 7 厘米。确定 $P$ 与圆周之间的距离。 Ver resposta9 厘米 338 确定以下情况下$x$的值： a) $s$垂直于$\overline{AB}$； b) $\overline{PA}$ 和 $\overline{PB}$ 与圆相切。 Ver respostaa) $x = 6$ · b) $x = 9$ 339 确定$x$的值，以$O$为圆心，在以下情况下： Ver respostaa) $125^{\circ}$ · b) $145^{\circ}$ 340 图形的圆周是外切线。如果中心之间的距离为 28 cm，半径之间的差为 8 cm，则确定半径。 Ver resposta18 厘米和 10 厘米

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切线段 — 外接四边形

从圆外一点引出两条切线，到切点的两条线段长度相等。谁发现的切线段相等是欧几里得的几何原本的命题III.17的直接结果，该命题教导如何通过外点绘制切线。这就产生了皮托定理：在有内切圆的四边形中，对边之和相等。法国工程师 Henri Pitot 在 1725 中发表了它（请参阅下面关于他的好奇心）。倒数（如果对边之和相等，则四边形有内切周长）已在 19 世纪得到证明，通常归因于 Jakob Steiner。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域亨利·皮托.未知作者未知作者 · 维基共享资源 · 公共领域雅各布·斯坦纳。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域故事皮托定理的证明是一个很好的例子，说明了一个简单的性质如何产生很多结果：四边形的每个顶点都是圆外的一个点，并且有两个相等的切线段。将相对的边相加，每个线段在每个总和中恰好出现一次。皮托的职业并不是数学家。作为一名水利工程师，他在法国南部建造了渡槽和桥梁，并发明了皮托管，可测量液体和气体的速度，并为现代飞机提供动力。在日常生活中 **皮带和皮带轮。**包含两个皮带轮的皮带的直线部分与轮子相切；在相同的滑轮上，它们具有相同的长度。 **自行车链条。**它离开齿冠相切，到达棘轮相切。 **灯塔视图。**从灯塔顶部看，接触圆岛的两条视线到接触点为止的长度相同。飞机的速度。皮托管与该定理由同一位工程师发明，是测量飞机相对于空气的速度的传感器。来源：元素，命题 III.17 · 亨利·皮托 (Wikipedia) · Steiner (MacTutor)。理论与结构 Teorema · 切线段如果从点 $P$ 开始，我们驱动线段 $\overline{PA}$ 和 $\overline{PB}$，两者都与圆相切，$A$ 和 $B$ 在圆上，然后是 $PA = PB$。另外，中心位于$A\hat{P}B$的角平分线处。

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两个圆的相对位置

两个圆可以是正割的、相切的、一个在另一个圆的内部或相距很远。中心之间的距离决定了情况。谁发现的基本情况是欧几里德（公元前300）的几何原本：两个不同的圆最多相交于两个点（命题III.10），并且当它们接触时，接触点位于连接圆心的直线上（III.11 和 III.12）。一个世纪后，Apollonius of Perga提出了关于该主题的最著名的问题：给定三个圆，为所有圆画第四条切线。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域佩尔加的阿波罗尼乌斯，后来的艺术表现。乔瓦尼·巴蒂斯塔备忘录 · 维基共享资源 · 公共领域故事阿波罗尼乌斯关于切线的书丢失了。在1600中，法国人François Viète用尺子和圆规重构了一个解，这个问题开始被牛顿、欧拉和高斯研究。一般来说，有八种解决方案。弗朗索瓦·维埃特。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域艾萨克·牛顿。戈弗雷·内勒 (1646–1723) · 维基共享资源 · 公共领域莱昂哈德·欧拉.雅各布·伊曼纽尔·汉德曼 (1718–1781) · 维基共享资源 · 公共领域卡尔·弗里德里希·高斯。克里斯蒂安·阿尔布雷希特·詹森 (1792–1870) · 维基共享资源 · 公共领域阿波罗尼乌斯的问题又回到了 20 世纪的场景：从到三个已知电台的距离中找到一个点与之相关，无线电定位技术就利用了这一推理。在日常生活中齿轮和滑轮。互锁链轮由切圆建模；轴之间的距离是半径之和。奥林匹克五环和维恩图。割圆表示具有共同元素的集合。 **水中的波浪。**将两块石头扔进湖中会产生在两点相交的圆形波浪。 **手机的位置。**已知到两个天线的距离，该设备位于圆周相交的两个点之一；第三根天线消除了疑虑。来源：元素，命题 III.10 · Apollonius (MacTutor) · Viète (MacTutor)。

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直线和圆的相对位置

一条直线可以在两点处切开一个圆，也可以只接触一个圆，或者穿过很远的地方。只接触的线是切线。谁发现的切线性质位于 Euclid 的几何原本的第三卷中（c. 300 BC）。命题 III.16 表明垂直于半径的直线在其端点处与圆相切，而 III.18 证明了相反的情况：切线在接触点垂直于半径。 tangent 这个词来自拉丁语 tangere，“触摸”。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事命题 III.16 引发了几何学中最长的争议之一。欧几里得指出，圆和切线之间的“角度”小于直线形成的任何角度。这个应急角度将大于零并且小于任何角度——这很奇怪。在 16 世纪，Jacques Peletier 和 Cristovão Clávio 争论了他是否真的是一个角度；几个世纪后这个问题才得到很好的解决。克里斯托弗·克拉维奥。国家博物馆 · 维基共享资源 · CC0 接触点的半径垂直于切线：曲线、直线和中心之间的关系。来自博客的原始教学插图。切线也是微分学的起点。 17 世纪，费马、笛卡尔、牛顿和莱布尼茨正在寻找一种绘制任意曲线切线的方法，而导数作为答案诞生了。皮埃尔·德·费马。身份不明的画家 · 维基共享资源 · 公共领域艾萨克·牛顿。戈弗雷·内勒 (1646–1723) · 维基共享资源 · 公共领域在日常生活中车轮落在地面上。车轮在一个点接触街道；街道与车轮相切。来自研磨机的火花。火花与旋转的石头相切，从轮胎中流出的泥浆也是如此。吊索和锤子投掷。释放物体后，物体将沿着圆形路径的切线运动。 **道路曲线。**工程师将直线段和曲线段切向连接，这样方向盘就不需要“摇晃”。来源：元素，命题 III.16 · 元素，命题 III.18 · Clávio (MacTutor)。

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定义和要素

所有点到中心的距离都相同：圆的定义适合一条直线，但它隐藏了数字 π。谁发现的圆圈是人类历史上最古老的形式之一，从美索不达米亚的轮子（约公元前 3500 BC）到石碑。严格的定义来自欧几里得（几何原本的定义I.15到I.18）：由一条线限定的图形，该线的所有点与内部点（中心）的距离相同。他的第三个公设保证可以以任意圆心和任意半径绘制圆。第一个准确计算轮廓与直径之比的人是阿基米德（公元前3世纪）。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域阿基米德，后来的艺术表现。多梅尼科·费蒂 · 维基共享资源 · 公共领域故事所有圆圈都具有相同的形状，只是大小发生变化。因此，长度 $C$ 和直径 $2R$ 之间的比率始终相同 - 我们今天称之为 π 的数字。巴比伦人使用3或$3\tfrac{1}{8}$； Rhind 纸莎草给出的值接近 3,16。展开后，圆的直径刚好超过三个：C = π · 2R。来自博客的原始教学插图，根据欧拉之眼系列中的人物重新设计。阿基米德将圆包围在具有 96 条边（一条内接一条外接）的多边形之间，并得出 π 位于 $3\tfrac{10}{71}$ 和 $3\tfrac{1}{7}$ 之间的结论。符号 π 由威尔士人 William Jones 在 1706 中使用，并由 Euler 推广。威廉·琼斯.威廉·霍加斯 (1697–1764) · 维基共享资源 · 公共领域莱昂哈德·欧拉.雅各布·伊曼纽尔·汉德曼 (1718–1781) · 维基共享资源 · 公共领域在日常生活中 **轮子。**轮子可以平稳旋转，因为边缘上的所有点到轴的距离都相同。 **井盖。**它们是圆形的，因为圆不会从任何位置的开口落下。披萨和时钟。披萨片是圆形扇形；时钟的指针是扫过表盘的射线。指南针和 GPS。天线或无线电信号从一个点的范围是一个圆。来源：元素，定义 I.15 · 阿基米德 (MacTutor) · π 的历史 (MacTutor)。

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