Euler's Eyes
2026-10-22
三角循环
三角环是三角学的“跑道”：一个半径为1的圆，其中每个实数都是从起点开始的一条路线。后面章节的所有功能都会在里面读到。
故事
希腊和印度天文学家使用大半径的圆——托勒密使用半径60，Aryabhata使用半径3438——以避免表格中的分数。 18 世纪的欧拉确定了半径1：因此，弧长就是角度本身的弧度测量值，而正弦和余弦变成了数字，而不是线段的长度。将实线缠绕在圆周上的想法，允许负弧大于一圈，这就是将三角形的三角学转变为周期函数理论的原因。
- 在瑞士出生长大。13 岁进入大学，开始每周六跟约翰·伯努利学习。
- 他乘船沿莱茵河而下，坐马车穿过德意志，在吕贝克登船前往俄国。
- 在科学院工作。解决巴塞尔问题，研究柯尼斯堡七桥，右眼失明。
- 应腓特烈二世之邀前往柏林科学院。出版《无穷分析引论》，提出公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$。
- 应叶卡捷琳娜大帝之邀返回。几乎完全失明，却一直口述论文，直到 1783 年去世。
来源： Euler (MacTutor) · Aryabhata (MacTutor)。
在日常生活中
- 摩天轮。 舱室的高度是中心高度加上 $r \operatorname{sen}\theta$，其中 $\theta$ 是从最右边的点穿过的弧 - 它是展开的三角循环。
- 经度。 从格林威治向东步行 $190^\circ$ 与向西步行 $170^\circ$ 会到达相同的子午线：一致的弧，但名称不同。
- 游戏和动画。 旋转 $370^\circ$ 的角色与旋转 $10^\circ$ 的角色位置相同；程序将角度“减少”为一圈，以免积累大量数字。
理论
定义
让我们在平面上考虑一个正交笛卡尔坐标系 $uOv$ 和以 $O$ 为中心、以 $r = 1$ 为半径的圆 $\lambda$。 $\lambda$ 的长度是 $2\pi$，因为 $r = 1$。令它们为$A = (1, 0)$、$B = (0, 1)$、$A' = (-1, 0)$和$B' = (0, -1)$。
Definição三角循环
我们将每个实数 $x$ 与 $\lambda$ 的单个点 $P$ 相关联，如下所示：
- 如果 $x = 0$，则 $P$ 与 $A$ 一致；
- 如果是$x > 0$，我们从$A$开始逆时针进行一条长度为$x$的路径，并在路径的末尾标记$P$；
- 如果$x < 0$，我们从$A$沿顺时针方向执行长度为$|x|$的路径；路线的终点是 $P$。
起始于 $A$ 的圆 $\lambda$ 是周期（或圆）三角函数。如果$P$与$x$相关联，我们说$P$是循环中的**$x$的图像**。
全等数
如果$P$是数字$x_0$的图像，那么$P$也是
$$x_0 + 2\pi,\quad x_0 + 4\pi,\quad x_0 + 6\pi,\ \ldots$$还有的
$$x_0 - 2\pi,\quad x_0 - 4\pi,\quad x_0 - 6\pi,\ \ldots$$因为添加或减去 $2\pi$ 会在路线中添加或删除一整圈。
Propriedade具有相同图像的数字
$P$ 是集合元素的图像
$$\{\,x \in \mathbb{R} \mid x = x_0 + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\,\}.$$Definição全等数
循环中具有相同图像$P$的两个实数$x_1 = x_0 + 2k_1\pi$和$x_2 = x_0 + 2k_2\pi$($k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$)满足$x_1 - x_2 = 2k\pi$，具有$k = k_1 - k_2$。这就是为什么我们说 $x_1$ 和 $x_2$ 是一致模块 $2\pi$，或者简称为一致。
Exemplo寻找大数的图像
为了标记$\dfrac{25\pi}{3}$，我们写$\dfrac{25\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{24\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 8\pi$。由于$8\pi$是4整圈，$\dfrac{25\pi}{3}$和$\dfrac{\pi}{3}$是一致的并且具有相同的图像：循环的$\dfrac{1}{6}$处的点，从$A$逆时针旋转。
本节中的练习是[章节列表]中的编号17到22（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap01-arcos-e-angulos/04-exercicios/).