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尼尔斯·亨里克·阿贝尔的一生

年表 18028 月 5 日生于挪威西海岸的斯塔万格附近。 1804全家迁往耶尔斯塔，父亲在那里任牧师。 1815进入克里斯蒂安尼亚（今奥斯陆）的主教座堂学校。 1818伯恩特·霍尔姆伯成为他的数学老师。 1820父亲去世。阿贝尔开始负担家庭的部分开销。 1821进入大学。以为自己解出了五次方程，随后发现了错误。 1824自费出版五次方程没有求根公式的证明。 1825前往柏林，结识奥古斯特·利奥波德·克雷勒。 1826在巴黎向科学院提交关于积分的重要论文。柯西把它弄丢了。 1827回到挪威，没有工作，负债累累。发表椭圆函数理论。 18294 月 6 日在弗罗兰死于肺结核，年仅 26 岁。 1830死后与雅可比共同获得巴黎科学院大奖。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1802 斯塔万格附近生于挪威西海岸，是一位牧师七个孩子中的老二。 1804–1815 耶尔斯塔在父亲位于南部的教区长大。 1815–1825 克里斯蒂安尼亚在主教座堂学校，霍尔姆伯老师发现了他的才华。1824 年出版关于五次方程的六页小册子。 1825–1826 柏林结识奥古斯特·利奥波德·克雷勒，后者在其杂志第一卷上发表了他的七篇文章。 1826 巴黎向科学院提交关于积分的大论文。没有人理会他，柯西还弄丢了手稿。 1827–1828 克里斯蒂安尼亚回国时没有工作，负债累累。发表椭圆函数，并与雅可比竞赛。 1828–1829 弗罗兰圣诞节乘雪橇去看未婚妻，病倒了，4 月 6 日死于肺结核。两天后，柏林的任命书寄到。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 阿贝尔的远行：从挪威到柏林和巴黎，又回到弗罗兰离世。 地图：© OpenStreetMap 贡献者 1802 · 斯塔万格附近1804–1815 · 耶尔斯塔1815–1825 · 克里斯蒂安尼亚1825–1826 · 柏林1826 · 巴黎1827–1828 · 克里斯蒂安尼亚1828–1829 · 弗罗兰 阿贝尔的远行：从挪威到柏林和巴黎，又回到弗罗兰离世。 牧师的儿子 约 1890 年挪威南部耶尔斯塔的教堂和牧师住宅。阿贝尔在这个教区长大，他的父亲是这里的牧师。照片中的教堂建于 1848 年，但牧师住宅的主楼建于 1707 年。Peder Bentsen Melaas · Wikimedia Commons · 公有领域 尼尔斯·亨里克·阿贝尔于 1802 年 8 月 5 日出生在挪威西海岸，是路德宗牧师瑟伦·格奥尔格·阿贝尔七个孩子中的老二。两年后，全家搬到南部的耶尔斯塔，父亲在那里接管了教区。当时的挪威是丹麦的一个贫穷省份，饱受拿破仑战争和英国封锁之苦，1812 年还发生了饥荒。1814 年，挪威有了自己的宪法，并与瑞典结成联合，阿贝尔的父亲后来还当上了新议会的议员。

October 15, 2026 阅读
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约翰·纳什的一生

年表 19286 月 13 日生于美国西弗吉尼亚州布卢菲尔德。 1945进入匹兹堡的卡内基理工学院学习化学工程，后转学数学。 1948来到普林斯顿。发明了被同学们称为"纳什"的棋，今天叫海克斯棋。 1950以博士论文《非合作博弈》答辩，提出纳什均衡。发表《讨价还价问题》。 1951成为麻省理工学院讲师。 1956发表等距嵌入定理。 1957与麻省理工物理系学生艾丽西亚·拉尔德结婚。 1958发表关于抛物型方程正则性的结果。 1959第一次住进精神病院。三十年的疾病开始了。 1994与约翰·海萨尼、莱因哈德·泽尔腾共同获得诺贝尔经济学奖。 2001与艾丽西亚复婚。电影《美丽心灵》上映。 2015与路易斯·尼伦伯格共同获得阿贝尔奖。5 月 23 日与艾丽西亚一同死于车祸。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1928–1945 布卢菲尔德在一个靠铁路和煤矿为生的小城长大。读《数学精英》，自己证明了费马小定理。 1945–1948 匹兹堡在卡内基理工学院，从化学工程转到数学，并想到了议价问题。 1948–1951 普林斯顿发明海克斯棋，以 28 页的博士论文提出纳什均衡。 1951–1959 麻省理工学院在麻省理工学院任教。证明嵌入定理和抛物型方程的结果。1959 年开始发病。 1970–2015 普林斯顿作为“范氏楼的幽灵”在走廊里游荡，1980 年代末康复。 1994 斯德哥尔摩与约翰·海萨尼、莱因哈德·泽尔腾共同获得诺贝尔经济学奖。 2015 奥斯陆与路易斯·尼伦伯格共同获得阿贝尔奖。5 月 23 日回国途中，他和艾丽西亚在新泽西州的出租车车祸中去世。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 约翰·纳什的足迹：从布卢菲尔德到普林斯顿，以及领取诺贝尔奖和阿贝尔奖的旅程。 地图：© OpenStreetMap 贡献者 1928–1945 · 布卢菲尔德1945–1948 · 匹兹堡1948–1951 · 普林斯顿1951–1959 · 麻省理工学院1970–2015 · 普林斯顿1994 · 斯德哥尔摩2015 · 奥斯陆 约翰·纳什的足迹：从布卢菲尔德到普林斯顿，以及领取诺贝尔奖和阿贝尔奖的旅程。 布卢菲尔德的少年 小约翰·福布斯·纳什出生在西弗吉尼亚州的布卢菲尔德，一个以铁路和煤矿为生的小城。父亲是电力公司的电气工程师；母亲婚前教过英语和拉丁语。在学校，这个男孩害羞、孤僻，并不出众。在家里，他做化学和电学实验。

October 14, 2026 阅读
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五次方程：不存在的公式

几何学家们一直非常关注代数方程的一般解法，其中好几位还试图证明它的不可能性。但是，如果我没有弄错的话，至今还没有人成功。 — 尼尔斯·亨里克·阿贝尔，《论代数方程》（1824） 上过学的人都知道一个解方程的公式：二次方程的求根公式。方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根是 $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$这个配方只用到四则运算和一个平方根。巴比伦人在近四千年前就会解这类问题，欧几里得则用正方形和矩形来解它们。一个自然的问题是：更高次的方程也有这样的配方吗？ 三次和四次 三次方程的答案来自文艺复兴时期的意大利。希皮奥内·德尔·费罗、尼科洛·塔尔塔利亚和吉罗拉莫·卡尔达诺找到了公式，卡尔达诺于 1545 年在《大术》（Ars magna）中发表了它。对于方程 $x^3+px+q=0$，一个根是 $$x=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}.$$我们用 $x^3+6x-20=0$ 来验证，即 $p=6$、$q=-20$。先算平方根： $$\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}=100+8=108,\qquad\sqrt{108}=6\sqrt3.$$公式给出 $$x=\sqrt[3]{10+6\sqrt3}+\sqrt[3]{10-6\sqrt3}.$$看起来很可怕，但是 $(1+\sqrt3)^3=1+3\sqrt3+9+3\sqrt3=10+6\sqrt3$，同样 $(1-\sqrt3)^3=10-6\sqrt3$。所以 $$x=(1+\sqrt3)+(1-\sqrt3)=2.$$确实，$2^3+6\cdot2-20=0$。不久之后，卡尔达诺的学生洛多维科·费拉里找到了四次方程的公式，也发表在同一本书中。这两个公式都只用四则运算和开方：我们说这些方程可以用根式求解。 两百五十年的尝试 剩下的是五次方程。两个多世纪里，最伟大的数学家们都尝试过，所有在四次以内管用的技巧到了五次都卡住了。1771 年，拉格朗日解释了这些技巧为什么管用：它们取决于根的某些表达式在根被打乱时如何变化。对于五次，这笔账算不通。1799 年，意大利人保罗·鲁菲尼发表了一个不存在公式的证明，但其中有漏洞，几乎没有人接受。 阿贝尔定理 1824 年，阿贝尔给出了完整的证明： $$\boxed{\text{对于 }n\geq5\text{ 次的一般方程，不存在只用四则运算和开方的公式。}}$$今天这个结果被称为阿贝尔–鲁菲尼定理。证明的思路是：假设这样的公式存在，看看它必须怎样构造。它是一层一层建起来的，每一层都对前面各层构成的表达式开方。阿贝尔证明，这些中间的根本身必须是方程五个根的表达式。这时拉格朗日和鲁菲尼的论证就派上了用场：五个根有 $5!=120$ 种打乱方式，而公式需要的那些表达式必须以某种方式变化，可是没有任何五个字母的表达式能这样变化。假设导致矛盾。 必须准确理解这个定理说了什么。它并没有说没有一个五次方程能解。方程 $x^5-32=0$ 的根是 $x=\sqrt[5]{32}=2$。不存在的是一个一般公式，能从系数出发解出所有五次方程。而且有些具体的方程，比如 $$x^5-x-1=0,$$它的实根 $x\approx1.1673$ 存在，也可以算到任意多位小数，却无论如何都不能用根式写出来。哪些方程能解、哪些不能解，这个问题几年后由伽罗瓦回答。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 高斯没有打开的小册子 1824 年的小册子《论代数方程，证明一般五次方程不可能求解》是用阿贝尔自己的钱在克里斯蒂安尼亚印刷的。为了少花钱，他把证明删减到只剩六页，许多步骤都没有解释。阿贝尔把它寄给了几位数学家，其中包括高斯。据传，人们在高斯死后发现他那一本的书页仍未裁开。1826 年，阿贝尔在《克雷勒杂志》第一卷上发表了一个详细清楚的版本。 练习：像拉斐尔·邦贝利在 1572 年那样，把卡尔达诺公式用于 x³ − 15x − 4 = 0。这里 $p=-15$、$q=-4$，$\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}=4-125=-121$。公式需要 $\sqrt{-121}=11i$，即一个负数的平方根：$x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}$。邦贝利注意到 $(2+i)^3=8+12i-6-i=2+11i$，而 $(2-i)^3=2-11i$。于是 $x=(2+i)+(2-i)=4$，确实 $64-60-4=0$。虚数就是从这扇门进入数学的：为了得到一个实数答案，三次方程的公式有时必须经过虚数。

October 15, 2026 阅读
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海克斯棋：为什么先手必胜

1948 年，在普林斯顿数学楼的公共休息室里，教授和学生们下午常在这里下国际象棋和围棋，约翰·纳什拿出了一种新游戏。棋盘是一个菱形，铺满了像蜂巢一样的六边形格子。红、蓝两位棋手轮流在空格上落子，每次一枚。棋子落下后永不移动。红方要用一串红子连接上下两条边；蓝方要用一串蓝子连接左右两条边。 同学们把这种游戏叫做"纳什"。他并不知道，丹麦人皮特·海恩早在 1942 年就发明了它，取名 Polygon。1952 年，帕克兄弟公司以一个流传至今的名字推出了它：海克斯（Hex）。 7×7 的海克斯棋盘。红方获胜：一串用黄色标出的红色格子连接了上下两边。Euler’s Eyes 绘图 永远不会平局 第一个令人惊讶的性质：在海克斯棋中，下满的棋盘总有一位胜者。不可能把所有格子填满而谁都没有连成。 直觉是这样的：要阻止红方从上连到下，蓝方需要一道从一边切到另一边的"屏障"。而一道从一边通到另一边的蓝色屏障，恰恰就是一串获胜的蓝色链条。如果红方没有赢，那是因为蓝方挡住了它，而挡住就是赢。 这依赖于格子是六边形。在国际象棋那样的正方形棋盘上，两个格子可以只在角上相接，两条不同颜色的路径可以沿对角线交叉，谁也连不成。而在六边形中，每个顶点处恰好有三个格子相遇，这样的交叉是不可能的。1979 年，数学家大卫·盖尔证明，海克斯棋没有平局这一事实与布劳威尔不动点定理等价，而纳什在博弈均衡中用到的正是这类结果。 策略窃取 第二个性质更奇怪。纳什证明了先手有必胜策略：只要下得完美，他总能赢。但证明并没有说这个策略是什么。这个论证叫做策略窃取，过程如下： 游戏是有限的，并且没有平局。所以两位棋手中必有一位有必胜策略：一套规则，告诉他在每种局面下怎么走，并保证无论对方怎么防守都能获胜。 用反证法，假设拥有必胜策略的是后手。 那么先手可以把它"偷"过来。他随便走第一步，然后假装自己是后手，无视那枚多出来的棋子，按照后手的必胜策略下棋。 如果某一刻策略要求下在那枚多余棋子所在的格子，他就随便下在别的格子上，这枚新棋子成为新的多余棋子。 在海克斯棋中，盘面上多一枚子永远不会吃亏。所以先手按照偷来的策略下棋，一定获胜。 但这与"后手有必胜策略"的假设矛盾。因此拥有必胜策略的是先手。 $$\boxed{\text{在海克斯棋中，先手总能获胜。}}$$这是一个存在性证明：它保证策略存在，却不把它展示出来。对于不超过 9×9 的棋盘，计算机已经找到了明确的必胜策略。对于标准的 11×11 棋盘，没有人知道它是什么。 馅饼规则 由于先手占优，海克斯棋比赛采用馅饼规则，灵感来自两个孩子公平分馅饼的方法：一个切，一个选。在海克斯棋中，先手走第一步，后手决定是接过这一步、交换颜色，还是保持原样。于是先手会倾向于走一步不太好也不太坏的棋。 练习：在 1×1 和 2×2 的海克斯棋盘上，先手怎样获胜？在 1×1 的棋盘上，唯一的格子同时接触四条边：先手第一步就赢了。在 2×2 的棋盘上，如果红方先走，制胜的一步是菱形两个钝角处的格子之一：每个这样的格子都与另一行的两个格子相邻，而蓝方只能占住其中一个。下一步，红方就连成了链。 练习：策略窃取论证适用于井字棋吗？国际象棋呢？在井字棋中，多一枚子同样不会吃亏，论证表明后手不可能有必胜策略。但井字棋可以平局，而且在完美对弈下确实是平局：论证只保证先手不会输。在国际象棋中，论证一开始就失效了：多一枚子可能吃亏，因为有时候必须走棋反而是劣势，即所谓"楚茨文格"（zugzwang）。 来源： David Gale，“The game of Hex and the Brouwer fixed-point theorem”，The American Mathematical Monthly 86（1979）· Martin Gardner，“The game of Hex”，收于 Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions（Chicago，1988）· Sylvia Nasar，A Beautiful Mind（Simon & Schuster，1998），第 11 章。

October 14, 2026 阅读
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二项式级数与魔鬼的级数

发散级数是魔鬼的发明，在它们上面建立任何证明都是一种耻辱。 — 尼尔斯·亨里克·阿贝尔，致霍尔姆伯的信（1826 年 1 月） 1665 年，年轻的牛顿发现，二项式公式对于非整数的指数也成立： $$(1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{6}x^3+\cdots$$当 $m$ 是正整数时，这个和在 $m+1$ 项之后就停止了。当 $m=\frac12$ 或 $m=-1$ 时，它永远不会停：这是一个级数，一个有无穷多项的和。牛顿、欧拉以及 18 世纪的所有数学家都用这个级数取得了巨大成功。几乎没有人问过它什么时候成立。 阿贝尔在中学时就认识了这个级数。16 岁时，他注意到欧拉对二项式公式的证明只对有理数指数成立，于是尝试把它推广到所有的数。八年后，他在柏林以严格得多的方式重新研究了这个问题。 级数骗人的时候 取 $m=-1$。级数给出 $$\frac1{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots$$当 $x=\frac12$ 时，左边是 $\frac23$，右边 $1-0.5+0.25-0.125+\cdots$ 确实趋近于 $0.666\ldots$ 但当 $x=1$ 时，右边变成 $1-1+1-1+\cdots$，在 $1$ 和 $0$ 之间来回跳，拿不定主意，而左边等于 $\frac12$。欧拉接受这个和"就是" $\frac12$。当 $x=2$ 时情况更糟：左边是 $\frac13$，右边 $1-2+4-8+16-\cdots$ 无限增大。 部分和不趋近于任何数的级数称为发散级数。18 世纪的数学家们随意地摆弄这类级数，有时得出荒谬的结果。在法国，柯西从 1821 年起用他的《分析教程》开始整顿秩序。阿贝尔在巴黎读了柯西的书，并且走得更远。 阿贝尔的证明 在 1826 年发表于《克雷勒杂志》的文章中，阿贝尔以完全严格的方式研究了二项式级数，指数 $m$ 可以是任意的，甚至是复数，$x$ 也可以是任意的。他证明了当 $|x|<1$ 时级数收敛于 $(1+x)^m$，并精确描述了在边界 $|x|=1$ 上会发生什么。这是第一次有人对牛顿的级数做到这一点。 在区间内部，级数表现得非常好。取 $m=\frac12$，系数是 $1,\ \frac12,\ -\frac18,\ \frac1{16},\ -\frac5{128},\dots$，于是 $$\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\cdots$$对于 $\sqrt{1.2}$，取 $x=0.2$：

October 15, 2026 阅读
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纳什均衡：谁也无法单独改善

均衡点是这样一个 n 元组：如果其他人的策略保持不变，每个参与者的混合策略都使他自己的收益最大。 — 约翰·纳什，《美国国家科学院院刊》（1950） 1944 年，约翰·冯·诺伊曼和经济学家奥斯卡·摩根斯特恩出版了《博弈论与经济行为》，这部巨著把战略决策变成了数学：纸牌游戏、战争、市场。冯·诺伊曼的重大成果适用于两人零和博弈，即一方之所得就是另一方之所失，比如国际象棋或扑克。但生活中大多数情形并非如此：在贸易协定、谈判或交通中，双方可以一起赢，也可以一起输。 1949 年，一个 21 岁的学生找到了适用于任何博弈、任意多参与者的思想。 思想 在一场博弈中，每个参与者选择一个策略，每个人的结果取决于所有人的选择。纳什均衡是这样一种策略组合：在其他人保持各自策略不变时，没有任何参与者能通过单独改变策略而获益。 用符号表示：若 $s_i^*$ 是参与者 $i$ 的策略，$s_{-i}^*$ 表示其他人的策略，$u_i$ 是参与者 $i$ 的收益，则 $$\boxed{u_i(s_i^*,s_{-i}^*)\geq u_i(s_i,s_{-i}^*)\quad\text{对每个参与者 }i\text{ 和每个策略 }s_i.}$$在均衡中，每个人都在给定别人所做的事情的条件下尽力而为。谁也不后悔自己的选择。 广场还是咖啡馆？ 安娜和布鲁诺约好下午见面，却忘了说在哪里，而且两人都没带手机。每人可以去广场或咖啡馆。两人都更喜欢咖啡馆，但最重要的是碰面。收益（先安娜、后布鲁诺）如下： 安娜 / 布鲁诺 广场 咖啡馆 广场 (2, 2) (0, 0) 咖啡馆 (0, 0) (3, 3) 逐一检验每种组合。在（咖啡馆，咖啡馆），如果安娜单独改去广场，她的收益从 3 变成 0；布鲁诺也一样。谁都不想改变：这是一个均衡。在（广场，广场），单独改变会让各自从 2 变成 0：这也是一个均衡！而在（广场，咖啡馆），安娜改去咖啡馆会获益，所以不是均衡。 这个博弈有两个均衡，其中一个对两人都更好。纳什的概念指出哪些组合是稳定的，却不说哪一个会发生。实际上，起决定作用的是惯例、习惯、两人常去的地方。 囚徒困境 1950 年，也就是纳什论文的同一年，兰德公司的两位研究员梅里尔·弗勒德和梅尔文·德雷希尔设计了一个博弈来检验这个想法，数学家阿尔伯特·塔克把它讲成两个囚犯的故事。警察抓住两名同伙，把他们分开审讯。每人可以沉默，也可以告发对方。刑期（以年计）如下： A / B 沉默 告发 沉默 (1, 1) (10, 0) 告发 (0, 10) (5, 5) 站在囚犯 A 的角度想。如果 B 沉默，A 沉默判 1 年，告发判 0 年：告发更好。如果 B 告发，A 沉默判 10 年，告发判 5 年：告发更好。无论 B 怎么选，告发对 A 都更好。 同样的推理对 B 也成立。唯一的纳什均衡是（告发，告发），各判 5 年。

October 14, 2026 阅读
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把积分反过来：椭圆函数

从一个熟悉的函数开始，换一种奇怪的角度来看。积分 $$\arcsin x=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$给出半径为 1 的圆上一段弧的长度，从最低点量起，是高度 $x$ 的函数。这是个复杂的函数。但它的反函数，即把高度表示为弧长的函数，就是正弦，三角学里最简单的函数。而正弦有一个积分所掩盖的性质：它是周期的。因为四分之一圆周的长度是 $$\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac\pi2,$$所以正弦每隔 $4\cdot\frac\pi2=2\pi$ 重复一次。 没人会算的积分 18 世纪出现了类似的积分，只是把二次多项式换成了三次或四次多项式的根。它们出现在椭圆弧长的计算中，因此得名椭圆积分；也出现在双纽线的弧长中，以及单摆的运动中。 长为 $L$、摆幅很小的单摆，周期为 $T_0=2\pi\sqrt{L/g}$，这是中学里学的。但这个公式只在摆幅小时成立。对于任意摆幅 $\theta_0$，精确的周期是 $$T=4\sqrt{\frac Lg}\,K(k),\qquad K(k)=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}},\qquad k=\sin\frac{\theta_0}2.$$当 $\theta_0=90°$ 时，$k=\frac{\sqrt2}2$，$K\approx1.8541$。于是 $T\approx7.416\sqrt{L/g}$，而简单公式给出 $6.283\sqrt{L/g}$：单摆要多花 18% 的时间。当 $k=0$ 时，$K=\frac\pi2$，又回到了中学的公式。 积分 $K$ 不能用已知函数写出来。法国人阿德里安–马里·勒让德为这些积分花了四十年，把它们分为三类，并计算了庞大的数值表。他的《椭圆函数论》于 1825 年至 1828 年间出版。 阿贝尔是听从费迪南·德根的建议才研究这些积分的。1821 年，这位哥本哈根的数学家读了这个挪威青年对五次方程的错误解法之后，建议他去研究椭圆积分：它们将是一道通往发现之海的“麦哲伦海峡”。 阿贝尔的想法 阿贝尔想到了勒让德没有想到的：像对反正弦那样，把这些积分反过来。不再研究弧长作为高度的函数，而是研究高度作为弧长的函数。在最简单的情形下，定义 $$s=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\qquad\Longrightarrow\qquad x=\operatorname{sl}(s),$$即双纽线正弦。和正弦一样，反函数比积分本身性质好得多。当 $s$ 从 0 变到 $$\frac\varpi2=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\approx1.31103$$时，它从 0 增加到 1，并以 $2\varpi\approx5.2441$ 为周期重复。符号 $\varpi$ 是 π 的另一种写法，称为双纽线常数。 阿贝尔于 1827 年在《克雷勒杂志》第二卷上以《椭圆函数研究》为题发表了这个理论。德国人卡尔·雅可比在同一年独立地得到了相同的思想，两人随后进行了两年的论文竞赛。 两个周期 当允许 $s$ 取复数时，大惊喜出现了。在积分中把 $t$ 换成 $iu$。因为 $(iu)^4=u^4$，$dt=i\,du$， $$\int_0^{ix}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}=i\int_0^x\frac{du}{\sqrt{1-u^4}}=is.$$这意味着 $\operatorname{sl}(is)=i\operatorname{sl}(s)$。由于 $\operatorname{sl}$ 有实周期 $2\varpi$，它免费获得了一个虚周期 $2\varpi i$：

October 15, 2026 阅读
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混合策略：点球与猜单双

每个有限博弈都有一个均衡点。 — 约翰·纳什，博士论文《非合作博弈》（1950） 有些博弈，如果每个参与者都选定一种固定的出法，就根本没有均衡。最简单的例子是猜单双。安娜押"双"，布鲁诺押"单"，两人各伸出一根或两根手指。和是双数，安娜得一分；是单数，布鲁诺得一分。把每人的选择简化为"一根"或"两根"手指，收益如下： 安娜 / 布鲁诺 1 根 2 根 1 根 (1, −1) (−1, 1) 2 根 (−1, 1) (1, −1) 检验这四种组合：在每一种中，输的一方换一种出法都会获益。固定出法下没有均衡。这很合理：总是出同一种的人，一旦被对方察觉就会输。 抽签是最好的策略 出路是混合：以一定的概率随机选择。混合策略就是各种出法上的一个概率分布。设安娜以概率 $p$ 伸 1 根手指，布鲁诺以概率 $q$ 伸 1 根手指，两人独立抽取。 如果安娜伸 1 根，她的期望收益是 $q\cdot1+(1-q)\cdot(-1)=2q-1$。如果伸 2 根，则是 $q\cdot(-1)+(1-q)\cdot1=1-2q$。只有当两种出法给她相同的收益时，也就是布鲁诺让她无差异时，安娜才愿意混合： $$2q-1=1-2q\quad\Longrightarrow\quad q=\frac12.$$同理，只有当 $p=\frac12$ 时布鲁诺才会混合。唯一的均衡是每人各以 50% 的概率伸 1 根或 2 根手指。面对这种混合，任何策略，无论纯的还是混合的，都无法让对方的期望收益大于零。 纳什定理 这正是 1950 年论文的重大成果：每个参与者和出法数目都有限的博弈，只要允许混合策略，就至少有一个纳什均衡。 证明用到一个不动点定理。对每一个混合策略组合，构造另一个组合：每个参与者都把自己的混合稍稍朝收益更高的出法移动一点。这就定义了策略组合集合到其自身的一个连续函数。这个集合就像一个没有洞的球，而布劳威尔定理保证：球到自身的每个连续函数都有一个不动点，即函数不移动的组合。一个不动的点，恰恰就是谁都不想改变的组合：一个均衡。 定理保证均衡存在，但不说它唯一，也不说它容易计算。今天我们知道，在大型博弈中，找到纳什均衡可能是一个极其困难的计算问题。 点球 混合策略最著名的例子发生在球场上。罚点球时，罚球者选择方向，而守门员必须在看到球之前扑出。对于右脚罚球者，自然方向是他的左侧，也就是守门员的右侧。设进球概率如下： 罚球者 / 守门员 守门员扑向自然方向 守门员扑向另一侧 射向自然方向 60% 95% 射向另一侧 90% 70% 这些数字经过取整，但接近欧洲足球的真实数据：守门员扑错方向时罚球者几乎不会失手；自然方向射起来最顺脚，但守门员扑对方向时也最容易扑出。

October 14, 2026 阅读
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用尺规等分双纽线

1694 年，雅各布·伯努利研究了一条形如横躺的数字 8 的曲线，称之为 lemniscus，意思是蝴蝶结丝带。以点 $(\pm\frac1{\sqrt2},0)$ 为焦点，它是到两个焦点距离之积等于 $\frac12$ 的点的集合。它的方程是 $$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2,$$用极坐标表示则是 $r^2=\cos2\theta$。一个半世纪之后，阿贝尔证明了一个关于它的定理，像是从欧几里得的书里走出来的：对于哪些数 $n$，可以只用尺规把双纽线分成 $n$ 段等长的弧？ 伯努利双纽线 r² = cos 2θ，七个点把它分成八段等长的弧。曲线两次经过中心。Euler’s Eyes 绘图 弧长 首先，曲线的一段有多长？在极坐标中，一小段弧满足 $ds^2=dr^2+r^2\,d\theta^2$。对 $r^2=\cos2\theta$ 求导， $$2r\,dr=-2\sin2\theta\,d\theta,\qquad\sin2\theta=\sqrt{1-\cos^22\theta}=\sqrt{1-r^4},$$所以 $d\theta=-\dfrac{r\,dr}{\sqrt{1-r^4}}$，并且 $$ds^2=dr^2+\frac{r^4\,dr^2}{1-r^4}=\frac{dr^2}{1-r^4}.$$于是，从中心到距中心为 $r$ 的点的弧长是 $$\boxed{s=\int_0^r\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}.}$$这就是双纽线积分，也就是定义双纽线正弦的那个积分。换句话说：双纽线上沿弧距中心为 $s$ 的点，到中心的距离是 $\operatorname{sl}(s)$。双纽线正弦之于双纽线，正如正弦之于圆。从中心到顶端的弧长为 $\frac\varpi2\approx1.3110$，整条曲线长 $2\varpi\approx5.2441$。 1751 年的圣诞节 1718 年，意大利伯爵朱利奥·法尼亚诺发现了如何用尺规把双纽线的一段弧加倍：给定一段弧，作出长度为它两倍的另一段弧。没有人太在意。1751 年 12 月 23 日，柏林科学院把法尼亚诺的著作交给欧拉审阅。欧拉立刻看出了其中的价值，把法尼亚诺的公式推广为这些积分的加法公式。将近一个世纪后，雅可比说那一天是椭圆函数的诞生日。 分成八段 我们用双纽线正弦写出法尼亚诺的公式： $$\operatorname{sl}(2u)=\frac{2\operatorname{sl}(u)\sqrt{1-\operatorname{sl}(u)^4}}{1+\operatorname{sl}(u)^4}.$$要把曲线分成八等份，只需找到平分从中心到顶端那段弧的点。顶端在 $r=1$，所以我们寻找满足 $\operatorname{sl}(2u)=1$ 的 $s=\operatorname{sl}(u)$： $$1+s^4=2s\sqrt{1-s^4}.$$两边平方，并令 $w=s^2$： $$(1+w^2)^2=4w(1-w^2)\quad\Longrightarrow\quad w^4+4w^3+2w^2-4w+1=0.$$这个多项式是完全平方：$(w^2+2w-1)^2$。所以 $w^2+2w-1=0$，正根为 $w=\sqrt2-1$。所求的点到中心的距离是 $$\boxed{r=\sqrt{\sqrt2-1}\approx0.6436.}$$这个数只涉及平方根，而平方根可以用尺规作出。以曲线中心为圆心、$\sqrt{\sqrt2-1}$ 为半径画圆，它与双纽线交于上图中间的四个点。 阿贝尔定理 高斯在 1796 年证明了正十七边形可以用尺规作出，更一般地，当 $n$ 是 2 的幂乘以不同的费马素数（如 3、5、17、257、65537）时，圆可以被分成 $n$ 等份。在 1801 年的书中，他留下了一句神秘的话：同样的原理也适用于积分 $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$。此后他没有再发表任何相关内容。

October 15, 2026 阅读
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纳什议价解

本文对一个经典的经济问题给出了新的处理，这个问题以多种形式出现，如讨价还价、双边垄断等。 — 约翰·纳什，《讨价还价问题》（1950） 1948 年，还是卡内基理工学院本科生的纳什上了一门国际经济学课，这是他一生中唯一的经济学课。他从课上带走了一个问题：两个人谈判时，怎样分配协议带来的收益？经济学家们认为，答案取决于双方的心理、技巧和虚张声势，一般而言无话可说。纳什证明：如果协议必须满足几条合理的要求，那么可能的答案只有一个。这篇论文在他到普林斯顿之前就已写成，1950 年发表在《计量经济学》（Econometrica）杂志上。 问题 两个人 1 和 2 可以达成协议。每个可能的协议都给每人带来一份收益，用效用衡量：$u_1$ 和 $u_2$。如果达不成协议，每人保留原有的东西，即谈判破裂点 $(d_1,d_2)$。只有当协议给每人的至少不少于没有协议时的所得，它才有意义。 四个要求 纳什要求解具有四条性质： 有效性。 不应存在另一个对双方同时都更好的协议。 对称性。 如果局面是对称的，双方的可能性和破裂点都相同，那么双方所得相等。 不变性。 如果把某人的效用换一种尺度来衡量，就像把摄氏度换成华氏度，解不变。 无关选项的独立性。 如果一个问题的解在一个更小的问题中仍然可行，它仍然是解。去掉没人会选的选项，不改变协议。 纳什定理说：同时具有这四条性质的规则只有一个：选择使相对于破裂点的收益之积 $$\boxed{(u_1-d_1)\cdot(u_2-d_2)}$$最大的协议。 分 10 元钱 两个人要分 10 元钱。如果谈不拢，谁也拿不到：$d=(0,0)$。为简单起见，设效用就是钱本身。若 1 号拿 $x$，2 号就拿 $10-x$，乘积是 $$P(x)=x(10-x)=25-(x-5)^2.$$最大值在 $x=5$：每人 5 元。在对称情形下，这并不意外。 有好退路的人分得更多 现在设 1 号有一条退路：谈不拢时，她能在别处拿到 4 元，而 2 号仍然一无所有。破裂点是 $(4,0)$。相对于破裂点的收益是 $x-4$ 和 $10-x$，乘积为 $$P(x)=(x-4)(10-x)=9-(x-7)^2,\qquad4\leq x\leq10.$$ 相对于破裂点的收益之积 (x − 4)(10 − x)。x = 4 时它为零，因为 1 号从协议中一无所得；x = 10 时也为零，因为 2 号一无所得。最大值 9 在 x = 7 处。Euler’s Eyes 绘图 最大值在 $x=7$：1 号分 7 元，2 号分 3 元。每人都比没有协议时多得 3 元。纳什解平分剩余，即协议在每人已有保障之外所创造的价值。所以有好退路的人分得更多：退路不是白送的，而是谈判的起点。

October 14, 2026 阅读
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阿贝尔群：顺序无关紧要的时候

先穿袜子再穿鞋，和先穿鞋再穿袜子，结果不一样。先加 3 再加 5，和先加 5 再加 3，结果一样。当两个操作的先后顺序不改变结果时，我们说它们可交换。数学家用来称呼一切都可交换的结构的那个词，是为了纪念阿贝尔：阿贝尔的（abelian）。 最后的论文 证明了一般五次方程没有公式之后，阿贝尔想知道哪些方程有公式。1829 年，在他发表于《克雷勒杂志》的最后几篇文章之一中，他研究了一类特殊的方程：所有的根都可以由其中一个根 $x$ 通过有理函数 $\theta_1(x), \theta_2(x),\dots$ 得到，而这些函数彼此可交换： $$\theta_1(\theta_2(x))=\theta_2(\theta_1(x)).$$阿贝尔证明这类方程总能用根式求解。它们后来被称为阿贝尔方程，再后来，顺序无关紧要的群被称为阿贝尔群。 单位根 最重要的例子是方程 $x^n=1$。它的一个根是 $$\zeta=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n,$$其余的根都是它的幂：$\zeta^2,\zeta^3,\dots,\zeta^n=1$。把一个根变成另一个根的函数是幂函数 $\theta_a(x)=x^a$，它们可交换： $$\theta_a(\theta_b(x))=(x^b)^a=x^{ab}=(x^a)^b=\theta_b(\theta_a(x)).$$由阿贝尔定理，$x^n=1$ 对每个 $n$ 都可以用根式求解。这正是高斯用来作出正十七边形的结构：正多边形的顶点就是 $x^{17}=1$ 的根。 群与交换性 用现代语言说，群是一组可以复合、可以撤销、可以组合的操作，而结果始终留在这组操作之内。如果对任意两个元素都有 $a\circ b=b\circ a$，这个群就是阿贝尔群。 阿贝尔群的例子随处可见： 整数与加法：$3+5=5+3$。 圆的旋转：先转 $30°$ 再转 $50°$，与先转 $50°$ 再转 $30°$ 相同。 时钟算术：在 12 小时制的钟上，9 点再过 5 小时是 2 点。我们写作 $9+5\equiv2\pmod{12}$，加数的顺序同样无关紧要。 也有不是阿贝尔群的群。三角形的对称是最小的例子：先转动三角形再翻转它，与先翻转再转动结果不同。魔方是另一个例子：先转前面再转上面，效果与反过来不同。正是通过研究非阿贝尔群，伽罗瓦解释了五次方程为什么没有公式。 为什么可交换有帮助 阿贝尔证明背后的直觉是：在阿贝尔群中，操作可以一个一个地、以任意顺序进行，而不会互相破坏。每一步对应于开一次方，而这些根可以依次开出。在一个过于复杂的非阿贝尔群里，比如五个根的 120 种置换构成的群，各个步骤互相妨碍，仅靠根式无法走到终点。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 阿贝尔葡萄 英语国家的数学家中流传着一个老笑话：“什么东西是紫色的而且可交换？阿贝尔葡萄。“因为英语里 an abelian grape（阿贝尔葡萄）听起来像 an abelian group（阿贝尔群）。“abelian"这个形容词太常用了，许多书都用小写字母书写，这是很少有数学家享有的荣誉。 练习：在 12 小时的时钟算术中，解 7 + x ≡ 3。再解 5 · x ≡ 1。第一个：$x\equiv3-7=-4\equiv8$，从 7 点往后走 8 小时就到了 3 点。第二个，逐个试：$5\cdot5=25=2\cdot12+1$，所以 $x\equiv5$。在时钟上，5 是它自己的逆元。

October 15, 2026 阅读
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只弯不拉：嵌入定理

拿一张纸。你可以把它卷成圆柱而不撕破、不拉伸：用软尺在纸面上量出的距离保持不变。但你无法不起褶皱地用它包住一个球。纸和球面的内蕴几何不同，高斯在 1827 年证明，这种差别，即曲率，在曲面不拉伸地弯曲时不会改变。 19 世纪，波恩哈德·黎曼有一个更大胆的想法：只用内部的测量来描述一个曲面，或任意维数的空间，而不把它画在任何地方。只需要一条规则，即度量，告诉我们怎样测量任意曲线的长度。广义相对论正是这样描述时空的：从内部描述，周围不需要更大的空间。 问题 那么，每一个抽象的黎曼空间，都能画进一个普通的欧几里得空间（也许维数很高），使得在空间内部量出的长度与画出来的长度一致吗？这种"无失真的画法"叫做等距嵌入。这个问题已有半个世纪，几何学家们认为它极其困难。 大约 1953 年，在麻省理工学院，几何学家沃伦·安布罗斯被这位年轻同事的傲慢激怒，向纳什挑战：既然这么厉害，那就把这个问题解决了。纳什接受了赌约。 一个例子：圆柱 我们用一个简单的情形来看看等距嵌入是什么意思。平面上的一条带子有坐标 $(u,v)$ 和普通的度量 $ds^2=du^2+dv^2$：位移为 $du$ 和 $dv$ 的一小段曲线长度为 $\sqrt{du^2+dv^2}$。把带子卷成半径为 $R$ 的圆柱： $$F(u,v)=\left(R\cos\frac uR,\ R\sin\frac uR,\ v\right).$$导数是 $$F_u=\left(-\sin\frac uR,\ \cos\frac uR,\ 0\right),\qquad F_v=(0,0,1),$$内积为 $$F_u\cdot F_u=1,\qquad F_v\cdot F_v=1,\qquad F_u\cdot F_v=0.$$所以在圆柱上 $ds^2=du^2+dv^2$，与带子上完全一样。卷起来是等距的：在曲面上爬行的蚂蚁察觉不到任何差别。但请注意：隔着圆柱相距很近的两点，沿曲面走可能相距很远。嵌入保持的是曲面上曲线的长度，而不是穿过空间的直线距离。 平坦环面 现在来看一个难的情形。拿一张正方形的纸，把上边和下边粘起来：它变成圆柱。再把圆柱两端粘起来：它变成甜甜圈，即环面。如果用真的纸来做，纸会起皱：普通的甜甜圈外侧曲率为正，内侧为负。由平坦正方形做成、保留正方形度量的环面叫做平坦环面，一个经典定理说，它不能被光滑地、无失真地画进三维空间。它可以无失真地放进四维空间，但放不进三维。 纳什证明了什么 1954 年，纳什发表了一个惊人的结果：如果嵌入只需要一阶光滑，也就是每一点都有确定的切面、但不一定有曲率，那么任何曲面都能等距地放进三维空间。荷兰人尼古拉斯·凯珀在 1955 年完善了这个论证。根据纳什–凯珀定理，就连平坦环面也能放进普通空间。代价是一个极其古怪的曲面，布满了褶皱叠褶皱，尺度越来越小，像分形一样。 平坦环面在三维空间中的一个等距嵌入，由 Hevea 项目在 2012 年计算得出。曲面上布满了越来越小的褶皱叠褶皱；这里显示的是前三层。Hevea 项目，Romainbehar 上传 · Wikimedia Commons · CC0 1956 年，纳什发表了安布罗斯所提出的情形，即完全光滑的嵌入：每个黎曼流形都可以等距地放进维数足够高的欧几里得空间。为此他发明了一种求解方程的新技术，一种逐次逼近的方法，每一步都修正上一步损失的光滑性。这种技术后来由于尔根·莫泽改进，被称为纳什–莫泽方法，今天被用于天体力学以及与几何毫无关系的微分方程问题。 一张揉皱的纸 纳什–凯珀定理有一个听起来荒谬的推论：一张平的纸可以不拉伸地放进一个任意小的球里，只要允许无限细的褶皱。2012 年，一个法国团队，即 Hevea 项目，首次计算出平坦环面的这样一个嵌入，并制作了展示它模样的图像。

October 14, 2026 阅读