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积分号 ∫：从求和到累积

1675 年 10 月 29 日，莱布尼茨在巴黎研究一个面积问题。在此之前，他沿用意大利人卡瓦列里的做法，写 omn.（拉丁文 omnia“全部”的缩写）来表示一个图形中所有线段之和。写到页面中间时，他写道： 用 ∫ 代替 omn. 会很有用。 — 莱布尼茨，1675 年 10 月 29 日手稿 符号 $\int$ 是一个拉长的 S，取自 summa，即“和”。在当时的手写中，长 s 是一个普通字母。从那以后，这个符号再也没有被取代。 把薄片加起来 莱布尼茨的想法是把一个区域切成极细的竖直薄片。每片几乎是一个高为 $y$、宽为 $dx$ 的矩形，面积为 $y\,dx$。总面积就是所有薄片之和： $$\int y\,dx.$$这个符号一下子说明了一切：把高（$y$）乘以微小的宽（$dx$）全部加起来（$\int$）。求和的上下限写在上方和下方：$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 就是从 $x=a$ 到 $x=b$ 所有薄片之和。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 谁起了“积分”这个名字？ 莱布尼茨把他的发明称为 calculus summatorius，即“求和的计算”。积分（integral）一词出现在雅各布·伯努利 1690 年的一篇论文中。莱布尼茨和约翰·伯努利讨论过该用哪个名字，最后同意用“积分”，但符号仍然是莱布尼茨的 S。 把差加起来，得到总量 还记得传记中惠更斯给莱布尼茨出的那道题吗？在那里，一串差之和几乎全部抵消： $$(F_1-F_0)+(F_2-F_1)+(F_3-F_2)+\cdots+(F_n-F_{n-1})=F_n-F_0.$$把一个量的所有微小变化加起来，剩下的只有总变化：终值减初值。莱布尼茨意识到，对于无穷小的差，情况也一样。如果 $dF=f(x)\,dx$，那么 $$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b dF=F(b)-F(a).$$换句话说，$\int$ 和 $d$ 互相抵消，就像加法和减法。这就是微积分基本定理，以最简短的方式写了出来。牛顿则沿着流数的道路得到了同样的结论。 例子：抛物线下的面积 求 $y=x^2$ 在 $0$ 与 $3$ 之间的面积，我们要找满足 $dF=x^2\,dx$ 的 $F$。由于 $d\!\left(\frac{x^3}{3}\right)=x^2\,dx$：

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面积与积分：流数的逆运算

测量曲边图形的面积是数学中最古老的问题之一。大约公元前 250 年，阿基米德证明了抛物线弓形的面积是其内接三角形面积的 $\frac43$。这是天才之举，但它是“量身定做”的：每遇到一条新曲线，就需要一个新想法。 到了 17 世纪，费马、卡瓦列里、沃利斯等人已经能对许多 $n$ 值计算 $y=x^n$ 下的面积。所缺的是一条普遍法则；所缺的，还有牛顿和莱布尼茨各自领悟到的一点：求面积与求变化率是互逆运算。 面积是一个会增长的量 设想曲线 $y=f(x)$ 下方从 $0$ 到某点 $x$ 的面积，记作 $A(x)$。把右边界从 $x$ 推到 $x+h$，面积就多出一条细窄的条带。 这条带几乎是一个高为 $f(x)$、宽为 $h$ 的矩形。所以 $$A(x+h)-A(x)\approx f(x)\cdot h\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{A(x+h)-A(x)}{h}\approx f(x).$$条带越细，近似越好。取极限： $$A'(x)=f(x).$$用牛顿的语言说：面积的流数就是曲线的高度。面积增长的速度恰好由高度给出。要求面积，只需找到一个流数为 $f$ 的函数，也就是反方向走一遍。 严格地说，我们把条带夹在两个矩形之间：一个取 $f$ 在该区间上的最小高度，另一个取最大高度。若 $f$ 连续，当 $h\to0$ 时这两个高度都趋于 $f(x)$，条带便被夹在中间。 《分析》中的法则 1669 年，牛顿写了一篇名为《分析》（De analysi）的短论。其中第一条法则用今天的记号来说就是：$y=ax^{m/n}$ 下方从 $0$ 到 $x$ 的面积为 $$\frac{an}{m+n}\,x^{(m+n)/n}.$$看起来复杂，其实就是你熟悉的法则：$x^k$ 下方的面积是 $\dfrac{x^{k+1}}{k+1}$。例如，$y=x^2$ 在 $0$ 与 $2$ 之间： $$\int_0^2 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8}{3}.$$阿基米德需要一整套证明才能得到这个数，有了这条法则，只要一行。 作为面积的对数 把这条法则与广义二项式结合起来，牛顿算出了别人不会算的面积。双曲线 $y=\dfrac{1}{1+x}$ 可以化为幂的和： $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$$接下来只需逐项求每个幂下的面积： $$\int_0^x\frac{dt}{1+t}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$这块面积就是自然对数 $\ln(1+x)$。取 $x=0.1$，四项给出 $0.0953083$，正确值是 $0.0953102$。

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从穷竭法到积分：Σ、∫ 与圆周率 π

算长方形的面积很容易：底乘高。三角形也不难：那个积的一半。麻烦从图形是弯曲的时候开始。用小正方形铺满一个圆，总会多出或缺少一块。两千年来，数学家们一直用同一个想法对付这个问题：用越来越小的直线图形去逼近曲线。变的是书写这个想法的方式。 阿基米德围住了圆 大约公元前 250 年，在叙拉古，阿基米德在一个圆里画了一个六边形，又在圆外画了一个六边形。圆周长介于两个六边形的周长之间。然后他把边数加倍：$12$、$24$、$48$、$96$。用 96 边形，他得到 $$3\tfrac{10}{71}<\pi<3\tfrac17,$$也就是 $3.1408\ldots<\pi<3.1428\ldots$ 这种方法被十七世纪的数学家称为穷竭法，它把曲线图形与直线图形之间的差“穷竭”掉。这是一种极限的思想，比“极限”这个词早了两千年。但阿基米德没有一种书写来表达它：每个问题都需要一个新的论证，用句子和图形写成，而通向无穷的那一步，则用双重反证法回避掉了。 所罗门王的铜海 《圣经》描述了所罗门圣殿里一个巨大的铜盆：“他又铸一个铜海，样式是圆的，高五肘，径十肘，围三十肘”（列王纪上 7:23）。直径 $10$，周长 $30$：$\pi$ 等于 $3$。本站早期的文章讨论过这个测量是否有误。这个数字有不错的解释：盆沿有厚度，绳子可能绕在沿的里面，而且尺寸是取整的。对需要订购青铜的人来说，$3$ 是一个完全够用的 $\pi$。 给这个数一个名字 几个世纪里，圆周与直径之比都没有符号，只能用文字描述：“乘以直径就得到圆周的那个量”。1706 年，威尔士教师威廉·琼斯用了希腊字母 $\pi$，它是 periphéreia（周边、一圈）的首字母。欧拉在他的书里采用了这个字母，它便成了标准。有了名字，这个数的地位就变了：它不再是两段长度之间的关系，而成了一个可以相加、平方、放进公式（比如 $A=\pi r^2$）的对象。 开普勒与酒桶 1613 年，约翰内斯·开普勒第二次结婚，为婚礼买了酒。酒商量酒桶容积的方法是：把一根量杆从桶口插到对面的角落，读出被酒浸湿的长度。已经发现行星运动定律的开普勒觉得这个方法可疑：形状不同的酒桶可能对角线相同而容积不同。1615 年，他出版了《酒桶的新立体几何》（Nova stereometria doliorum vinariorum），把酒桶切成极薄的薄片，再把它们的体积加起来。 二十年后，意大利人博纳文图拉·卡瓦列里用不可分量把这个想法系统化：平面图形由无穷多条线组成，立体由无穷多个面组成。这个方法强大而危险。把无穷多个厚度为零的东西加起来，得到的是什么？ 变成积分的和 答案随莱布尼茨而来，而它首先是一个书写上的答案。把曲线 $y=f(x)$ 下方、$a$ 与 $b$ 之间的区域切成 $n$ 个宽为 $\Delta x$ 的长方形。近似面积是 $$A\approx f(x_1)\,\Delta x+f(x_2)\,\Delta x+\cdots+f(x_n)\,\Delta x=\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$长方形越细，近似越好。取极限，当宽度趋于零时，和就变成 $$A=\int_a^b f(x)\,dx.$$把两个公式并排看。结构是一样的：一个求和号，一个高度 $f$，一个宽度。变的是字母。希腊字母 $\Sigma$，即“和”（sum）的 S，变成了拉丁的 $\int$，也是一个 S，只是拉长了。希腊字母 $\Delta$，即“差”（difference）的 D，变成了拉丁的 $d$。希腊字母标记有限，拉丁字母标记无穷小，而从一个世界到另一个世界的过渡，就画在字母表的更换之中。本站早期的文章称之为 mirabilis abbreviatio：积分的写法记得它从哪里来。看着 $\int f(x)\,dx$ 的人，仍然能看到高为 $f(x)$、宽为 $dx$ 的长方形。

October 13, 2026 阅读