统计 | Euler's Eyes

卡尔·弗里德里希·高斯的一生

时间轴 1777出生于 30 四月，出生于布伦瑞克，是一位园丁和瓦匠的儿子。 1786大约 9 年，1 到 100 在学校的总和（以秒为单位）。 1791卡尔·威廉·斐迪南公爵开始支付他的学费。 1795进入哥廷根大学。 17963 月 30，探索如何构造边长为 17 的正多边形。开始你的数学日记。 1799获得赫尔姆施泰特博士学位，证明了代数基本定理。 1801发表Disquisitiones Arithmeticae并计算矮行星谷神星的轨道。 1807他成为哥廷根天文台台长，直至去世。 1809使用最小二乘法和正态曲线发布Theoria motus。 1818开始用三角形测量汉诺威王国。在1821中他发明了天芥菜。 1827发布关于曲面曲率的Theorema Egregium。 1833他与威廉·韦伯一起安装了最早的电报机之一。 1855于二月 23 于哥廷根去世。 ◀ 上一站沿路线走一遍下一站 ▶ 1777–1795 不伦瑞克他是园丁兼泥瓦匠的儿子，在学校几秒钟就算出 1 到 100 的和。卡尔·威廉·斐迪南公爵开始资助他的学业。 1795–1798 哥廷根在大学读书。1796 年 3 月 30 日，他发现了正十七边形的作法，并开始写数学日记。 1799 黑尔姆施泰特以代数基本定理的证明获得博士学位。 1799–1807 不伦瑞克出版《算术研究》（1801），算出谷神星的轨道。在这里收到“勒布朗先生”的来信。 1807–1855 哥廷根天文台主持天文台近五十年。用三角测量汉诺威王国，发表绝妙定理，并与韦伯一起建造电报。1855 年去世。请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。高斯几乎不旅行，一生都在不伦瑞克和哥廷根之间方圆一百公里内度过。地图：© OpenStreetMap 贡献者

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1 到 100 之和

高斯最著名的故事发生在他大约 9 岁的时候。为了让课堂忙碌起来， Büttner 教授告诉学生将 1 到 100 之间的所有数字相加。几秒钟后，高斯将黑板放在桌子上，并写上正确答案：5050。（这个故事是由第一位传记作者讲述的高斯的值，帐户中的确切数字可能有所不同，但想法是相同的。）诀窍：将第一个与最后一个结合，第二个与倒数第二个结合，依此类推。 $$\begin{aligned} S &= 1 + 2 + 3 + \cdots + 98 + 99 + 100 \\ S &= 100 + 99 + 98 + \cdots + 3 + 2 + 1 \\ 2S &= \underbrace{101 + 101 + 101 + \cdots + 101 + 101 + 101}_{100 \text{ vezes}} = 10\,100 \\ S &= 5050. \end{aligned}$$ 对于任何 $n$，同样的想法给出

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17 边多边形

自希腊人以来，人们就知道如何用尺子和圆规构造边长为 3、4、5 和 15 的正多边形，并且所有这些都使边数加倍（6、8、10、12…）。 2000 年以来，没有人发现另一个。高斯表明，构建 $n$ 边多边形与计算 $\cos\frac{2\pi}{n}$ 相同仅整数、四种运算和平方根。尺子和指南针知道如何扎根正方形：这正是我们在本章中看到的结构 [笛卡尔](/cn/posts/historia/descartes/）。对于 17 边，他达到了 $$\begin{aligned} \cos\frac{2\pi}{17} = {} & \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{16} \\ & + \frac{1}{8}\sqrt{17 + 3\sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}} - 2\sqrt{34 + 2\sqrt{17}}} \\ \approx {} & 0{,}93247. \end{aligned}$$ 它只有平方根，一个在另一个里面。因此，可以构造边长为17的多边形。规则是什么？高斯发现，当$n$是一个多边形时，可以构造$n$边的多边形。 2 乘以不同费马素数的幂：$2^{2^k} + 1$ 形式的素数，它们是 3、5、17、257 和 65 537。这些与本章中的费马数相同 [欧拉](/cn/posts/historia/euler/），这表明下一个 $2^{32}+1$ 不是素数。在1837中，皮埃尔·旺策尔证明了无法构造其他多边形。选择边数。绿色：你可以用尺子和圆规建造它。红：没办法。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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时钟运算

如果现在是 15 小时，那么 10 小时后会是几点？不是“25 h”，而是1 am：在时钟上， 24 之后，计数再次开始。高斯在Disquisitiones中给这个想法起了一个名字和符号： $$25 \equiv 1 \pmod{24}$$ 它显示“25 与 1 一致，以 24 为模”：除以 24 时，两者留下相同的余数。符号 $\equiv$ 的工作方式几乎类似于等号：您可以在两边进行加法和乘法。应用：九局。作为 $10 = 9 + 1$，我们有 $10 \equiv 1 \pmod 9$，然后 $100 \equiv 1$、$1000 \equiv 1$ 等等。这就是为什么：为什么九出局有效（点击下一步）以小数位写入数字：$4528 = 4 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 8$。将10的每一次幂替换为1，除以9时具有相同的余数：$4528 \equiv 4 + 5 + 2 + 8 = 19 \pmod 9$。重复 19: $19 \equiv 1 + 9 = 10 \equiv 1 + 0 = 1 \pmod 9$。结论：4528除以9时留下余数1。检查：$4528 = 9 \cdot 503 + 1$。输入任意数字：重复数字之和，直到只剩下一位，得到除以 9 的余数。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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代数基本定理

高斯在其博士论文 1799 中证明了每个 $n$ 次多项式都有 $n$ 根，只要接受复数。例如，$x^2 + 1 = 0$没有真正的解决方案，但有两个复杂的解决方案： $$x^2 + 1 = (x - i)(x + i).$$ 高斯还推广了将复数绘制为平面上的点的方法，即平面复数：$a + bi$是点$(a, b)$。挪威人 Caspar Wessel (1797) 和瑞士人 Jean-Robert Argand (1806)有同样的想法，但几乎没有人读他们的作品；高斯的名声是从 1831，谁传播了这幅画。这就是为什么它也被称为Argand-Gauss 平面。然后就会出现与边为 17 的多边形的良好连接。的 $x^3 = 1$ 的三个根是 $$1, \qquad -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\,i, \qquad -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\,i,$$ 并且，在平面中，它们是半径为 1 的圆内切的等边三角形的顶点。相同的这样，$x^{17} = 1$的17根就是17边多边形的顶点。我研究了这个方程高斯到达了施工地点。请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。卡尔·弗里德里希·高斯的所有主题 · ← 时钟运算 · 计算素数→

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计算素数

欧拉证明了素数永远不会结束（见他的章节）。但有多少呢？ 15岁时，高斯他利用空闲时间数桌子上的堂兄弟姐妹，一次有一千个。你有没有注意到，接近一个数字 $x$, 或多或少各 1 个 $\ln x$ 数字是质数。因此估计：表兄弟姐妹的数量最多 $x$, 我们称之为 $\pi(x)$，类似于 $$\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x}, \qquad \text{ou melhor ainda,} \qquad \pi(x) \approx \text{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t}.$$ $x$ 表兄弟高达 $x$ $x / \ln x$ $\text{Li}(x)$ 100 25 21,7 29,1 1 000 168 144,8 176,6 10 000 1 229 1 085,7 1 245,1 100 000 9 592 8 685,9 9 628,8 1 000 000 78 498 72 382,4 78 626,1 计算机计算真实素数（蓝色）并将它们与高斯的估计进行比较。 x 越大，百分比误差越小。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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Ceres 和最小二乘法

1 月 1 日，1801，天文学家朱塞佩·皮亚齐 (Giuseppe Piazzi) 在巴勒莫发现了一个移动的小点在恒星中：它是谷神星，今天被归类为矮行星。皮亚齐陪伴了他41天，直到消失在阳光的照射下。由于观察如此之少，没有人知道如何计算轨道，而谷神星似乎永远失去了。高斯在24岁时创造了一种新方法，并在几周内计算出了轨道。在 31 的晚上 12 月 1801，天文学家弗朗兹·冯·扎克 (Franz von Zach) 将望远镜指向高斯指示的位置，结果就在那里谷神星。动画显示 1801 年：观察到谷神星，谷神星消失在太阳后面，并在该年的最后一天再次被发现。点击“高斯预测”即可查看计算出的轨道。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. Theoria motus corporum coelestium (1809)，高斯解释了该方法。公共领域部分秘密在于处理测量错误。每次观察都会有一个小误差。如果你测量同一件事多次发现不同的值，该选择哪个数字？高斯的答案：使误差平方和最小的数字$c$。有测量 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，总和是 $$S(c) = (x_1 - c)^2 + (x_2 - c)^2 + \cdots + (x_n - c)^2.$$ 打开正方形，$c$ 中出现一个二阶函数：

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正态曲线，高斯钟

如果测量误差是随机的，它们是如何分布的？在Theoria motus中，高斯从这个想法出发均值是最佳估计，并得出误差曲线的形状： $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}},$$ 其中 $\mu$ 是平均值，$\sigma$ 是标准差。这是正态曲线，或高斯钟形：高中等、对称，并且远离平均值越来越低。它出现在任何地方，从高处人们对机器的错误。观看钟声升起的一个美丽方式是高尔顿机，由弗朗西斯·高尔顿在1873发明。弹珠穿过钉子网格落下，在每个钉子上，它们以相同的方式向左或向右移动机会。大多数在中间附近结束，少数到达末端：扔下弹珠，观看高斯钟出现。只有几个球，一切都乱七八糟；有了数百个，形式就单独出现了。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 对于正态曲线，规则 68-95-99,7 适用：大约 68% 的值与平均值的标准差高达 1；大约 95% 最多相差 2 个标准差；大约 99,7% 最多相差 3 个标准差。不久之后，比利时人 Adolphe Quételet 使用正态曲线来研究人：身高、体重、出生、死亡和收入大致遵循高斯的钟声。 10 德国马克纸币 (1989–2001)：高斯、正态曲线和公式，位于哥廷根建筑物旁边。欧拉之眼系列钞票上的铃铛从1989到2001，10德国马克纸币上有高斯的脸、公式和曲线的绘制正常。值得一提的是，法国人Abraham de Moivre在1733中已经发现了这条曲线，但正是利用高斯的测量误差使她成名。另请参阅帖子统计概念. 卡尔·弗里德里希·高斯的所有主题 · ← Ceres 和最小二乘法 · Egregium 定理和曲率 →

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Egregium 定理和曲率

在测量汉诺威时，高斯对如何绘制弯曲地球的地图思考了很多。在 1827 中发表了他将结果称为Theorema Egregium，即“非凡定理”：表面的曲率可以由住在里面的人来衡量，而不是从外面去看。结果：在平面中，三角形的内角之和为 180°。在一个范围内，它们加起来达到更多。采取一个顶点位于北极，另外两个顶点位于赤道的三角形：赤道上的两个角都是直角。以 90° 为极点，三角形有三个直角：270°。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 赤道处的两个角度为 90°，因为经线与赤道成直角。添加杆的角度 $\alpha$： $$90° + 90° + \alpha = 180° + \alpha.$$ 任何高于 180° 的值都与三角形的面积成正比，表明该表面是弯曲的。这就是为什么没有完美的地球平面地图：距离、角度或面积总是存在扭曲。披萨技巧您是否注意到，为了吃一片披萨而不让披萨尖脱落，我们需要将披萨对折？这是 Egregium 定理的应用。切片开始时是平坦的（零曲率）并且不能在两个方向上弯曲同时。通过将其一侧弯曲，另一侧就会变硬，尖端就会停止脱落。高斯还意识到，可能存在欧几里得平行公设不存在的几何结构。值得的。但他没有发表任何内容：在一封来自1829的信中，他说他害怕“维奥蒂亚人的喊叫”，那些不这样做的人会明白的。非欧几里得几何最终由 Lobachevsky 和 János Bolyai 发表。卡尔·弗里德里希·高斯的所有主题 · ← 正态曲线，高斯钟 · 方程组：行列式和高斯消元法 → 图片来源和来源.

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方程组：行列式和高斯消元法

为了使用最小二乘法计算轨道，高斯需要求解方程组许多未知数。每个学生都知道的两个名字都来自这个故事：行列式和高斯消除。行列式。采用具有两个方程的系统： $$\begin{cases} a\,x + b\,y = e \\ c\,x + d\,y = f \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{e\,d - b\,f}{a\,d - b\,c}, \qquad y = \frac{a\,f - e\,c}{a\,d - b\,c}.$$ 这完全取决于分母中的数字 $ad - bc$：如果它不为零，则系统有一个解决方案。这个数字“决定”了系统。系统、数字 ad - cb 和斜杠符号。欧拉之眼系列两条线的规则：a11·a22 - a21·a22 = 行列式。欧拉之眼系列 Matrix，在拉丁语中，意思是子宫：产生某种东西的地方。欧拉之眼系列这个词首次出现在高斯的Disquisitiones中，在1801中。他称之为决定因素决定二级形式的属性的数字，$ax^2 + 2bxy + cy^2$。在1815中，法国人 Augustin-Louis Cauchy 采用了该术语并给予认可：

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高斯求积：两点积分

Quadratura circuli：用多边形近似圆的面积，这个思想导致了积分。欧拉之眼系列 “平方”是计算面积的旧名称。希腊人将圆的面积近似为边数越来越多的多边形，积分微积分诞生了。实际问题是：如何计算曲线下的面积做了很少的数学？最简单的方法是梯形规则：仅查看曲线的两端，$x = -1$ 和 $x = 1$，并且计算梯形的面积。在 1814 中，高斯问道：如果我可以选择去哪里看怎么办？与两个点 $\pm t$ 和权重等于 1，估计为 $$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx f(-t) + f(t).$$ 他希望公式能够完全匹配尽可能多的多项式：寻找高斯点（点击前进）对于 $f(x) = 1$：面积为 2，公式给出 $1 + 1 = 2$。 ✓ 适用于任何 $t$。对于 $f(x) = x$（和 $x^3$）：面积为 0，公式给出 $-t + t = 0$。 ✓ 每次都有效。对于 $f(x) = x^2$：面积为 $\frac{2}{3}$，公式给出 $t^2 + t^2 = 2t^2$。等式：$2t^2 = \frac{2}{3}$，然后是 $t^2 = \frac{1}{3}$ 和 $t = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$。结果：只需两个点，该规则就准确命中到 3 次的任何多项式。蓝色区域就是准确的区域。比较两个高度为 f(±1/√3) 的高斯矩形和仅查看两端的梯形。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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其他贡献和遗产

其他贡献 **物理学：**高斯电磁定律、地球磁性和高斯单位的研究。 **复数：**高斯整数、数字 $a + bi$ 与 $a$ 和 $b$ 整数。 **天文学和大地测量学：**行星和彗星的轨道、天芥菜和汉诺威测量。算法：一种计算复活节日期的方法，在 1805 的手稿中，是一种计算复活节日期的方法快速傅里叶变换，在 1965 中被重新发现，并在今天用于每部手机。要记住高斯出身于布伦瑞克的贫困家庭，师从一位公爵，并在哥廷根度过了一生。通过连接对从 1 添加到 100：$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$。在 18 年，他展示了如何仅使用平方根构造具有 17 条边的多边形。他创造了同余符号$a \equiv b \pmod n$，即时钟和九局的数学。他证明了每个 $n$ 次多项式都有 $n$ 复根。估计素数数量：$\pi(x) \approx x / \ln x$。他用最小二乘法重新发现了谷神星，这说明了为什么平均值是最佳估计。他给正态曲线起了个名字：高斯钟形曲线。他证明曲率可以从表面内部测量：这就是为什么没有完美的平面地图。他命名了行列式并组织了求解方程组的消元法。通过精心选择的两个点 $\pm 1/\sqrt{3}$，他计算了直到 3 次的多项式的精确积分。卡尔·弗里德里希·高斯的所有主题 · ← 高斯求积：两点积分 · 图片来源 → 图片来源和来源.

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