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雅各布·伯努利的一生

年表 16551 月 6 日生于巴塞尔，一个香料商人家庭。 1671获得哲学硕士学位。遵从父亲的意愿，继续攻读神学。 1676完成神学学业，开始游历。在日内瓦教一位盲人女孩数学。 1681访问英国，结识罗伯特·玻意耳和罗伯特·胡克。撰文讨论 1680 年的大彗星。 1683回到巴塞尔，讲授实验物理，研究复利问题。 1684与朱迪特·斯图帕努斯结婚。开始阅读莱布尼茨关于微积分的论文。 1687成为巴塞尔大学数学教授，一直任职到去世。 1689发表关于无穷级数的第一篇论文，其中讨论了调和级数。 1690解决等时曲线问题，第一次使用 integral（积分）一词。 1694描述双纽线。 1697因最速降线问题与弟弟约翰公开决裂。 17058 月 16 日在巴塞尔去世，《猜度术》尚未完成。 1713侄子尼古劳斯出版《猜度术》。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1655–1676 巴塞尔生于香料商人家庭。遵父命学神学，自己偷偷学数学。 1676 日内瓦担任盲女伊丽莎白·冯·瓦尔德基希的家庭教师，教她读书、写字和一点数学。 1677–1680 法国研究笛卡尔和马勒伯朗士的哲学。 1681 荷兰结识新实验哲学的科学家们。 1681 英格兰结识罗伯特·玻意耳和罗伯特·胡克，写了一本关于 1680 年大彗星的小书。 1683–1705 巴塞尔回到家乡，自学莱布尼茨的微积分，在大学任教直到 1705 年去世。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 雅各布·伯努利的游学岁月：从巴塞尔到英格兰，再回到巴塞尔。 地图：© OpenStreetMap 贡献者 1655–1676 · 巴塞尔1676 · 日内瓦1677–1680 · 法国1681 · 荷兰1681 · 英格兰1683–1705 · 巴塞尔 雅各布·伯努利的游学岁月：从巴塞尔到英格兰，再回到巴塞尔。 一个商人家庭 伯努利家族原是安特卫普的新教徒，十六世纪末为躲避西班牙的迫害而出逃，最后落脚在瑞士的巴塞尔，靠经营香料发了家。雅各布的父亲尼古劳斯·伯努利是商人，也是市议会议员。他对儿子们早有安排：长子当牧师，小儿子约翰经商。

October 14, 2026 阅读
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布莱兹·帕斯卡的一生

年表 16236 月 19 日生于法国奥弗涅地区的克莱蒙。 1626母亲安托瓦妮特·贝贡去世，布莱兹 3 岁。 1631父亲艾蒂安·帕斯卡带着三个孩子迁居巴黎。 163512 岁时，独自重新发现三角形内角和等于两个直角。 164016 岁时，发表《圆锥曲线论》，其中有六边形定理。 1642为帮助在鲁昂任税务官的父亲，开始制造计算机。 1647发表《关于真空的新实验》。笛卡儿前来拜访。 1648姐夫弗洛林·佩里耶登上多姆山，测出了空气的重量。 1654与费马通信讨论赌博问题，写成《算术三角形论》。11 月 23 日经历了“火之夜”。 1656开始以化名发表《致外省人信札》。 1658解决摆线的一系列问题，并就此发起一场竞赛。 1662在巴黎开通一条公共马车线路。8 月 19 日去世，终年 39 岁。 1670朋友们根据他的笔记整理出版《思想录》。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1623–1631 克莱蒙生于奥弗涅的克莱蒙。三岁时母亲去世。 1631–1639 巴黎父亲在家教育他，并带他参加梅森的聚会。16 岁写出《圆锥曲线论》。 1640–1647 鲁昂父亲在诺曼底任税务官。为了帮助父亲，布莱兹制造了帕斯卡计算器，并做了真空实验。 1648 多姆山应帕斯卡之请，他的姐夫弗洛兰·佩里耶带着气压计登上此山，证明山顶的空气更轻。 1647–1662 巴黎与费马讨论赌博的通信、火之夜、《致外省人信札》、摆线和公共马车。1662 年去世，年仅 39 岁。 1655 田野波尔罗亚尔修道院火之夜之后，他多次到妹妹雅克琳所在的修道院小住，并为波尔罗亚尔辩护，反对耶稣会。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 帕斯卡在克莱蒙、巴黎和鲁昂之间，以及称出空气重量的那座山。 地图：© OpenStreetMap 贡献者 1623–1631 · 克莱蒙1631–1639 · 巴黎1640–1647 · 鲁昂1648 · 多姆山1647–1662 · 巴黎1655 · 田野波尔罗亚尔修道院 帕斯卡在克莱蒙、巴黎和鲁昂之间，以及称出空气重量的那座山。 布莱兹·帕斯卡的肖像，作者不详，约作于 1690 年，现藏凡尔赛宫。这是他去世后绘制的摹本。作者不详 · Wikimedia Commons · 公有领域 一个把几何书藏起来的父亲 布莱兹·帕斯卡 1623 年生于法国中部的克莱蒙。他 3 岁时母亲去世。父亲艾蒂安是一位喜爱数学的法官，决定亲自教育三个孩子：吉尔贝特、布莱兹和雅克琳。1631 年，全家搬到了巴黎。

October 11, 2026 阅读
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永不停止的利息与数 e

想象一家慷慨的银行，年利率 100%。你一月存入 1 元，到十二月就有 2 元。现在银行换个方式：不在年底一次付 100%，而是每半年付 50%，上半年的利息在下半年也能生息。这样划算吗？如果每月付、每天付、每秒付呢？能变得无限富有吗？ 这正是雅各布·伯努利在 1683 年前后问自己的问题，他在 1690 年把它发表在《学者学报》上。它看上去像记账，答案却是数学中最重要的数之一。 算一算 如果把一年分成 $n$ 个相等的时段，每个时段付 $\frac{100\%}{n}$，也就是余额乘以 $1+\frac1n$。经过 $n$ 个时段后，1 元变成 $$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n.$$分两个时段，$a_2=1.5^2=2.25$，比 2 多。时段越多，结果越好： 付息方式 $n$ 年末余额 一次 1 2.000000 每半年 2 2.250000 每季度 4 2.441406 每月 12 2.613035 每天 365 2.714567 每小时 8 760 2.718127 余额在增长，但增长得越来越少。从按月付息改成按天付息，只多出大约一角钱；从按天改成按小时，还不到半分钱。余额似乎在逼近 $2.718$ 附近的一个上限。 为什么有上限 伯努利还没有今天意义上的"极限"一词，但他有 牛顿二项式。展开 $a_n$： $$a_n=1+n\cdot\frac1n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac1{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}\cdot\frac1{n^3}+\cdots$$把每一项整理一下， $$\begin{aligned}a_n={}&1+1+\frac1{2!}\left(1-\frac1n\right)\\&+\frac1{3!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)+\cdots\end{aligned}$$当 $n$ 增大时发生两件事。括号 $\left(1-\frac kn\right)$ 越来越接近 1，所以每一项都在 变大；同时又出现新的项，而且都是正的。因此 $a_n$ 只增不减。另一方面，每个括号都小于 1，所以 $$a_n<1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\frac1{4!}+\cdots$$而这个和很容易控制：因为 $3!=6>4$，$4!=24>8$，一般地 $k!\geq 2^{k-1}$， $$a_n<1+\left(1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots\right)=1+2=3.$$伯努利得出的正是这个结论：余额一直上升，但 始终介于 2 和 3 之间。不管银行把一年分得多细，1 元永远变不成 3 元。一个只增不减又越不过上限的数列，一定会趋近某个值：

October 14, 2026 阅读
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帕斯卡三角形：用加法搭起来

写一个 $1$。在它下面写两个 $1$。从此以后，每一行都以 $1$ 开头、以 $1$ 结尾，中间的每个数都是它正上方两个数之和： $$\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&1&&1&&&&\\ &&&1&&2&&1&&&\\ &&1&&3&&3&&1&&\\ &1&&4&&6&&4&&1&\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}$$就这么简单。一条孩子一分钟就能学会的规则，造出了数学中内容最丰富的数表之一。今天它被称为帕斯卡三角形，在中国叫作杨辉三角。而帕斯卡其实是最后一批发现它的人之一。 一个有许多主人的三角形 在印度，大约公元前 2 世纪，诗人宾伽罗在计算一行诗中长短音节的组合方式时，得到了同样的数。10 世纪，注释家哈拉尤达画出了这张表，称它为 Meru-prastara，意思是“须弥山的阶梯”。 在巴格达，大约公元 1000 年，卡拉吉用这个三角形展开像 $(a+b)^5$ 这样的乘方。他的书失传了，但一个半世纪之后，大约在 1150 年，萨马瓦尔抄录了这张表和推理过程，并注明出自卡拉吉。在波斯，这个三角形也和诗人兼数学家欧玛尔·海亚姆联系在一起。 在中国，贾宪大约在 1050 年用它来开方。杨辉在 1261 年把它收入书中，朱世杰又在 1303 年的《四元玉鉴》中画出了它，数字用算筹写成。 朱世杰 1303 年著作中的三角形。在中国，它被称为杨辉三角或贾宪三角。朱世杰，《四元玉鉴》（1303） · Wikimedia Commons · 公有领域 在欧洲，这个三角形于 1527 年首次印在彼得鲁斯·阿皮亚努斯一本算术书的封面上。之后，米夏埃尔·施蒂费尔在 1544 年、尼科洛·塔尔塔利亚在 1556 年都用过它。直到今天，它在意大利叫塔尔塔利亚三角形，在伊朗叫海亚姆三角形，在中国叫杨辉三角。 帕斯卡的论文 1654 年，帕斯卡在和费马讨论赌注问题的同时，写成了《算术三角形论》，有法文和拉丁文两个版本。论文是这样开头的： 算术三角形这样构造：从任意一点 Z 画两条互相垂直的直线 ZL 和 ZT，在每条直线上标出任意多个相等的部分。 — 布莱兹·帕斯卡，《算术三角形》（1654） 这篇论文拉丁文版的第一页，这是已知的唯一一份，收藏在帕斯卡的故乡克莱蒙费朗。Clermont Auvergne Métropole · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 帕斯卡的三角形其实是一张阶梯形的方格表。他把每个小方格叫作单元格，把行叫作平行列，把列叫作垂直列，把对角线叫作底。每个单元格等于它上方的格子加上它左边的格子，这和我们今天用的规则是一样的，只是转了个方向。

October 11, 2026 阅读
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调和级数与一份求助

正如无穷级数被有限的和所包含，在无界之中可以辨认出界限，无垠的灵魂也栖居于微小之中，而在最狭窄的界限里并无界限。 — 雅各布·伯努利，《无穷级数论》（1689） 1689 年到 1704 年间，雅各布·伯努利在巴塞尔发表了五篇关于 无穷级数 的论文，也就是有无穷多项的和。这是一个新颖而危险的题目。有些这样的和会得到一个数，例如 $$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.$$另一些则不停地增长。难就难在判断每个和属于哪一类，因为常识会骗人。 调和级数 考虑正整数倒数之和： $$1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\cdots$$音乐家称它为 调和 级数，因为 $\frac12,\frac13,\frac14,\dots$ 正是产生一个音的各个泛音的弦长。各项越来越小，趋于零。直觉告诉我们，这个和应该停在某处。可是它增长得太慢，让人看不出端倪： 项数 近似和 10 2.93 1 000 7.49 1 000 000 14.39 $10^{43}$ 100.0 要超过 $10^{43}$ 项才能达到 100。即便如此，雅各布证明了这个和会超过 任何 数。 雅各布的证明 他把级数分成以平方数结尾的若干段。取一个数 $a$，以及从 $\frac1a$ 到 $\frac1{a^2}$ 的各项。把 $\frac1a$ 放在一边，剩下 $a^2-a$ 项，每一项都至少是其中最小的 $\frac1{a^2}$。于是 $$\frac1a+\left(\frac1{a+1}+\cdots+\frac1{a^2}\right)\geq\frac1a+\frac{a^2-a}{a^2}=\frac1a+1-\frac1a=1.$$每一段都至少等于 1。接下来只要把它们一段段接起来：从 $\frac12$ 到 $\frac14$，从 $\frac15$ 到 $\frac1{25}$，从 $\frac1{26}$ 到 $\frac1{676}$，依此类推： $$1+\underbrace{\frac12+\frac13+\frac14}_{\geq1}+\underbrace{\frac15+\cdots+\frac1{25}}_{\geq1}+\underbrace{\frac1{26}+\cdots+\frac1{676}}_{\geq1}+\cdots$$段数无穷多，每段至少为 1，所以和会超过任何数。它 发散。 雅各布承认弟弟约翰比他更早找到了另一种证明，并把它发表在同一篇论文里。兄弟俩都不知道，法国人尼古拉·奥雷斯姆早在 1350 年前后就做过同样的事，他把各项分成 1、2、4、8……项一组。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。

October 14, 2026 阅读
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组合：不用列举也能计数

在巴西的 Mega-Sena 彩票中，你要从 60 个号码里选 6 个。一共有多少种不同的选法？要全部列出来得花上一辈子：超过五千万种。但我们可以不列举也能计数，帕斯卡就展示了怎么做。 不计顺序地选取 先从一个小例子开始：从 5 个人中选 2 个人组成委员会，有多少种选法？ 如果顺序有关系，第一个人有 $5$ 种选择，第二个人有 $4$ 种：$5\cdot4=20$。但在委员会里，“安娜和布鲁诺”与“布鲁诺和安娜”是一样的，每一对都被算了两次。所以委员会共有 $20/2=10$ 种。 一般地，从 $n$ 个东西中不计顺序地选出 $k$ 个，方法数是 $$\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},$$其中 $n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1$。读作“从 $n$ 中取 $k$ 的组合数”。对于那个委员会，$\binom52=\frac{120}{2\cdot6}=10$。 为什么它们就是三角形里的数 帕斯卡注意到，$\binom nk$ 恰好就是算术三角形中的数 $C(n,k)$。原因是同一条加法规则。 在这群人中挑出一个人，比如安娜。从 $n$ 个人中选出的每个 $k$ 人委员会，要么包含安娜，要么不包含。如果包含，就还要从其余 $n-1$ 人中选 $k-1$ 个；如果不包含，这 $k$ 个人就全部来自其余的 $n-1$ 人。所以 $$\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},$$这正是三角形的规则。两者的边上都是同样的 $1$，又遵守同样的规则，所以它们是同一张表。 Mega-Sena 现在大数目的计算就容易了： $$\binom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=50\,063\,860.$$买一注的中奖机会是五千多万分之一。如果你每周买一注，平均要等将近一百万年才能中一次。 和的乘方 同样的推理解释了三角形的另一次出场。把 $$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$$乘开时，结果中的每一项都是从三个括号里各取 $a$ 或 $b$ 得到的。要得到 $a^2b$，必须恰好在三个括号中的一个里取 $b$：有 $\binom31=3$ 种取法。因此 $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$一般地， $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k.$$取 $a=b=1$，左边就是 $2^n$：又是第 $n$ 行的和。这个公式适用于整数指数。十年后，牛顿发现了指数为分数时会怎样：见广义二项式。

October 11, 2026 阅读
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奇妙的螺线与双纽线

有了莱布尼茨的微积分，伯努利兄弟开始四处"猎取"曲线。对每一条曲线，他们都要问：切线是什么，长度是多少，面积是多少，曲率是多少？其中许多曲线从古希腊起就为人所知，但直到这时，这些问题才能用一条普遍的规则来回答。有两条曲线从此永远带上了雅各布的名字。 形状不变的螺线 笛卡儿和托里拆利已经研究过 对数 螺线。在极坐标中，每个点由它到中心的距离 $r$ 和角度 $\theta$ 确定，这条螺线是 $$r=a\,e^{b\theta}.$$每转一整圈，角度增加 $2\pi$，半径总是乘以同一个因子 $e^{2\pi b}$。所以各圈之间不是等距的：每一圈都按同样的比例比前一圈大。 由此得出让雅各布着迷的性质：把螺线 旋转 一个角度 $\alpha$，效果与把它 放大 $e^{b\alpha}$ 倍相同。如果把这条螺线的照片放大，得到的还是同一条螺线，只是转了一下。它在任何尺度下都与自身相同。 左边是雅各布要求刻在墓碑上的对数螺线：每一圈都比前一圈宽。右边是石匠刻下的阿基米德螺线：各圈间距相等。Euler’s Eyes 绘图 不变的角 在螺线上的一点，从中心出发的半径与曲线的切线成一个角 $\psi$。当角 $\theta$ 增加一点点 $d\theta$ 时，这个点在垂直于半径的方向上移动 $r\,d\theta$，沿半径方向移动 $dr$。所以 $$\tan\psi=\frac{r\,d\theta}{dr}=\frac{r}{dr/d\theta}=\frac{r}{b\,r}=\frac1b.$$$r$ 被约掉了：这个角在 所有 点上都一样。所以这条曲线也叫 等角螺线。一只昆虫如果始终与灯保持固定的角度飞行，就像人们说飞蛾对月亮那样，它就会画出这样一条螺线，最后撞到灯上。 雅各布还发现了更多。由螺线各点曲率中心构成的曲线，是另一条与原来相同的对数螺线。从中心发出、经螺线反射的光线，又形成一条相同的螺线。无论从哪里看，这条曲线都会以同样的样子重生。他称之为 spira mirabilis，奇妙的螺线。 鹦鹉螺壳的剖面。每转一圈，腔室几乎按同样的比例增大，形状接近对数螺线。Florian Elias Rieser · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 大自然出于同样的原因偏爱这条曲线。像鹦鹉螺这样一层层生长而形状不变的动物，会长出对数螺线形的壳。许多星系的旋臂和飓风的云带也呈现类似的形状。 Eadem mutata resurgo 雅各布把这条螺线看作复活的象征：身体会变，人却复生如故。所以他要求把它刻在墓碑上，配上座右铭 Eadem mutata resurgo，“虽经变化，我复生如故”。石匠刻成了阿基米德螺线，而它没有这个性质：放大后各圈间距变大，曲线就变了。这块刻错的墓碑至今还在巴塞尔大教堂。 双纽线：横躺的 8 字 1694 年，雅各布在《学者学报》的一篇文章里提出了一条新曲线。取两个定点，即 焦点 $F_1=(-c,0)$ 和 $F_2=(c,0)$。椭圆上的点到两焦点距离之 和 为常数。雅各布把和换成了 积：

October 14, 2026 阅读
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德·梅雷骑士的骰子与公平的分配

安托万·贡博自称德·梅雷骑士，是法国宫廷里的一位作家，也是一个狂热的赌徒。大约在 1654 年，他向帕斯卡提出了两个关于赌注的问题。帕斯卡觉得这两个问题非常好，就写信给皮埃尔·德·费马，概率论就从这些信中诞生了。 谈到这位朋友，帕斯卡对费马说： 他很有头脑，但不是几何学家；而您知道，这是一个很大的缺点。 — 布莱兹·帕斯卡，致费马的信（1654 年 7 月 29 日） 第一个问题：一个六点和两个六点 德·梅雷知道一种有利可图的赌法：把一颗骰子掷 4 次，赌至少出现一次六点。他赢的次数比输的多。 于是他推想：用两颗骰子时，同时出现两个六点比一颗骰子出现六点要少见 6 倍。为了弥补，只要多掷 6 倍就行：$4\cdot6=24$ 次。“两颗骰子掷 24 次，至少出现一次双六”这个赌法，应该和第一个一样好。 结果并非如此。德·梅雷输了钱，却不明白为什么。 正确的算法要从反面入手。一颗骰子不出六点的概率是 $\frac56$。独立地掷 4 次，一次六点都不出现的概率是 $\left(\frac56\right)^4$。所以 $$P(\text{4 次中至少一个六点})=1-\left(\frac56\right)^4=1-\frac{625}{1296}\approx0.518.$$两颗骰子共有 $36$ 种结果，其中只有一种是双六。掷一次不出现双六的概率是 $\frac{35}{36}$： $$P(\text{24 次中至少一个双六})=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx0.491.$$第一种赌法有 51.8% 的机会赢；第二种只有 49.1%。德·梅雷的比例法则看起来很合理，但概率不是这样相加的。掷 25 次时，机会才超过一半：$1-\left(\frac{35}{36}\right)^{25}\approx0.506$。 光靠赌能看出来吗？ 几乎不能。49.1% 和 50% 的差别太小了，要赌上几千次才能可靠地察觉。所以历史学家认为，德·梅雷怀疑的是算法，而不是自己的钱包：他认为都正确的两条规则给出了不同的答案，他想知道哪一条错了。 第二个问题：中断的赌局 两个玩家各押 32 枚皮斯托尔金币，共 64 枚。谁先赢 3 局，谁就拿走全部。比赛在 A 赢了 2 局、B 赢了 1 局时中断了。这 64 枚金币该怎样公平地分？ 费马的解法是数出所有可能的序列。帕斯卡的做法不同：他只看下一局。 如果 A 赢了下一局，他就达到 3 局，拿走全部 64 枚。 如果 B 赢了，比分变成 2 比 2，两人打平：每人应得 32 枚。 下一局两人赢的机会相同。所以不管发生什么，A 都稳拿 32 枚，另外 32 枚不确定，两人各有一半机会。帕斯卡的结论是 A 应该得到

October 11, 2026 阅读
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猜度术：计算机会

猜度一件事，就是度量它的概率。因此我们把猜度术，或称随机术，定义为尽可能准确地度量事物概率的技艺，使我们在判断和行动中，总能选择或遵循在我们看来更好、更令人满意、更稳妥或更审慎的做法。 — 雅各布·伯努利，《猜度术》（1713），第四部分 1654 年，帕斯卡和费马 通信讨论一局中断的赌博该如何分配赌注。1657 年，荷兰人克里斯蒂安·惠更斯出版了一本十五页的小册子，讲掷骰子游戏中的计算。这些都是客厅里的问题：骰子、纸牌、赌注。 雅各布·伯努利想要的远不止这些。在他看来，概率是对 确定程度 的度量，是一个介于 0（不可能）和 1（必然）之间的数，可以用来在法庭上衡量证词、预测一个人还能活多久、评估一份保险，或者判断一种药是否有效。他花了二十年写一本书来说明如何做到。他把它称为 Ars conjectandi，《猜度术》。 《猜度术》的扉页，1713 年在巴塞尔出版，距雅各布去世已有八年。Wikimedia Commons · 公有领域 四部分的书 《猜度术》分为四部分。第一部分重印了惠更斯的书，雅各布写的评注比原文还长。第二部分是一门完整的 组合学 课程：排列、组合，以及其中如今以雅各布命名的 幂和。第三部分把这些应用到几十种游戏上。第四部分没有完成，讨论概率在公民、道德和经济生活中的应用，黄金定理 就在这里。 伯努利试验 书中最简单的想法，成了统计学中用得最多的想法之一。设想一个只有两种可能结果的试验：硬币是不是正面，病人是否痊愈，零件是不是次品。其中一种结果叫 成功，概率为 $p$；另一种叫 失败，概率为 $q=1-p$。这个词只是一个标签：在工厂里，被计数的"成功"可能是发现一个次品。 如今这样的试验叫作 伯努利试验。雅各布的问题是：在相同条件下把试验重复 $n$ 次，且各次结果互不影响，恰好得到 $k$ 次成功的概率是多少？ 一步步推出公式 先看一个小例子。掷一颗骰子 3 次，“成功"是掷出 6，$p=\frac16$。恰好掷出两个 6 的机会是多少？ 一种可能的序列是 6、6、其他。它的概率是每次投掷机会的乘积： $$\frac16\cdot\frac16\cdot\frac56=\frac5{216}.$$但还有其他含两个 6 的顺序：6、其他、6 和 其他、6、6。每一种的概率都是 $\frac5{216}$，因为同样的因子只是换了顺序。共有 3 种顺序，所以 $$P(\text{两个 6})=3\cdot\frac5{216}=\frac{15}{216}\approx6.9\%.$$顺序的个数，就是选出 哪几次 投掷成功的方法数：从 3 次中选 2 次，即 $\binom32=3$。一般地，每个含 $k$ 次成功、$n-k$ 次失败的序列概率为 $p^kq^{n-k}$，这样的序列有 $\binom nk$ 个。加起来：

October 14, 2026 阅读
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帕斯卡计算器：用齿轮做加法

1640 年，艾蒂安·帕斯卡被任命为诺曼底的税务官。这份工作就是一直到深夜累加一列又一列的数字，17 岁的儿子布莱兹也来帮忙。更麻烦的是，当时法国的货币不是十进制的： $$1\ \text{里弗尔}=20\ \text{苏},\qquad 1\ \text{苏}=12\ \text{德尼耶}.$$把 $3$ 里弗尔 $15$ 苏 $8$ 德尼耶和 $2$ 里弗尔 $7$ 苏 $9$ 德尼耶相加，需要三种进位： 德尼耶：$8+9=17$，即 $1$ 苏 $5$ 德尼耶； 苏：$15+7+1=23$，即 $1$ 里弗尔 $3$ 苏； 里弗尔：$3+2+1=6$。 结果是 $6$ 里弗尔 $3$ 苏 $5$ 德尼耶。一晚上算一千次，你一定会出错。1642 年，布莱兹开始制造一台不会出错的机器。 会计数的轮子 帕斯卡计算器的原理很简单。数字的每一位都有一个轮子，上面标着 $0$ 到 $9$。要加 $7$，就把一支尖笔插进 $7$ 的孔里，转动轮子直到碰到挡块。数字会显示在一个小窗口里。 一台十进制的帕斯卡计算器，有六个轮子，收藏于巴黎工艺博物馆。用于算钱的型号还有 20 格和 12 格的轮子，分别用来计算苏和德尼耶。David Monniaux，2005 年 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 难的是进位。当个位轮从 $9$ 转到 $0$ 时，十位轮必须自己前进一格。有时进位还会连续传递下去：

October 11, 2026 阅读
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黄金定理：大数定律

即使是最愚笨的人，也凭着某种天性，无需任何指点就自己相信：观察的次数越多，偏离目标的危险就越小。 — 雅各布·伯努利，《猜度术》（1713），第四部分 对一颗骰子，我们事先就知道每一面的机会：$\frac16$。可是，一个 40 岁的男人再活二十年的机会是多少？明天下雨的机会呢？一种药有效的机会呢？这些情形里没有相同的面可以数。雅各布提出了另一条路：多次观察，用频率来估计概率。如果在许多 40 岁的男人中，有一半活到了 60 岁，那么这个机会应该接近一半。 正如上面的引文所说，人人都已经这样想了。雅各布的问题更深一层：这能 证明 吗？随着观察次数增加，频率真的会接近概率吗，还是误差可能一直很大？要达到实际上的确定，需要多少次观察？他花了二十年才回答这个问题，并且对结果非常自豪，称之为 黄金定理。 罐子 雅各布用一个看不见内部的罐子来表述这个问题：罐中有 3 000 颗白石子和 2 000 颗黑石子。不能往里看的人想知道白石子所占的比例，也就是 $\frac35$。为此，他取出一颗石子，记下颜色，放回去，再重复。 $n$ 次抽取中有 $S_n$ 次白色，观察到的频率就是 $\frac{S_n}n$。精确的问题是：需要抽多少次，才能 道德上确定，也就是以至少 $\frac{1000}{1001}$ 的机会保证频率落在 $\frac{29}{50}$ 与 $\frac{31}{50}$ 之间，即与 $\frac35$ 相差不到 $\frac1{50}$？ 定理说了什么 雅各布的回答有两部分。第一部分是定性的：对任何误差范围 $\varepsilon$，不论多小，当 $n$ 增大时，频率偏离 $p$ 超过 $\varepsilon$ 的机会趋于零。用今天的语言写， $$\boxed{\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{S_n}n-p\right|>\varepsilon\right)=0.}$$这是 大数定律 的第一个版本，这个名称是泊松在 1837 年起的。第二部分是数值的：雅各布算出，对这个罐子，25 550 次抽取 就足以达到道德上的确定。 模拟的抛硬币。起初正面所占比例波动很大；抛了几千次后，它接近 1/2。横轴采用对数刻度。Euler’s Eyes 绘图 用今天的工具证明 雅各布的证明用了好几章篇幅，讨论二项式各项之间的不等式。今天，同样的想法用几行就能写完，用到的是俄国人切比雪夫在 1867 年发表的一个不等式。 每次抽取，白石子记为 $1$，黑石子记为 $0$。每次抽取的均值是 $p$，它的 方差，即围绕均值波动的程度，是 $p(1-p)$。把 $n$ 次独立抽取相加再除以 $n$，均值仍是 $p$，方差却除以了 $n$：

October 14, 2026 阅读
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神秘六边形：圆锥曲线上的六个点

1640 年 2 月，巴黎流传着一张只印了一面的纸，像一张告示，标题是《圆锥曲线论》。上面没有证明，只有定义、三个引理和一串结论。作者 16 岁，名叫布莱兹·帕斯卡。 梅森神父把这张纸拿给笛卡儿看，笛卡儿的反应是怀疑：他认为这个年轻人的东西全是从吉拉尔·德萨格那里学来的。德萨格是帕斯卡敬佩的建筑师和几何学家。德萨格的影响确实存在，帕斯卡本人也承认这一点。但这张纸上的核心结论是全新的。 圆锥曲线 用一个平面去截一个圆锥。根据倾斜的角度不同，截口的边缘会是椭圆、抛物线或双曲线；圆是椭圆的一种特殊情况。这些曲线统称圆锥曲线，从公元前 3 世纪的阿波罗尼奥斯起就有人研究。 德萨格有一个改变了这门学问的想法：把圆锥曲线看作圆的影子。用手电筒照一个圆，它投在墙上的影子可以是椭圆、抛物线或双曲线。所以，圆的某个性质如果只涉及点和直线，不涉及距离和角度的测量，那它在影子里也会保留下来，对所有圆锥曲线都成立。这就是射影几何的思想。 六边形定理 在一条圆锥曲线上按顺序标出六个点 $A,B,C,D,E,F$，把它们连成一个六边形。相对的边是 $AB$ 和 $DE$、$BC$ 和 $EF$、$CD$ 和 $FA$。把每一对延长，直到它们相交： $$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$帕斯卡定理说：$P$、$Q$、$R$ 三点总在同一条直线上。 这六个点在曲线上可以按任意顺序排列，六边形甚至可以自己和自己相交。如果两条对边平行，它们就交于一个“无穷远点”，而那条直线就与它们平行。帕斯卡把这个图形叫作神秘六边形。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 四百条推论 据梅森说，帕斯卡从这一条定理推出了大约四百条推论，其中包括阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的几乎全部成果。大约在 1654 年，他写成了一部完整的论著。1676 年，莱布尼茨在巴黎读到了这份手稿，认为写得极好，并建议帕斯卡的家人出版。可是没有人出版它，这部论著就这样失传了。 在抛物线上验证 我们用计算来检验这条定理。在抛物线 $y=x^2$ 上取横坐标为 $0,1,2,3,4,7$ 的六个点： $$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$先介绍一个捷径。经过抛物线上横坐标为 $u$ 和 $v$ 的两点的直线是 $$y=(u+v)x-uv.$$确实，在 $x=u$ 处它的值是 $u^2+uv-uv=u^2$，在 $x=v$ 处是 $v^2$。下面计算三个交点。 点 P。 $AB$ 的 $u=0,v=1$：$y=x$。$DE$ 的 $u=3,v=4$：$y=7x-12$。令两者相等，$x=7x-12$，所以 $x=2$，$P=(2,2)$。

October 11, 2026 阅读