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阅读：欧几里得和演绎几何

进一步阅读 Leitura 欧几里得和演绎几何 公元前338，希腊受马其顿统治。亚历山大大帝将希腊文化带到了东方，并建立了数十座城市。其中之一，位于埃及的亚历山大，将在数学史上发挥非凡的作用。在亚历山大之后统治埃及的托勒密在那里创建了博物馆，这是一个由国家维护的研究和教学中心。他的图书馆有近 700 一千卷纸莎草纸。 克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域 博物馆最早也是最著名的数学家之一是欧几里得（约公元前 300 BC），但人们对他的生平几乎一无所知。据说，当托勒密问是否有更短的学习几何的方法时，他回答说：“几何学中没有真正的方法。” 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 他的名声源自于几何原本，共十三本书：这是迄今为止最古老的希腊数学完整文本。自第一个印刷版1482以来，已有一千多个版本。欧几里得从五个常见概念、五个公设和一些定义推导出467定理。两千年来，几何原本 一直是优秀数学的典范。随着时间的推移，逻辑缺陷被发现（例如，使用从未陈述过的连续性假设），但它们几乎没有削弱这项工作的伟大性和影响力。

October 11, 2026 阅读
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4 章中的练习 — 三角形

练习和决议 练习 80 — 分类为真 (V) 或假 (F) 所有 等腰三角形 都是 等边。 VF Falso. 等腰三角形可以具有与其他边不同的底边。 所有 等边三角形 都是等腰。 VF Verdadeiro. 它有（至少）两个一致的侧面。 不等边三角形 可以是等腰。 VF Falso. 斜角没有两个全等的边。 每个等腰三角形都是一个锐角三角形。 VF Falso. 有等腰矩形和钝角。 每个直角三角形都是 不等边三角形。 VF Falso. 等腰矩形（45°、45°、90°）是一个反例。 有直角三角形和等腰三角形。 VF Verdadeiro. 双腿一致。 有等腰三角形钝角。 VF Verdadeiro. 钝顶角，如120°、30°、30°。 每个锐角三角形要么是等腰三角形，要么是 等边。 VF Falso. 存在不等角直角，例如50°、60°、70°。 ↻ Recomeçar

October 11, 2026 阅读
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三角形中的不等式

在每个三角形中，每条边都小于其他两条边的总和。古人曾戏言“驴都知道”。 谁发现的 三角不等式是欧几里得的几何原本的命题I.20（c. 300 BC）；最大边和最大角之间的关系在命题I.18和I.19中。线段是两点之间最短路径的想法很早以前就很直观。欧几里得的优点是根据之前的结果展示它。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 普罗克洛斯（公元 5 世纪）说，伊壁鸠鲁派嘲笑欧几里得证明了三角不等式：他们说，即使是驴子也知道通往干草的直线路径比绕过它要短。普罗克洛斯回答说，感知一个事实并不等于知道它为什么是真的。演示表明，结果取决于飞机的属性，因此可能不再适用于其他几何形状，例如地球表面。 20世纪，三角不等式成为定义数学中任何“距离”的三个规则之一。它出现在分析、统计和计算中，远离三角形。 在日常生活中 **草地上的捷径。**穿过广场和花园的小径表明，人们在实践中知道对角线比两边都短。 **三根棍子能形成一个三角形吗？**只有当最大的一根棍子小于另外两根棍子的总和时。 2 cm、3 cm 和 6 cm 杆未闭合。 **送货路线。**物流算法使用三角不等式来排除永远不可能更短的偏差。 屋顶。 在一把剪刀中，与最大角度相反的一侧是最长的梁 - 正如命题 I.18 和 I.19 所说。 来源： 元素，命题 I.20 · 元素，命题 I.18 · Proclus (MacTutor)。 理论与结构 Teorema · 最大角与最大边相对 如果三角形的两条边不相等，则它们相对的角也不相等，最大的角与最大的边相对：$BC > AC \Rightarrow \hat{A} > \hat{B}$。 **倒数：**最大角度与最大边相对：$\hat{A} > \hat{B} \Rightarrow a > b$。 查看演示**直接。**将$D$与$\overline{CD} \equiv \overline{CA}$一起带入$\overline{BC}$。由于 $BC > AC$、$D$ 位于角度 $C\hat{A}B$ 的内部，因此 $C\hat{A}B > C\hat{A}D$。 $\triangle CAD$ 与底边 $\overline{AD}$: $C\hat{A}D \equiv C\hat{D}A$ 等腰。而$C\hat{D}A$是$\triangle ABD$的外角，因此$C\hat{D}A > A\hat{B}D$。加入：$C\hat{A}B > C\hat{D}A > A\hat{B}C$，即$\hat{A} > \hat{B}$。 **倒数。**如果是$BC < AC$，根据直接定理我们会得到$\hat{A} < \hat{B}$；如果是$BC \equiv AC$，则通过等腰三角形、$\hat{A} \equiv \hat{B}$。两者都与假设相矛盾，因此$BC > AC$。

October 11, 2026 阅读
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三角形全等

两个三角形什么时候是彼此的“副本”？六项不必检查，选三项就够了。 谁发现的 带有作者姓名的最古老的标准是 真主 （一侧和两个相邻的角）。 普罗克洛斯，引用罗德岛的尤德穆斯的话，说 米利都的泰勒斯 （公元前6世纪）用它来计算船只在海上的距离。案例展示 鲎试剂 （提案 I.4）， LLL (I.8) 和 真主 (I.26) 位于 元素 的 欧几里得 （约公元前 300 年）。 1899年， 大卫·希尔伯特 表明 LAL 案例需要被接受为公理。 雅典学院的人物归因于罗德岛的尤德穆斯 (Eudemus of Rhodes)；不确定的识别。拉斐尔·桑齐奥； Jic 和 FranksValli 复制品的剪辑 · 维基共享资源 · 公共领域 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 大卫·希尔伯特.身份不明的摄影师 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 为了证明 LAL 的情况，欧几里得“移动”一个三角形并将其放置在另一个三角形的顶部——即所谓的叠加法。自古以来，评论家就指出没有任何假设认可这一运动。许多人接受了这个证据；其他人，例如文艺复兴时期的数学家 Jacques Peletier (1557) 则批评了它。

October 11, 2026 阅读
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概念、要素和分类

三角形是最简单、最有用的多边形：任何其他多边形都可以分为三角形。 谁发现的 自埃及和美索不达米亚以来，三角形就出现在装饰品、建筑和面积计算中：莱茵纸莎草纸（约公元前 1650 BC）已经提出了有关三角形土地面积的问题。至今使用的分类来自欧几里德（c. 300 BC）。在几何原本的定义I.20和I.21中，他通过边（等边、等腰和不等边角）和角（矩形、钝角和直角）来分隔三角形。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 这些名称是希腊语和描述性的：isosceles 意思是“平等的腿”，scalene 意思是“跛脚”或“不平等”。 等边三角形 有一个重要的地位：它是 几何原本（命题 I.1）的第一个构造，由两个圆圈和一把尺子组成。 《几何原本》第一个英文版的扉页，由 Henry Billingsley 翻译于 1570。该版本体现了该作品后来的流通。亨利·比林斯利编辑；查尔斯·托马斯·斯坦福大学的复制品 · 维基共享资源 · 公共领域。 几何原本 被手工抄写了一千多年，被翻译成阿拉伯语、拉丁语和英语，并在威尼斯以 1482 首次印刷。它是继《圣经》之后历史上版本最多的书籍之一。 在日常生活中 **信托。**屋顶、金属桥梁和起重机使用三角形，因为当侧面固定时它们不会变形。 **自行车。**传统的框架由两个三角形组成，这使得它既轻又坚固。 标志。“让路”标志是颠倒的 等边三角形，汽车的安全三角形是 等边。 3D 图形。 游戏和动画电影中的角色和场景是由数千个三角形组成的网格。 来源： 元素，定义 I.20 · 元素，命题 I.1 · 欧几里德 (MacTutor)。 理论与结构 Definição · 三角形 给定三个非共线点 $A$、$B$ 和 $C$，线段 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$ 的交点称为三角形 $ABC$： $$\triangle ABC = \overline{AB} \cup \overline{AC} \cup \overline{BC}.$$

October 11, 2026 阅读