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参考文献与图片来源

延伸阅读 欧几里得。Os Elementos（《几何原本》）。Irineu Bicudo 葡译。São Paulo: Editora Unesp, 2009。公理与命题的结构。 普罗克洛。A Commentary on the First Book of Euclid’s Elements。Glenn R. Morrow 英译。Princeton: Princeton University Press, 1970。命题的六个部分。 Frege, Gottlob. Über Sinn und Bedeutung. Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 100, 1892, 第 25–50 页。巴西葡译见：Lógica e filosofia da linguagem. São Paulo: Cultrix/Edusp, 1978。 Frege, Gottlob. Die Grundlagen der Arithmetik. Breslau: Koebner, 1884。莱布尼茨的引文在 §65。 Wittgenstein, Ludwig. Tractatus Logico-Philosophicus. London: Kegan Paul, 1922。关于同一性，见命题 5.53 至 5.5303。 Gauss, Carl Friedrich. Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig: Gerhard Fleischer, 1801。同余的定义和符号 ≡ 见第 1、2 条。 Pascal, Blaise. Traité du triangle arithmétique. Paris: Guillaume Desprez, 1665（写于 1654 年）。归纳法见推论十二。 Dijkstra, Edsger W.; Scholten, Carel S. Predicate Calculus and Program Semantics. New York: Springer, 1990。带提示的证明格式。 de Bruijn, Nicolaas G. Asymptotic Methods in Analysis. Amsterdam: North-Holland, 1958。大 $O$ 的单向等式。 Halmos, Paul R. I Want to Be a Mathematician: An Automathography. New York: Springer, 1985。$\blacksquare$ 的由来。 Kieran, Carolyn. Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 12, 1981, 第 317–326 页。 Healy, Lulu; Hoyles, Celia. A study of proof conceptions in algebra. Journal for Research in Mathematics Education, 31(4), 2000, 第 396–428 页。 Fischbein, Efraim. Intuition and proof. For the Learning of Mathematics, 3(2), 1982, 第 9–18、24 页。 Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 卷。Chicago: Open Court, 1928–1929。关于高斯和黎曼的 ≡ 以及拉恩的 $\therefore$。 Earliest Uses of Symbols of Relation，Jeff Miller。 图片来源 图片 来源 许可 戈特洛布·弗雷格像，Emil Tesch 摄（约 1905 年） Wikimedia Commons 公有领域 高斯《算术研究》（1801）扉页 Wikimedia Commons 公有领域 帕斯卡《算术三角形》（Triangulus Arithmeticus）第一页，克莱蒙奥弗涅大都会遗产图书馆藏 Wikimedia Commons CC BY-SA 4.0 奇数之和的示意图和交互图形（同余的时钟、解方程的步骤）是为本书制作的，在本站的四种语言中都能使用。下载图片的记录及每个文件的哈希值见 data/semiotica_imagens.json。

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如何阅读一个证明：指南与术语表

本章从一行计算一路追踪等号，直到一个完整的证明。下面的指南汇集了有助于阅读这两者的问题。 关于等号的五个问题 它是在提问、断言，还是命名？ 如果是提问，它是方程，任务是求出解。如果它对所有值都断言成立，它是恒等式，任务是证明它。如果是命名，它是定义，任务是接受它、记住它。 两边的涵义相同，还是只有指称相同？ 涵义相同，这个等式就是空的。涵义不同，它就教了点什么，值得问一问教了什么。 是真正的相等，还是等价？ $\frac12=\frac24$ 对数来说是相等，对分数来说是等价。$17\equiv2\pmod5$ 说的是两个不同的数落进了同一个抽屉。 在这里我能用一边替换另一边吗？ 在计算内部，总是可以。在谈论某人知道或写下了什么的句子里，不一定。 三条定律成立吗？ 如果关系不对称（$:=$，大 $O$ 的 $=$）或不传递（$\approx$），它就不是真正的等号，$A=B=C$ 这样的链就不再管用。 关于证明的五个问题 到底断言了什么？ 找出陈述和其中的字母：哪些是任意的，哪些是给定的。 “设”在哪里？ 那是一般变成特殊的地方。检查一下：除了陈述给出的条件，对这个特殊情形没有作任何额外假设。 各行之间是哪种箭头？ 一串 $=$ 和 $\Leftrightarrow$ 可以双向阅读。一串 $\Rightarrow$ 只能从头读到尾。 每个假设在哪里打开、在哪里关闭？ 每出现一个“假设”，就去找它在哪里结束。在里面引入的字母，在外面不存在。 省略了什么？ 每个“容易看出”、每个省略号、每个“同理”，都是读者应当能够补上的一步。 对一个简短证明的完整解读 命题。 对每个整数 $n$，$n^3-n$ 都能被 $6$ 整除。 证明。 设 $n$ 是整数。那么 $n^3-n=(n-1)\,n\,(n+1)$，是三个连续整数的乘积。三个连续整数中，有一个是 $3$ 的倍数，并且至少有一个是偶数。所以这个乘积是 $2$ 的倍数，也是 $3$ 的倍数，因而是 $6$ 的倍数。$\blacksquare$ 陈述谈的是每一个整数：$n$ 是一个推广的数。 **“设 $n$ 是整数”**是欧几里得的设定。除了是整数，对 $n$ 没有任何假设。 $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ 是一个恒等式，由链 $(n-1)n(n+1)=n(n^2-1)=n^3-n$ 证明。这里的等号把一种写法换成涵义更有用的另一种：因式分解的形式显示出三个连续数，原来的形式则没有。 **“三个连续整数中，有一个是 3 的倍数”**是一个未加证明就援引的事实。它背后是一种等价：模 $3$ 时，三个连续数分别落进 $0$、$1$、$2$ 三个抽屉，每个抽屉一个。 **“所以……因而”**标出两个 $\Rightarrow$ 步骤。第二步用到了 $2$ 和 $3$ 没有公约数，这也是一个被省略的事实。 $\blacksquare$ 结束证明，把读者带回一般的陈述。 术语表 相等。 两个指向同一对象的表达式之间的关系。满足自反性、对称性和传递性。 涵义与指称。 表达式的指称是它所指的对象；涵义是它呈现这个对象的方式。$2^{10}$ 和 $1024$ 指称相同，涵义不同。 方程。 含字母、被当作问题来读的等式：哪些值使它成立？它的解集就是答案。 恒等式。 对字母的所有取值都成立的等式。有时写成 $\equiv$。 定义。 给一个表达式命名的等式。有时写成 $:=$。 等价关系。 满足自反、对称、传递的关系。它把对象分成等价类。 同余。 当 $m$ 整除 $a-b$ 时，$a\equiv b\pmod m$。余数的等价关系，由高斯于 1801 年引入。 蕴含。 $P\Rightarrow Q$：只要 $P$ 为真，$Q$ 也为真。 逻辑等价。 $P\Leftrightarrow Q$：$P$ 和 $Q$ 恰好在相同的情形下为真。读作“当且仅当”。 增根。 在求解过程末尾出现、却不满足原方程的解，由一个不是 $\Leftrightarrow$ 的 $\Rightarrow$ 步骤引入。 演算式证明。 每一环都带有理由的等式链。 反证法。 假设与要证结论相反的命题，并推出矛盾的证明。 数学归纳法。 分奠基和递推两部分，证明某命题对所有自然数成立的方法。 反例。 使一个一般命题不成立的单个情形。一个就足以推翻它。 Q.E.D. 与 $\blacksquare$。 证明结束的标记：quod erat demonstrandum 和哈尔莫斯的墓碑。 练习：用关于等号的指南读 $\displaystyle\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$。它对每个 $x$ 都作出断言：是恒等式。对每个 $x$，两边指称相同，但涵义不同：左边谈的是倍角，右边谈的是单角。如果当作方程来读，“哪些 $x$ 使它成立？”的答案是“全部”。如果有人写 $\cos2x=1$，那才是一个问题，答案是 $x=k\pi$，$k$ 为整数。

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例子不是证明：欧拉、帕斯卡与归纳法

对 $n=0,1,2,3,\ldots$ 计算 $n^2+n+41$： $$41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 61,\ 71,\ 83,\ 97,\ 113,\ 131,\ \ldots$$全是素数。一直算到 $n=39$，结果 $1601$ 仍然是素数。连续四十个情形，没有一个例外。1772 年，莱昂哈德·欧拉让人们注意到这个了不起的公式。然而，它并不只产生素数：取 $n=40$， $$40^2+40+41=1600+40+41=1681=41^2.$$四十个例子什么也没证明。一个反例就推翻了一切。 例子的诱惑 欧拉的多项式并不是孤立的奇闻。1640 年，皮埃尔·德·费马观察到形如 $2^{2^n}+1$ 的数给出 $$3,\quad 5,\quad 17,\quad 257,\quad 65\,537,$$全是素数，于是猜想这种形式的数都是素数。1732 年，欧拉证明下一个数 $2^{32}+1=4\,294\,967\,297$ 等于 $641\cdot6\,700\,417$。直到今天，人们还没有找到这种形式的其他素数。 学生也感受到同样的诱惑。在 2000 年发表的一项研究中，英国研究者露露·希利和西莉亚·霍伊尔斯请大约 2500 名 14 到 15 岁的学生评价几种论证，论证的是“两个偶数之和总是偶数”。许多学生更喜欢验算例子的论证（$2+4=6$，$10+12=22$，……），因为他们看得懂；同时，他们又认为用 $2a+2b=2(a+b)$ 的代数论证才是老师会给最高分的。对他们来说，代数证明是做给老师看的形式，真正让人信服的是例子。 省略号藏着一条规则 这一页上最危险的符号，是最不起眼的那个：省略号 $\ldots$。当我们写 $$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$$时，这三个点要求读者根据几项猜出规则，并把它永远延续下去。这是一种经济的记号，同时也是一个承诺：“规律会继续下去”。但欧拉的多项式表明，规律可能会停下来。 上面的公式在前几种情形很容易验证：$1=1^2$，$1+3=4=2^2$，$1+3+5=9=3^2$。一幅图暗示了原因：每个奇数都是一层 L 形，把一个正方形变成下一个正方形。 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²。每个奇数都是一层 L 形，把正方形的边长增加一个单位。为本书制作的教学示意图。 这幅图很有说服力，但它仍然只是一幅图，只有五层。怎样把“依此类推”变成确定无疑？

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证明里的词：设、假设、所以、∎

读一读这个简短的证明： 命题。 两个偶数之和是偶数。 证明。 设 $m$ 和 $n$ 是偶数。那么存在整数 $a$ 和 $b$，使得 $m=2a$，$n=2b$。所以 $m+n=2a+2b=2(a+b)$。因为 $a+b$ 是整数，所以 $m+n$ 是偶数。$\blacksquare$ 去掉计算，剩下的是一副由词语构成的骨架：设、那么存在、所以、因为，以及末尾一个黑色的小方块。它们都不是“做计算”意义上的数学，却全都不可缺少。正是它们告诉读者每一行在做什么：引入一个对象、推出一个结论、援引一个事实、收尾。 欧几里得的六个部分 希腊人写证明时已经有固定的结构。五世纪的哲学家普罗克洛在注释《几何原本》时，描述了欧几里得命题的六个部分： 部分（希腊语） 作用 在上面的证明中 prótasis，陈述 一般地说出要证明什么 “两个偶数之和是偶数” ékthesis，设定 选出一个情形并给它命名 “设 $m$ 和 $n$ 是偶数” diorismós，限定 说明关于这个情形要证明什么 （隐含）“$m+n$ 是偶数” kataskeué，作图 补充所需的东西 “存在 $a$ 和 $b$，使 $m=2a$，$n=2b$” apódeixis，证明 把推论串起来 “$m+n=2(a+b)$” sympérasma，结论 回到一般的陈述 “$m+n$ 是偶数” 最巧妙的是设定。陈述谈的是所有偶数；设定挑出两个，$m$ 和 $n$，把它们当作特定的数来处理。但由于除了“是偶数”之外，对它们没有任何假设，所以关于 $m$ 和 $n$ 证明的一切，对任何偶数都成立。“设”这个词是一般与特殊之间的桥梁。它就是第3章里那个用来推广的字母，现在在证明里上岗工作了。 这就是所要证明的 欧几里得在每个命题末尾都写一句套话：hóper édei deîxai，“这就是所要证明的”。如果命题是一个作图题，比如第1章介绍过的作等边三角形，套话就变成 hóper édei poiêsai，“这就是所要作的”。拉丁译者把两者译为 quod erat demonstrandum 和 quod erat faciendum，并缩写为 Q.E.D. 和 Q.E.F.

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等式链：怎样证明一个恒等式

怎样证明对所有的数 $a$ 和 $b$ 都有 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$？不是靠代值试验：再多的例子也覆盖不了所有的数。证明的方法是写一条链： $$\begin{aligned} (a+b)^2&=(a+b)(a+b)\\ &=a(a+b)+b(a+b)\\ &=a^2+ab+ba+b^2\\ &=a^2+2ab+b^2. \end{aligned}$$每个等号连接两个相邻的式子，每一环都由一条已知的规则保证：平方的定义、分配律、再一次分配律、乘法交换律。根据第1篇介绍的欧几里得的那条定律——传递性——第一环等于最后一环。证明就是这条链。 带标签的链 在通常的写法中，理由都留在写的人脑子里，读者得去猜每个等号为什么成立。二十世纪八十年代，荷兰计算机科学家艾兹格·迪杰斯特拉和他的同事威姆·费延提出了一种格式：每一环都在花括号里带上自己的标签： $$\begin{aligned} &(a+b)^2\\ =\;&\{\text{平方的定义}\}\\ &(a+b)(a+b)\\ =\;&\{\text{分配律}\}\\ &a(a+b)+b(a+b)\\ =\;&\{\text{分配律}\}\\ &a^2+ab+ba+b^2\\ =\;&\{\text{交换律：}ba=ab\}\\ &a^2+2ab+b^2 \end{aligned}$$这种格式占的地方更多，说的也更多。式子行和理由行交替出现，等号放在左边缘，一目了然，正如它实际所是的链环。迪杰斯特拉把这种风格叫作演算式证明：证明就是计算，而计算就是在规则可见的情况下用相等的替换相等的。 从哪一边开始 证明恒等式的一条实用规则：从更复杂的一边开始。化简比猜出如何变复杂要容易。要证明 $$\frac1k-\frac1{k+1}=\frac1{k(k+1)},$$就从左边开始，那里有两个分数，正等着被合并： $$\begin{aligned} \frac1k-\frac1{k+1}&=\frac{k+1}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)}\\ &=\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac1{k(k+1)}. \end{aligned}$$从右边开始，就得事先知道 $1=(k+1)-k$ 是个好主意。从左边出发的证明在途中发现了这一点。 从结尾出发的错误 有一种出错的方式看起来像证明。一个学生想说明 $-1=1$，写道： $$-1=1\quad\Longrightarrow\quad(-1)^2=1^2\quad\Longrightarrow\quad1=1.$$“我得到了一个正确的东西，所以第一行是对的。”不对。一串从错误命题出发的 $\Rightarrow$ 完全可以到达一个正确的命题；这就是上一篇所说的会多出解的步骤。从要证明的结论出发、最后得到 $1=1$ 或 $0=0$，只有当每一步都是 $\Leftrightarrow$ 时才证明了什么；而那样的话，最好还是按正确的顺序写这条链，从已知走向未知。 在链中，等号是动词 在一篇写得好的证明里，$=$ 有精确的语法角色：它是句子的谓语动词。“$(a+b)^2=(a+b)(a+b)$”读作“$a+b$ 的平方是 $a+b$ 与它自身的乘积”。链变长时，$A=B=C=D$，句子仍有主语和谓语：“$A$ 是 $B$，$B$ 是 $C$，$C$ 是 $D$”。第2章讨论过的 $5\cdot3=15+2=17$ 这类错误，是用错了动词的句子：学生想说“然后”，写下的却是“是”。 练习：带标签的链用迪杰斯特拉的格式证明 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。 $$\begin{aligned} &(a-b)(a+b)\\ =\;&\{\text{分配律}\}\\ &a(a+b)-b(a+b)\\ =\;&\{\text{分配律}\}\\ &a^2+ab-ba-b^2\\ =\;&\{\text{交换律：}ba=ab\text{，且 }ab-ab=0\}\\ &a^2-b^2 \end{aligned}$$ 练习：错在哪里？（4 = 5）$$\begin{aligned} -20&=-20\\ 16-36&=25-45\\ 16-36+\tfrac{81}4&=25-45+\tfrac{81}4\\ \left(4-\tfrac92\right)^2&=\left(5-\tfrac92\right)^2\\ 4-\tfrac92&=5-\tfrac92\\ 4&=5 \end{aligned}$$前四行都对：第四行两边都等于 $\frac14$。错误在于开平方。由 $x^2=y^2$ 可得 $x=y$ 或 $x=-y$，而这里 $4-\frac92=-\frac12$，$5-\frac92=\frac12$：成立的是第二种情形，不是第一种。这正是平方那一步，倒过来读。

October 16, 2026 阅读
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⇒ 与 ⇔：变形方程时得到什么、失去什么

解方程 $$\sqrt{x+2}=x.$$通常的做法是两边平方，去掉根号： $$\begin{aligned} \sqrt{x+2}=x\quad&\Longrightarrow\quad x+2=x^2\\ &\Longrightarrow\quad (x-2)(x+1)=0\\ &\Longrightarrow\quad x=2\ \text{或}\ x=-1. \end{aligned}$$计算全都正确，答案却不对。取 $x=2$：$\sqrt{4}=2$，方程成立。取 $x=-1$：$\sqrt{1}=1$，不等于 $-1$。原方程只有一个解，方法却找出了两个。这个闯入者是从哪里来的？ 一行一个方程 解方程的人并不是在对数做计算，而是在写一串方程，每一个都由前一个得到。把一行和下一行连起来的不是等号，而是关于命题的一个断言：“如果这一个为真，那一个也为真”。逻辑为此准备了两个符号。 $P\Rightarrow Q$，“$P$ 蕴含 $Q$”：只要 $P$ 为真，$Q$ 也为真。但 $Q$ 可以为真而 $P$ 不为真。 $P\Leftrightarrow Q$，“$P$ 等价于 $Q$”：两者恰好对相同的值为真。箭头双向都成立。 在解方程时，这个区别是决定性的。如果每一步都是 $\Leftrightarrow$，最后一行的解与第一行完全相同。如果某一步只是 $\Rightarrow$，最后一行可能多出解。如果某一步只是 $\Leftarrow$，则可能少了解。 双向都成立的步骤 有些步骤总是可逆的： 步骤 为什么能退回去 两边加上同一个数 再减回去就行 两边乘以同一个不为零的数 再除回去就行 把一个式子换成与它恒等的式子 恒等式双向成立 作用一个单射函数，例如 $x\mapsto x^3$ 或 $x\mapsto e^x$ 每个结果只来自一个值 另一些则不是： 步骤 可能发生什么 两边平方 多出解：由 $a=b$ 可得 $a^2=b^2$，但 $a=-b$ 时 $a^2=b^2$ 也成立 乘以一个可能为零的式子 多出解：那个式子的零点 除以一个可能为零的式子 丢掉解：那个式子的零点 在开头的方程里，平方这一步就是一个乔装的 $\Rightarrow$。方程 $x+2=x^2$ 问的是“$\sqrt{x+2}$ 等于 $x$ 还是等于 $-x$？”，而 $-1$ 回答的是后半句：$\sqrt{1}=1=-(-1)$。这个闯入者有名字：增根。唯一的防御是回到原方程去检验。

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等价：分数、时钟和高斯的 ≡

$\frac12$ 和 $\frac24$ 这两种写法是不同的：一个用数字 $1$ 和 $2$，另一个用 $2$ 和 $4$。一张比萨切成两块、你吃了一块，和一张比萨切成四块、你吃了两块，并不是同一回事：多切了一刀。然而我们毫不犹豫地写下 $$\frac12=\frac24=\frac36=\frac{50}{100}.$$这个等号断言的，不是写法相同，也不是比萨相同。它断言的是：就关心的东西而言——吃掉的量——它们无法区分。 就关心的东西而言相等 这正是等价关系的工作：把从某个角度看算作同一个的不同东西归为一组。对分数来说，判据是 $$\frac ab\sim\frac cd\quad\text{当且仅当}\quad a\cdot d=b\cdot c.$$对 $\frac12$ 和 $\frac24$：$1\cdot4=2\cdot2$。对 $\frac12$ 和 $\frac35$：$1\cdot5\neq2\cdot3$，两个分数不等价。 这样一种关系，只有当它也具备第1篇介绍的那三条定律——自反、对称、传递——时，才配得上一个长得像等号的符号。具备了这三条，它就会做一件了不起的事：把世界分成类，像一个个抽屉，每个对象恰好落进其中一个。与 $\frac12$ 等价的分数都在一个抽屉里；与 $\frac13$ 等价的在另一个抽屉里。 这里有一个由十九世纪数学明确提出的想法：有理数就是那个抽屉，而不是分数。$\frac12$、$\frac24$、$\frac36$ 是同一个对象——整个类——的不同名字。这是弗雷格的涵义与指称之分，从另一边看过去：不是从一个对象出发去找它的名字，而是从名字出发，把彼此等价的名字放在一起，构造出对象。 时钟 最日常的等价例子就在手腕上。$15$ 点时，时针指着 $3$。再过 $13$ 小时，时钟会走到 $3+13=16$，而 $16$ 显示为 $4$。对时针来说，$3$、$15$、$27$、$-9$ 全都一样：它们相差 $12$ 的倍数。 《算术研究》（1801）的扉页。24 岁的卡尔·弗里德里希·高斯在这本书里引入了同余和符号 ≡。Carl Friedrich Gauss · Wikimedia Commons · 公有领域 1801 年，卡尔·弗里德里希·高斯在《算术研究》的开头，给了这个想法一个名字、一个定义和一个符号。当两个数之差能被 $m$ 整除时，称它们模 $m$ 同余。他写道： 今后我们用这个符号 ≡ 表示数的同余，必要时在括号中附上模：−16 ≡ 9 (mod. 5)，−7 ≡ 15 (mod. 11)。 — 高斯，《算术研究》（1801），第 2 条

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方程、恒等式、定义：同一个符号的三份工作

同一个字母 $f$，三句话： $$f(x)=x^2,\qquad f(x)=x\cdot x,\qquad f(x)=4.$$第一句给出名字：从这里开始，$f$ 就是求平方的函数。第二句陈述规律：对每个 $x$，$f$ 的值都是 $x$ 乘 $x$。第三句提出问题：$x$ 取什么值时函数等于 $4$？答案是 $x=2$ 或 $x=-2$。 三句里的符号一模一样，读者要做的事却不一样： 类型 回答的问题 怎样处理它 例子 方程 哪些值使它成立？ 解它 $x^2=4$ 恒等式 对所有值都成立吗？ 证它 $(x-2)(x+2)=x^2-4$ 定义 这个名字是什么意思？ 接受它 $n!=1\cdot2\cdots n$ 定义无所谓真假：它是一次命名。“证明” $n!=1\cdot2\cdots n$ 没有意义，就像证明某人叫玛丽亚没有意义一样。相反，恒等式必须证明，方程必须求解。把三份工作搞混的人，是在错误的对象上做了正确的事。 试图提醒读者的符号 几个世纪以来，好几位数学家试图给每份工作一个专门的符号。 用 $\equiv$ 表示恒等式。 据史学家弗洛里安·卡约里说，伯恩哈德·黎曼在 1857 年就用它表示“对所有值都相等”。物理和工程书里仍然能看到它：$\sin^2x+\cos^2x\equiv1$。 用 $:=$ 表示定义。 冒号放在新名字的一边：$f(x):=x^2$ 读作“$f(x)$ 按定义等于 $x^2$”。这个符号随着程序设计语言流行起来（在那里它表示赋值），二十世纪末传进了数学书。 $\overset{\text{def}}{=}$ 或 $\stackrel{\triangle}{=}$。 把“定义”一词放在等号上方的变体。更明确，但用得更少。 没有一个彻底胜出。大多数书仍然处处写 $=$，依靠语境：“设”“定义”“对所有”“解”这些词，做了符号没做的工作。这是一种典型的情形：句法没说的，记号留给莫里斯意义上的语用学去说（见第2章）。 把“新生之梦”当作方程来读 代数里最有名的错误之一，是写出 $$(a+b)^2=a^2+b^2.$$在英语里它甚至有个外号：freshman’s dream，“新生之梦”。作为恒等式，这句话是错的：取 $a=b=1$，左边是 $4$，右边是 $2$。但看看把它当作方程、当作关于 $a$ 和 $b$ 的一个问题来读时会发生什么：

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弗雷格与晨星：a = b 说了什么

比较两句话： $$1024=1024\qquad\text{和}\qquad 2^{10}=1024.$$两句都对，而且两句都说一个数等于它自己：$2^{10}$ 就是 $1024$。可是，第一句不会让任何人学到什么，第二句却是一个小小的发现，要做十次乘法才能得到。如果等号只是说“这两样东西是同一个”，那么这两句话说的就完全一样。那么，第二句多出来的是什么？ 昏星与晨星 戈特洛布·弗雷格（1848–1925），耶拿大学的数学教授，他把等号变成了一个哲学问题。Emil Tesch，约 1905 年 · Wikimedia Commons · 公有领域 这个问题困扰过德国数学家戈特洛布·弗雷格。1892 年，他在一篇短文《论涵义与指称》中作出了回答。他的例子来自天文学。古希腊人把黄昏时出现在西方的那颗亮星叫作赫斯珀洛斯（昏星），把黎明前出现在东方的那颗叫作福斯福洛斯（晨星）。发现两者是同一个天体——金星——是一项成就。“昏星是昏星”什么也没教；“昏星是晨星”却教了东西。 弗雷格的办法是把一个名字携带的两样东西分开： 指称（Bedeutung）：名字所指向的对象，这里就是金星； 涵义（Sinn）：名字呈现这个对象的方式，“黄昏时发光的天体”或“黎明时发光的天体”。 当 $a$ 和 $b$ 的指称相同时，等式 $a=b$ 为真。而当它们的涵义不同、经由不同的路径到达同一个对象时，这个等式才有信息量。 数里的涵义与指称 数学里到处是同一个数的不同名字： $$4,\qquad 2+2,\qquad 2^2,\qquad \sqrt{16},\qquad \tfrac{8}{2},$$还有“唯一的偶素数与它自己相加”。它们的指称全都相同。但每一个都以自己的方式呈现这个数，每种方式都讲一个故事：$2+2$ 说怎样合并，$2^2$ 说怎样相乘，$\sqrt{16}$ 说它是哪个正方形的边长。这就是第2章所说的能指与对象的区别：符号不是事物本身，同一个事物有许多符号。 这对写计算的人有一个重要的推论。计算，就是把一种写法换成另一种指称相同、涵义更有用的写法。在 $$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\qquad(x\neq3)$$中，三个式子指向同一个值，但第三个最好用。按照本书的说法，当一种记号的涵义本身就指出通往其他写法的道路时，它就是能动的：$2^{10}$ 显示出 $2^{10}=2^5\cdot2^5=32\cdot32$，而 $1024$ 什么也没显示。 莱布尼茨定律 如果两种写法指向同一个对象，那么在任何句子里用一个替换另一个，都应该不改变句子的真假。戈特弗里德·莱布尼茨把这个想法写成一句拉丁文，弗雷格赞同地引用了它： 能够在保全真理（salva veritate）的情况下相互替换的东西，就是相同的。 — 莱布尼茨，弗雷格《算术基础》（1884）§65 引用 这正是代数里时时刻刻在用、却没人给它命名的规则。如果 $x=3$，那么 $x^2+x=3^2+3=12$。如果 $y=2x$，那么 $x+y=x+2x=3x$。用相等的东西替换相等的东西，是一切计算的发动机。 但弗雷格注意到，这条规则在一种特殊的句子里会失效。考虑： 这个学生知道 $2^{10}=2^{10}$。 对任何学生来说这都是真的。现在把第二个 $2^{10}$ 换成同一个数 $1024$： 这个学生知道 $2^{10}=1024$。 这可能是假的。当句子谈论的是某人知道、相信或写下了什么时，重要的是涵义，而不仅仅是指称。逻辑学家把这样的地方叫作晦暗语境。在计算内部，等号允许随意替换；在谈论“人们对这个计算知道什么”的句子里，就不行了。 维特根斯坦与多余的等号 1879 年，弗雷格曾用一个特殊的符号 $\equiv$ 表示同一，读作“内容相同”：这是两个名字之间的关系。1892 年他改变了主意，开始把它当作对象之间的关系。奥地利人路德维希·维特根斯坦曾到耶拿拜访弗雷格，并在弗雷格的建议下去跟罗素学习。他在《逻辑哲学论》（1921）里走得更远：说两个东西是同一的，是胡说；说一个东西与它自己同一，则什么也没说。他提议，在一种完美的记号中，相同的对象应当有相同的符号，于是 $=$ 就不再需要了。数学没有采纳这个建议。等号之所以存活下来，恰恰是因为同一个对象需要不同的名字。

October 16, 2026 阅读
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一个符号，许多种等于

1557 年，罗伯特·雷科德发明了 $=$，理由很简单：没有什么比两条一样长的平行线更相等了（第1章讲运算符号的那一篇讲过这段历史）。这个符号流行得如此成功，以至于今天它在做许多雷科德从未想到的工作。看看这几行： $$3+4=7,\qquad 2x+1=7,\qquad (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$$$f(x)=x^2,\qquad \tfrac12=\tfrac24.$$每一行里的符号都一样，说的却不一样。 在 $3+4=7$ 中，等号记录一个结果。这是计算器教给我们的读法。 在 $2x+1=7$ 中，等号提出一个问题：哪个数能让它成立？这是一个方程。 在 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 中，等号陈述一条规律，对所有的数都成立。这是一个恒等式。 在 $f(x)=x^2$ 中，等号给出一个名字：从此以后，$f(x)$ 就表示 $x^2$。这是一个定义。 在 $\frac12=\frac24$ 中，等号说两种不同的写法指向同一个数。 本章后面的几篇分别讨论这些工作。在那之前，值得先问一问：它们有什么共同之处？ 等号的三条定律 公元前 300 年左右，欧几里得在《几何原本》的开头列出几条“公理”（共同概念），他认为这些道理明显到不需要证明。第一条是： 等于同一个量的量，彼此相等。 — 欧几里得，《几何原本》第一卷，公理 1 今天这句话叫作传递性：如果 $A=B$ 且 $B=C$，那么 $A=C$。它和另外两条一起，构成任何相等关系的画像： 性质 符号写法 文字说法 自反性 $A=A$ 每个东西都等于它自己 对称性 若 $A=B$，则 $B=A$ 天平没有偏爱的一边 传递性 若 $A=B$ 且 $B=C$，则 $A=C$ 等于同一个量的量彼此相等 正是这三条定律让我们可以把计算串起来，写成 $A=B=C=D$，并断定第一项等于最后一项。整个中学代数都依赖它们，却几乎没有人把它们说出口。 等号的亲戚 每当等号的某一份工作变得足够重要，数学就给它一个专门的符号。结果是一家长得很像的符号，每个都有自己的读法： 符号 读法 例子 对称吗？ $=$ 等于 $3+4=7$ 是 $\equiv$ 恒等于；同余于 $\sin^2x+\cos^2x\equiv1$；$17\equiv2\pmod5$ 是 $:=$ 定义为 $f(x):=x^2$ 否：新名字总在左边 $\approx$ 约等于 $\pi\approx3.14$ 是 $\cong$ 全等于（图形） $\triangle ABC\cong\triangle DEF$ 是 $\sim$ 相似于 $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ 是 $\Leftrightarrow$ 等价于（命题） $2x=6\Leftrightarrow x=3$ 是 请看最后一列。$:=$ 不对称：也可以写成 $x^2=:f(x)$，但符号会变形，让新名字始终挨着冒号。而看起来最无害的 $\approx$ 藏着一个陷阱，第一道练习会说明：它不满足传递性。

October 16, 2026 阅读
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参考文献与图片来源

延伸阅读 Usiskin, Zalman. Conceptions of school algebra and uses of variables. In: Coxford, A. F.; Shulte, A. P. (eds.). The Ideas of Algebra, K–12. Reston: NCTM, 1988, pp. 8–19. Küchemann, Dietmar. Algebra. In: Hart, K. M. (ed.). Children’s Understanding of Mathematics: 11–16. London: John Murray, 1981, pp. 102–119. Clement, John; Lochhead, Jack; Monk, George S. Translation difficulties in learning mathematics. The American Mathematical Monthly, 88(4), 1981, pp. 286–290. MacGregor, Mollie; Stacey, Kaye. Students’ understanding of algebraic notation: 11–15. Educational Studies in Mathematics, 33, 1997, pp. 1–19. Philipp, Randolph A. The many uses of algebraic variables. The Mathematics Teacher, 85(7), 1992, pp. 557–561. Kieran, Carolyn. The learning and teaching of school algebra. In: Grouws, D. A. (ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: Macmillan, 1992, pp. 390–419. Kleiner, Israel. Evolution of the function concept: a brief survey. The College Mathematics Journal, 20(4), 1989, pp. 282–300. Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 vols. Chicago: Open Court, 1928–1929. 关于 cossic 记号、韦达和笛卡儿的字母、$f(x)$ 以及赫歇尔的 $\sin^{-1}$。 Heath, Thomas L. Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. Cambridge: Cambridge University Press, 1910. Viète, François. In artem analyticem isagoge. Tours: Jamet Mettayer, 1591. l’Hôpital, Guillaume de. Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes. Paris: Imprimerie Royale, 1696. 本站早期关于函数的文章提供了“函数是带空格的句子”这一想法，第 1 章用过，这里再次采用。

October 15, 2026 阅读
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如何阅读一个字母：指南与术语表

本章表明，一个字母至少能做五种不同的工作，而写法几乎从不说明是哪一种。下面的指南汇集了有助于弄清这一点的问题。 关于一个字母的五个问题 它隐藏一个值，还是代表任意值？ 如果隐藏一个值，它就是未知数，任务是找出它。如果代表任意值，这句话就是一条普遍定律或一个恒等式。 它在问题中移动吗？ 如果是，它就是变量，值得问它依赖于谁、谁依赖于它。 别的字母移动时它保持不动吗？ 那它就是参数或常数。值得问：是永远固定，像 $\pi$，还是只在这个问题里固定，像 $ax^2$ 中的 $a$？ 它被某个运算符约束吗？ 如果出现在 $\Sigma$、$\int$、$\forall$ 或 $\mapsto$ 中，它就是约束字母，可以换成别的字母而什么都不改变。 文中哪个词宣告了它的角色？ “求”“对任意”“设”“当……时”“已知”。如果一个也没有，就由这一领域的惯例来决定，最好把惯例说明白。 对 y = ax² + bx + c 的完整解读 $y$ 和 $x$： 变量。$x$ 是自变量，$y$ 是因变量。它们一起走遍一条抛物线上的点。 $a$、$b$ 和 $c$： 参数。在问题中固定，它们选择是哪一条抛物线。$a$ 必须不为零，否则曲线就变成直线。 问题变了，角色就变了。 在“抛物线在哪里与 $x$ 轴相交？”中，我们令 $y=0$，$x$ 就成了未知数。在“哪条抛物线经过 $(1,2)$、$(2,3)$ 和 $(3,6)$？”中，参数成了未知数，$x$ 和 $y$ 成了已知数据：$a+b+c=2$，$4a+2b+c=3$，$9a+3b+c=6$，解得 $a=1$，$b=-2$，$c=3$。 没有哪个字母是哑字母。 它们都重要：把 $a$ 换成 $k$，就必须在全文中都换。 短短一行，三种不同的角色，而每个问题都会把一切重新安排。 术语表 未知数。 代表一个确定而尚不知道的值的字母，这个值由问题的条件决定。在 $2x+1=7$ 中，$x=3$。 推广的数。 代表某个集合中任意元素的字母，所在的句子对所有元素都成立。如 $a+b=b+a$。 恒等式。 对字母的一切值都成立的等式，如 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。它不用解；要证明。 变量。 走遍某个集合中各个值的字母，通常与它所依赖的或依赖它的其他字母一起变化。 自变量与因变量。 在 $y=f(x)$ 中，$x$ 自由选择，$y$ 由规则决定。这种选择可能随问题而颠倒。 参数。 在一个问题中固定、但在不同问题之间可以取不同值的字母。它从一个家族中选出一个成员。 常数。 值永远相同的字母，如 $\pi$、$e$ 或光速 $c$。 自由字母。 表达式的值所依赖的字母。在 $\sum_{k=1}^n k$ 中，是 $n$。 约束字母（哑字母）。 被运算符约束、可以换成别的字母而不改变意思的字母。在 $\sum_{k=1}^n k$ 中，是 $k$。 函数。 给一个集合（定义域）的每个元素指定另一个集合中唯一元素的规则。$f$ 是函数；$f(x)$ 是它在 $x$ 处的值。 变量捕获。 在同一个表达式中把同一个字母既用作自由字母又用作约束字母的错误，如 $\int_0^x x\,dx$。 练习：运用这份指南读一读 $\displaystyle V(r)=\frac43\pi r^3$。$V$ 是一个函数的名字，$V(r)$ 是它的值。$r$ 是自变量，即半径。$\pi$ 是常数。$\frac43$ 是一个数。没有约束字母。如果问题是“多大的半径给出 $36\pi$ 的体积？”，$r$ 就成了未知数：$\frac43r^3=36$，$r^3=27$，$r=3$。

October 15, 2026 阅读