序数：由空集构成的数
二十世纪初，数学家们想从一个唯一的概念，即集合，出发构建整个数学。可是在这种语言里，数 $3$ 是什么？格奥尔格·康托尔谈到过“序数”，也就是度量队列中位置的数：第一、第二、第三，在所有有限的序数之后，还有第一个无穷序数 $\omega$。所缺的是说清这些数作为集合究竟是什么。
1923 年，19 岁的冯·诺依曼发表了一篇短文《论超限数的引入》，给出的答案如此简洁，以至于成了标准定义。
每个数都是它前面那些数的集合 规则只有一条：一个序数就是所有比它小的序数构成的集合。从空无开始：
$$0 = \varnothing,\qquad 1 = \{0\} = \{\varnothing\},\qquad 2 = \{0, 1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\},$$$$3 = \{0, 1, 2\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}.$$一般地，一个数的后继就是这个数本身再加上它自己：
$$n + 1 = n \cup \{n\}.$$这个定义白送了三样东西：
数 $n$ 恰好有 $n$ 个元素：$3$ 的元素是 $0$、$1$ 和 $2$。数到 $n$，就是把 $n$ 的元素过一遍。 “小于”变成了“属于”：$m < n$ 意味着 $m \in n$。同时也意味着“包含于”：$2 \subset 3$。 一切都从空集造出来。不必假定数的存在：它们是用花括号制造出来的。 无穷之外 同一条规则继续适用。全体自然数的集合
$$\omega = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$$是第一个无穷序数：它是所有比它小的序数构成的集合，和前面那些完全一样。接下来是 $\omega + 1 = \omega \cup \{\omega\}$，然后是 $\omega + 2$，依此类推，直到 $\omega \cdot 2$、$\omega^2$、$\omega^\omega$……康托尔描述过这座阶梯；冯·诺依曼给每一级台阶都提供了具体的构造。
