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詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的一生

年表 18316 月 13 日生于苏格兰爱丁堡。童年在家族庄园格伦莱尔度过。 1839母亲死于癌症,他当时 8 岁。 184614 岁时,他关于卵形曲线的论文在爱丁堡皇家学会宣读。 1850进入剑桥大学。 1855提出颜色理论,发表《论法拉第的力线》。 185625 岁成为阿伯丁的教授。 1859发表关于土星环的论文,获亚当斯奖。提出分子速度分布。 1860两所学院合并,他失去了工作。转到伦敦国王学院。 1861在皇家研究院展示第一张彩色照片。 1862算出电磁波以光速传播。 1865发表《电磁场的动力学理论》,回到格伦莱尔。 1871成为剑桥大学第一任卡文迪许实验物理学教授。 1873出版《电磁通论》。 187911 月 5 日在剑桥去世,终年 48 岁。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1831 爱丁堡6 月 13 日出生。后来在爱丁堡公学和爱丁堡大学学习;14 岁时,他关于卵形线的论文在爱丁堡皇家学会宣读。 1831–1841 格伦莱尔在家族庄园度过童年,总问“这是怎么回事”。八岁时母亲去世。 1850–1856 剑桥在三一学院学习。提出颜色理论,发表关于法拉第力线的论文。 1856–1860 阿伯丁25 岁当上教授。凭土星环论文获得亚当斯奖,又因学校合并而失业。 1860–1865 伦敦在国王学院展示第一张彩色照片,并发现光是电磁波。 1865–1871 格伦莱尔回到乡间,撰写《电磁通论》。 1871–1879 剑桥首任卡文迪许教授,创立卡文迪许实验室。1879 年去世,年仅 48 岁。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 麦克斯韦往返于苏格兰和英格兰之间,总是回到格伦莱尔。 地图:© OpenStreetMap 贡献者

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阿尔伯特·爱因斯坦的一生

年表 18793 月 14 日生于德国南部的乌尔姆。全家不久迁往慕尼黑。 189112 岁时得到一本欧几里得几何书,后来称之为"神圣的小书"。 1895苏黎世理工学院入学考试落榜,尽管数学和物理成绩很高。 1900从苏黎世毕业。此后两年没有固定工作。 1902开始在伯尔尼专利局工作,职位是"三级技术员"。 1905奇迹年:四篇改变物理学的论文和一篇博士论文。 1909离开专利局,成为苏黎世的教授。 1914迁居柏林,成为普鲁士科学院院士。 1915提出广义相对论的方程。 19195 月 29 日的日食在索布拉尔和普林西比岛被观测,证实了这一理论。爱因斯坦闻名世界。 1922宣布他获得 1921 年诺贝尔物理学奖,表彰光电效应。 19255 月 4 日至 12 日访问里约热内卢。 1933纳粹上台,他离开德国,定居美国普林斯顿。 1939签署致罗斯福总统的信,谈及制造原子弹的可能性。 19554 月 18 日在普林斯顿去世。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1879 乌尔姆3 月 14 日出生。不久全家搬走。 1880–1894 慕尼黑得到那本“神圣的几何小书”,讨厌死记硬背的学校。 1894–1895 意大利15 岁时辍学,追随已经搬到意大利的家人。 1895–1896 阿劳苏黎世的入学考试失败后,在一所较自由的瑞士中学完成学业。 1896–1902 苏黎世在理工学院学习,1900 年毕业,之后两年没有固定工作。 1902–1909 伯尔尼在专利局任三级技术员。1905 年是奇迹年,他写出四篇改变物理学的论文。 1911–1912 布拉格在两段苏黎世任教之间,到布拉格大学当教授。 1914–1932 柏林普鲁士科学院院士。1915 年提出广义相对论,1919 年日食之后举世闻名。 1925 里约热内卢5 月 4 日至 12 日在里约停留八天,被植物园深深吸引。 1933–1955 普林斯顿纳粹上台后离开德国,在高等研究院工作,直到 1955 年去世。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 从乌尔姆到普林斯顿,中途在里约热内卢停留。 地图:© OpenStreetMap 贡献者

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布莱兹·帕斯卡的一生

年表 16236 月 19 日生于法国奥弗涅地区的克莱蒙。 1626母亲安托瓦妮特·贝贡去世,布莱兹 3 岁。 1631父亲艾蒂安·帕斯卡带着三个孩子迁居巴黎。 163512 岁时,独自重新发现三角形内角和等于两个直角。 164016 岁时,发表《圆锥曲线论》,其中有六边形定理。 1642为帮助在鲁昂任税务官的父亲,开始制造计算机。 1647发表《关于真空的新实验》。笛卡儿前来拜访。 1648姐夫弗洛林·佩里耶登上多姆山,测出了空气的重量。 1654与费马通信讨论赌博问题,写成《算术三角形论》。11 月 23 日经历了“火之夜”。 1656开始以化名发表《致外省人信札》。 1658解决摆线的一系列问题,并就此发起一场竞赛。 1662在巴黎开通一条公共马车线路。8 月 19 日去世,终年 39 岁。 1670朋友们根据他的笔记整理出版《思想录》。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1623–1631 克莱蒙生于奥弗涅的克莱蒙。三岁时母亲去世。 1631–1639 巴黎父亲在家教育他,并带他参加梅森的聚会。16 岁写出《圆锥曲线论》。 1640–1647 鲁昂父亲在诺曼底任税务官。为了帮助父亲,布莱兹制造了帕斯卡计算器,并做了真空实验。 1648 多姆山应帕斯卡之请,他的姐夫弗洛兰·佩里耶带着气压计登上此山,证明山顶的空气更轻。 1647–1662 巴黎与费马讨论赌博的通信、火之夜、《致外省人信札》、摆线和公共马车。1662 年去世,年仅 39 岁。 1655 田野波尔罗亚尔修道院火之夜之后,他多次到妹妹雅克琳所在的修道院小住,并为波尔罗亚尔辩护,反对耶稣会。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 帕斯卡在克莱蒙、巴黎和鲁昂之间,以及称出空气重量的那座山。 地图:© OpenStreetMap 贡献者 1623–1631 · 克莱蒙1631–1639 · 巴黎1640–1647 · 鲁昂1648 · 多姆山1647–1662 · 巴黎1655 · 田野波尔罗亚尔修道院 帕斯卡在克莱蒙、巴黎和鲁昂之间,以及称出空气重量的那座山。 布莱兹·帕斯卡的肖像,作者不详,约作于 1690 年,现藏凡尔赛宫。这是他去世后绘制的摹本。作者不详 · Wikimedia Commons · 公有领域 一个把几何书藏起来的父亲 布莱兹·帕斯卡 1623 年生于法国中部的克莱蒙。他 3 岁时母亲去世。父亲艾蒂安是一位喜爱数学的法官,决定亲自教育三个孩子:吉尔贝特、布莱兹和雅克琳。1631 年,全家搬到了巴黎。

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艾萨克·牛顿的一生

年表 16431 月 4 日生于英格兰伍尔索普。按当时英国的记录,日期是 1642 年 12 月 25 日。 1661以穷学生身份进入剑桥大学三一学院。 1665–1667大学因瘟疫关闭,他回到家乡。期间发展了级数、流数、颜色理论,并产生了关于引力的最初想法。 166926 岁时接替艾萨克·巴罗,成为卢卡斯数学教授。 1672展示他的反射望远镜,并发表光与颜色的理论。 1687出版《原理》,印刷费用由埃德蒙·哈雷自掏腰包。 1696进入伦敦皇家铸币厂,先任督办,1699 年升任厂长。 1703当选皇家学会会长。 1704出版《光学》。 17273 月 31 日在伦敦去世,安葬于威斯敏斯特教堂。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1643–1661 伍尔斯索普生于一座农庄,是农夫的遗腹子。在附近的格兰瑟姆上学。 1661–1665 剑桥作为靠服侍同学来抵学费的穷学生进入三一学院。 1665–1667 伍尔斯索普大学因瘟疫关闭,他回到家乡,发展了级数、流数、颜色理论和最初的引力思想。 1667–1696 剑桥担任卢卡斯教授,制造反射望远镜,写出《自然哲学的数学原理》(1687)。 1696–1727 伦敦在伦敦塔主管皇家造币厂,并担任皇家学会会长。1727 年去世,葬于威斯敏斯特教堂。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 牛顿的三个地方:从伍尔斯索普到剑桥和伦敦。 地图:© OpenStreetMap 贡献者 1643–1661 · 伍尔斯索普1661–1665 · 剑桥1665–1667 · 伍尔斯索普1667–1696 · 剑桥1696–1727 · 伦敦 牛顿的三个地方:从伍尔斯索普到剑桥和伦敦。 生于 1642 年还是 1643 年? 两个都对。1642 年的英国还在使用儒略历,比当时欧洲大部分地区已采用的格里高利历晚十天。按英国的历法,牛顿生于 1642 年圣诞节;按我们今天的历法,是 1643 年 1 月 4 日。

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光电效应:光是一份一份的

它讨论辐射和光的能量性质,非常具有革命性。 — 阿尔伯特·爱因斯坦致康拉德·哈比希特的信(1905 年 5 月) 1905 年 5 月,爱因斯坦写信给朋友康拉德·哈比希特,预告了四篇论文。四篇中他只称一篇为革命性的,而那不是相对论,而是 3 月寄给《物理学年鉴》的关于光的论文。爱因斯坦正是因为这篇论文获得了诺贝尔奖。 光与金属之谜 十九世纪末,物理学家已经知道光是电磁波。他们也知道,光照到某些金属上时,会把电子从表面打出来:这就是 光电效应,菲利普·莱纳德在 1902 年对它做了详细研究。但这个效应有三个特点是波动理论解释不了的: 颜色要紧,亮度不要紧。 紫外光能从锌中打出电子;红光无论多强,一个也打不出。 每个电子的能量只取决于颜色。 更强的光打出 更多 电子,但每个电子出来时的最大能量都一样。 没有等待。 即使光非常弱,第一批电子也立即飞出。 在波里,能量平滑地分布在波阵面上。强波应该把电子摇得更厉害,不论什么颜色;弱波则应该需要一段时间来积累足够的能量。这些都没有发生。 一包一包的能量 1900 年,马克斯·普朗克用一个连他自己都不太相信的数学技巧,找到了热物体发光的正确公式:他假设能量是一份一份交换的,即 量子,每份能量为 $$E=hf,$$其中 $f$ 是光的频率,$h\approx6.626\times10^{-34}$ J·s 是 普朗克常数。对普朗克来说,这只是一个计算手段。 爱因斯坦把这个想法当了真:光本身就是由能量为 $hf$ 的一包包能量组成的,后来它们被称为 光子。这样,三个谜一下子都解开了。电子吸收 一个 光子就被打出。为了离开金属,它要消耗一个最小能量 $\phi$,叫作 逸出功,由金属决定。剩下的变成运动的能量: $$\boxed{K_{\max}=hf-\phi.}$$ 如果 $hf<\phi$,单个光子没有足够的能量打出电子,再多的光子也无济于事:频率低的红光不起作用。 每个电子的能量取决于 $f$,即颜色;强度只改变光子的 数目,因而改变电子的数目。 一个光子就够了,所以没有等待时间。 以电子伏特计算 对原子来说,焦耳是一个巨大的单位。人们用 电子伏特(eV),即一个电子穿过 1 伏电压所获得的能量:$1\ \text{eV}\approx1.602\times10^{-19}$ J。把频率写成 $f=c/\lambda$,$\lambda$ 为波长,有一条实用的规则: $$E=\frac{hc}{\lambda}\approx\frac{1240\ \text{eV·nm}}{\lambda}.$$对逸出功 $\phi=2.0$ eV 的金属,$\lambda=400$ nm 的紫光光子能量为 $\frac{1240}{400}=3.1$ eV,电子出来时的能量最多为 $3.1-2.0=1.1$ eV。$700$ nm 的红光光子能量为 $\frac{1240}{700}\approx1.77$ eV,低于 2.0 eV:一个电子也出不来,即使用探照灯也不行。

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颜色:陀螺与格子呢丝带

因此,颜色科学本质上必须被看作一门心智的科学。 — 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦,《颜色实验》(1855) 从牛顿起人们就知道,白光是彩虹所有颜色的混合。但我们 看到 的颜色是另一回事:它取决于眼睛和大脑。英国医生托马斯·杨在 1802 年提出,眼睛只有 三种 感受器,我们感知到的一切颜色都是这三种响应的组合。这是一个大胆的、没有证据的假说。24 岁的麦克斯韦把它变成了数学。 颜色陀螺 麦克斯韦用了一个陀螺,上面套着几张彩色纸盘,可以露出每种颜色的可调比例:多少红、多少绿、多少蓝。陀螺快速旋转时,眼睛分辨不出各个扇形,只看到一种颜色,即混合色。中间还有一个由其他颜色组成的小圆盘一起旋转。 调整比例时,麦克斯韦寻找使外圈和内盘看起来 一样 的组合。例如,一定比例的红、绿、蓝,会得到与黑白混合相同的灰色。记下每个扇形的角度,他就得到一个 颜色方程,就像代数方程一样: $$0.37\,\text{红}+0.27\,\text{绿}+0.36\,\text{蓝}=0.28\,\text{白}+0.72\,\text{黑}.$$这个例子里的数字只是示意,但形式就是麦克斯韦表格的形式。伟大的发现在于,这些方程的行为和代数方程一样:可以相加、乘以数、互相组合,而预测结果与眼睛看到的一致。 颜色是矢量 这意味着一束彩色的光可以用 三个数 来表示,即三种基色光的量,把它们加起来就能模仿这束光: $$\mathbf C=(R,G,B).$$两束光叠加,就是两个矢量逐个分量相加。红加绿: $$(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0),$$眼睛看到的是 黄色,尽管混合中并没有黄光。红加绿加蓝,$(1,1,1)$,得到白色。亮度加倍,就是把矢量乘以 2。麦克斯韦把这些颜色画在一个三角形里,三种基色在三个顶点:三角形里的每一点都是一种混合,彩虹的纯色则排在周围的一条曲线上。这就是今天用来校准显示器和相机的色度图的前身。 背后的原因是,视网膜上三种视锥细胞各自对很宽的一段波长有响应。第 $i$ 种视锥对光谱为 $I(\lambda)$ 的光的响应是 $$C_i=\int I(\lambda)\,s_i(\lambda)\,d\lambda,$$其中 $s_i(\lambda)$ 是该视锥的灵敏度。任何一束光,不论包含多少频率,到达大脑时都被简化成三个数。两束光谱完全不同的光,可能给出相同的三个数,看起来 一模一样。它们叫作 同色异谱,正是因为有它们,一块只有三种像素的屏幕才能显示几乎所有颜色。 第一张彩色照片:一条格子呢丝带,麦克斯韦于 1861 年 5 月 17 日展示。它是把分别透过红、绿、蓝滤镜拍摄的三张黑白照片投影叠加而成的。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦与托马斯·萨顿,1861 · Wikimedia Commons · 公有领域 第一张彩色照片 既然三个数就够了,那么三张照片也就够了。1861 年 5 月 17 日,麦克斯韦在伦敦皇家研究院的一次讲座上演示了这个想法。摄影师托马斯·萨顿把一条苏格兰格子呢丝带拍了三次,每次透过一个滤镜:红、绿、蓝。三张黑白底片由三台幻灯机投到幕布上,每台配着对应的滤镜,叠在一起。观众看到了彩色的丝带。 这是历史上第一张彩色照片,其原理与今天的数码相机相同,相机的传感器上就有红、绿、蓝滤镜。 胶片看不见的红色 一百年后的 1961 年,柯达公司的科学家试图重复这个实验,却发现了一个谜:1861 年的照相底片 对红光不敏感。那么麦克斯韦的照片怎么能显示红色?答案是:丝带的红布也反射紫外线,红色滤镜让它通过,底片记录了下来。碰巧,紫外线扮演了红光的角色。

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帕斯卡三角形:用加法搭起来

写一个 $1$。在它下面写两个 $1$。从此以后,每一行都以 $1$ 开头、以 $1$ 结尾,中间的每个数都是它正上方两个数之和: $$\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&1&&1&&&&\\ &&&1&&2&&1&&&\\ &&1&&3&&3&&1&&\\ &1&&4&&6&&4&&1&\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}$$就这么简单。一条孩子一分钟就能学会的规则,造出了数学中内容最丰富的数表之一。今天它被称为帕斯卡三角形,在中国叫作杨辉三角。而帕斯卡其实是最后一批发现它的人之一。 一个有许多主人的三角形 在印度,大约公元前 2 世纪,诗人宾伽罗在计算一行诗中长短音节的组合方式时,得到了同样的数。10 世纪,注释家哈拉尤达画出了这张表,称它为 Meru-prastara,意思是“须弥山的阶梯”。 在巴格达,大约公元 1000 年,卡拉吉用这个三角形展开像 $(a+b)^5$ 这样的乘方。他的书失传了,但一个半世纪之后,大约在 1150 年,萨马瓦尔抄录了这张表和推理过程,并注明出自卡拉吉。在波斯,这个三角形也和诗人兼数学家欧玛尔·海亚姆联系在一起。 在中国,贾宪大约在 1050 年用它来开方。杨辉在 1261 年把它收入书中,朱世杰又在 1303 年的《四元玉鉴》中画出了它,数字用算筹写成。 朱世杰 1303 年著作中的三角形。在中国,它被称为杨辉三角或贾宪三角。朱世杰,《四元玉鉴》(1303) · Wikimedia Commons · 公有领域 在欧洲,这个三角形于 1527 年首次印在彼得鲁斯·阿皮亚努斯一本算术书的封面上。之后,米夏埃尔·施蒂费尔在 1544 年、尼科洛·塔尔塔利亚在 1556 年都用过它。直到今天,它在意大利叫塔尔塔利亚三角形,在伊朗叫海亚姆三角形,在中国叫杨辉三角。 帕斯卡的论文 1654 年,帕斯卡在和费马讨论赌注问题的同时,写成了《算术三角形论》,有法文和拉丁文两个版本。论文是这样开头的: 算术三角形这样构造:从任意一点 Z 画两条互相垂直的直线 ZL 和 ZT,在每条直线上标出任意多个相等的部分。 — 布莱兹·帕斯卡,《算术三角形》(1654) 这篇论文拉丁文版的第一页,这是已知的唯一一份,收藏在帕斯卡的故乡克莱蒙费朗。Clermont Auvergne Métropole · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 帕斯卡的三角形其实是一张阶梯形的方格表。他把每个小方格叫作单元格,把行叫作平行列,把列叫作垂直列,把对角线叫作底。每个单元格等于它上方的格子加上它左边的格子,这和我们今天用的规则是一样的,只是转了个方向。

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土星环不可能是固体

因此,唯一可能存在的环系,是由无数互不相连的粒子组成的,它们按照各自的距离以不同的速度绕行星运转。 — 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦,《论土星环运动的稳定性》(1859) 1610 年,伽利略用望远镜观察土星,以为这颗行星长着"耳朵"。1655 年,惠更斯认识到那是一个又薄又平、不与行星接触的环。两百年后,仍然没有人知道这个环 是由什么 构成的。是像黑胶唱片那样的实心圆盘?是液体?还是一团石块? 1855 年,剑桥大学把这个问题选为 亚当斯奖 的题目。这个奖是为纪念预言了海王星存在的天文学家约翰·柯西·亚当斯而设立的。参赛者要弄清什么样的环才能保持稳定。当时 24 岁的麦克斯韦为此花了两年时间。他是唯一的参赛者。 环上的开普勒定律 先从任何做圆周运动的物体都知道的事情说起。质量为 $M$ 的行星的引力提供向心力: $$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM}{r}}.$$越远越慢。这就是开普勒第三定律,行星绕太阳运行时遵守它。对土星,$GM\approx3.79\times10^{16}$ m³/s²。主环从离行星中心约 74 600 千米延伸到约 136 800 千米。于是: 到土星中心的距离 轨道速度 绕行一周的时间 74 600 千米(内缘) 22.5 km/s 5.8 小时 92 000 千米 20.3 km/s 7.9 小时 117 600 千米 18.0 km/s 11.4 小时 136 800 千米(外缘) 16.7 km/s 14.3 小时 内缘不到 6 小时转一圈;外缘要 14 个多小时。 为什么实心环不行 在刚性圆盘上,所有点转一圈的时间都一样:圆盘像轮子一样整体转动。所以每一点的速度随距离 增大,$v=\omega r$;而引力却要求速度 减小,$v=\sqrt{GM/r}$。不可能在所有点上同时满足这两者。 如果圆盘按适合中间部分的速率转动,外面部分就转得太快,维持它在轨道上所需的力只能来自圆盘本身的刚性,圆盘会被向外拉伸;里面部分转得太慢,会被向内拉。整个环将承受巨大的应力。麦克斯韦算出,没有任何已知材料能承受;他还证明了更多:即使是一个理想的均匀实心环也是 不稳定的。最小的不平衡都会让环漂移,最终撞上行星。惠更斯想象的是实心环;它不可能存在。

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布朗运动:数原子

如果这里讨论的运动确实能被观察到,那么经典热力学对于在显微镜下可分辨的空间就不能再被视为严格有效,而精确测定真实的原子大小也就成为可能。 — 阿尔伯特·爱因斯坦,《物理学年鉴》(1905 年 5 月) 1905 年,许多物理学家和化学家仍然怀疑原子是否存在。化学在这个假设下运作得很好,但没有人见过原子;一些重要的科学家,比如奥地利物理学家恩斯特·马赫和德国化学家威廉·奥斯特瓦尔德,认为原子只是一种方便计算的说法。爱因斯坦找到了一种看见它们的办法,或者说几乎看见:通过它们对大到能在显微镜下看到的东西产生的效应。 停不下来的花粉 1827 年,苏格兰植物学家罗伯特·布朗在显微镜下观察悬浮在水中、从某种植物花粉里释放出来的微小颗粒。它们不停地动,曲折而无目的。布朗起初以为这是生命,但他用玻璃粉和石粉也看到了同样的现象,而它们显然不是活的。这种运动从不停止,没有人能解释。 爱因斯坦提出了解释:每个颗粒时时刻刻都受到来自四面八方的水分子撞击。每秒有上万亿次撞击,它们几乎相互抵消,但并非完全如此:某一瞬间,偶然一侧的撞击比另一侧多,颗粒就跳一小下。就像一只沙滩球被一群看不见的人推来推去。 随机游走 我们来简化一下。设想一个颗粒,每隔一段时间 $\delta t$ 就向右或向左迈一步,步长为 $a$,向两边的机会各一半,每一步都与之前的步无关。走了 $N$ 步之后,位置是 $$x_N=\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_N,\qquad \xi_i=\pm a.$$平均而言,颗粒哪儿也没去:向右和向左的步子相互抵消,$\langle x_N\rangle=0$。但这并不意味着它停在原地!正确的问题是它通常走 多远,为此我们看位置的平方: $$x_N^2=\sum_i\xi_i^2+\sum_{i\neq j}\xi_i\xi_j.$$每个 $\xi_i^2$ 都等于 $a^2$。不同步的乘积 $\xi_i\xi_j$ 以相同的机会取 $+a^2$ 或 $-a^2$,所以平均为零。剩下 $$\langle x_N^2\rangle=Na^2.$$典型距离,即这个值的平方根,是 $a\sqrt N$。走 100 步后,颗粒通常离起点 10 步;走 10 000 步后,离起点 100 步。写成 $N=t/\delta t$,并把 $D=\frac{a^2}{2\,\delta t}$ 称为 扩散系数, $$\boxed{\langle x^2\rangle=2Dt.}$$距离随着 时间的平方根 增长。要走两倍远,就得等四倍的时间。这就是为什么一块方糖在不搅动的茶里要很久才能让整杯茶变甜。 平面上的随机游走:2 000 步,每步长 1,方向随机。走了这么多步之后,粒子离起点只有大约 45 步,即 2 000 的平方根。Euler’s Eyes 绘图 爱因斯坦的公式 爱因斯坦的决定性一步,是把在显微镜下测得的 $D$ 与液体和分子的性质联系起来。对于在黏度为 $\eta$、绝对温度为 $T$ 的液体中半径为 $r$ 的球,他证明了

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组合:不用列举也能计数

在巴西的 Mega-Sena 彩票中,你要从 60 个号码里选 6 个。一共有多少种不同的选法?要全部列出来得花上一辈子:超过五千万种。但我们可以不列举也能计数,帕斯卡就展示了怎么做。 不计顺序地选取 先从一个小例子开始:从 5 个人中选 2 个人组成委员会,有多少种选法? 如果顺序有关系,第一个人有 $5$ 种选择,第二个人有 $4$ 种:$5\cdot4=20$。但在委员会里,“安娜和布鲁诺”与“布鲁诺和安娜”是一样的,每一对都被算了两次。所以委员会共有 $20/2=10$ 种。 一般地,从 $n$ 个东西中不计顺序地选出 $k$ 个,方法数是 $$\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},$$其中 $n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1$。读作“从 $n$ 中取 $k$ 的组合数”。对于那个委员会,$\binom52=\frac{120}{2\cdot6}=10$。 为什么它们就是三角形里的数 帕斯卡注意到,$\binom nk$ 恰好就是算术三角形中的数 $C(n,k)$。原因是同一条加法规则。 在这群人中挑出一个人,比如安娜。从 $n$ 个人中选出的每个 $k$ 人委员会,要么包含安娜,要么不包含。如果包含,就还要从其余 $n-1$ 人中选 $k-1$ 个;如果不包含,这 $k$ 个人就全部来自其余的 $n-1$ 人。所以 $$\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},$$这正是三角形的规则。两者的边上都是同样的 $1$,又遵守同样的规则,所以它们是同一张表。 Mega-Sena 现在大数目的计算就容易了: $$\binom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=50\,063\,860.$$买一注的中奖机会是五千多万分之一。如果你每周买一注,平均要等将近一百万年才能中一次。 和的乘方 同样的推理解释了三角形的另一次出场。把 $$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$$乘开时,结果中的每一项都是从三个括号里各取 $a$ 或 $b$ 得到的。要得到 $a^2b$,必须恰好在三个括号中的一个里取 $b$:有 $\binom31=3$ 种取法。因此 $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$一般地, $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k.$$取 $a=b=1$,左边就是 $2^n$:又是第 $n$ 行的和。这个公式适用于整数指数。十年后,牛顿发现了指数为分数时会怎样:见广义二项式。

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分子的速度:麦克斯韦分布

我最近一直在研究完全弹性球的运动和碰撞的一些问题,作为力学练习。 — 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦致乔治·斯托克斯的信(1859 年 5 月 30 日) 一升空气里大约有 $2.5\times10^{22}$ 个分子,它们都在运动,每秒碰撞几十亿次。追踪每一个分子是不可能的。1859 年,麦克斯韦有了一个改变物理学的想法:不去问 每个 分子在做什么,而是问 有多大比例 的分子具有某个速度。这是第一次在物理定律中使用概率。他在 1859 年阿伯丁的一次会议上报告了这一结果,并于 1860 年发表。 对称性论证 麦克斯韦的推理简短而巧妙。把分子速度的 $x$ 分量的概率密度记为 $p(v_x)$,$y$ 和 $z$ 分量也一样。他做了两个假设: 三个分量相互独立。 知道 $v_x$ 对 $v_y$ 毫无影响。所以联合密度是乘积 $p(v_x)\,p(v_y)\,p(v_z)$。 没有哪个方向是特殊的。 联合密度只能取决于速度的大小 $v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$,而与方向无关。 把两者结合起来,我们需要一个函数满足 $$p(v_x)\,p(v_y)\,p(v_z)=\Phi(v_x^2+v_y^2+v_z^2).$$乘积变成了 和 的函数:这正是指数函数的性质,$e^ae^be^c=e^{a+b+c}$。唯一合理的解是 $$p(v_x)=A\,e^{-\beta v_x^2},$$一条 钟形曲线,即高斯的正态曲线。常数 $\beta$ 取决于温度和分子质量;今天写作 $\beta=\frac{m}{2k_BT}$,其中 $k_B$ 是玻尔兹曼常数,$T$ 是绝对温度。 速率分布 钟形曲线对每个可正可负的分量都成立。那么 速率,即速度的大小 $v$ 呢?大小在 $v$ 与 $v+dv$ 之间的速度构成一个半径为 $v$、厚度为 $dv$ 的球壳,体积为 $4\pi v^2\,dv$。相乘得: $$\boxed{f(v)=4\pi\left(\frac m{2\pi k_BT}\right)^{3/2}v^2\,e^{-mv^2/(2k_BT)}.}$$这就是 麦克斯韦分布。因子 $v^2$ 使曲线从零开始:几乎没有分子是静止的。指数使曲线迅速下降:几乎没有分子非常快。中间有一个峰。

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狭义相对论:用光做的钟

如果我以速度 c(真空中的光速)追赶一束光,我应当看到这束光是一个在空间中振荡着的静止电磁场。可是,似乎并不存在这样的东西。 — 阿尔伯特·爱因斯坦,《自述》(1949) 16 岁时,在阿劳的中学里,爱因斯坦问了自己一个问题:如果我以同样的速度在一束光旁边奔跑,我会看到什么?按照牛顿的物理学,光看起来会是静止的,就像公路上与我们并排行驶的汽车。但 麦克斯韦 的方程不允许静止的光:在这些方程里,光总是以 $c\approx300\,000$ km/s 传播。总有一方错了。爱因斯坦花了十年才弄清是哪一方。 两条公设 1905 年 6 月,爱因斯坦把论文《论动体的电动力学》寄给了《物理学年鉴》。他从两条假设出发: 对所有做匀速运动的观察者,物理定律都相同。 在一列平稳行驶的火车里,在车厢内做的任何实验都无法判断火车是静止还是在运动。 对所有这些观察者,真空中的光速都相同,都是 $c$,不论光源或观察者如何运动。 第二条看似无害,其实令人震惊。如果你以 100 000 km/s 的速度追赶一束光,你测得那束光离你而去的速度仍然是 300 000 km/s。要让这成为可能,必须有什么东西让步。爱因斯坦证明,让步的是 时间。 光钟 设想一座钟,由两面相距 $L$ 的平行镜子构成,一个光脉冲在两镜之间来回反射。每往返一次就是一个"嘀嗒"。对站在钟旁边的人来说,一个嘀嗒持续 $$\Delta\tau=\frac{2L}{c}.$$现在把钟放进一列以速度 $v$ 从你身边驶过的火车。对站在站台上的你来说,光不是竖直地上下走:在光从一面镜子走到另一面镜子的过程中,火车向前开了,光走的是一条斜线,更长。 从站台上看光钟。光从下镜面走到上镜面时,钟前进了 v Δt/2。光走的是斜线 c Δt/2,比 L 长。Euler’s Eyes 绘图 如果你测得一个嘀嗒持续 $\Delta t$,那么在半个嘀嗒里,光走了 $c\frac{\Delta t}2$,火车走了 $v\frac{\Delta t}2$。高度仍是 $L$。由 毕达哥拉斯定理, $$\left(\frac{c\,\Delta t}2\right)^2=L^2+\left(\frac{v\,\Delta t}2\right)^2.$$因为 $L=\frac{c\,\Delta\tau}2$,代入并把各项除以 $\frac{c^2}4$: $$\Delta t^2=\Delta\tau^2+\frac{v^2}{c^2}\Delta t^2\quad\Longrightarrow\quad \Delta t^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)=\Delta\tau^2.$$于是得到 时间膨胀 公式: