方程何时可以用根式求解
有了方程的群这个概念，伽罗瓦回答了阿贝尔之后悬而未决的问题：哪些方程可以用根式求解？答案不依赖任何技巧，只取决于群的形状。
每开一次方就切小群 用根式解方程，就是在已知的数之外，一次添加一个根。一开始我们只知道有理数，方程的群是完整的。每添加一个根，比如 $\sqrt3$ 或 $\sqrt[3]{5}$，就会出现新的成立关系，尊重它们的置换就更少了。群缩小了。当群只剩下恒等置换时，方程的所有根都能用已知的数写出：方程就解出来了。
伽罗瓦证明，每开一次素数 $p$ 次方，无论是平方根、立方根还是五次方根，群都以一种非常特殊的方式缩小：新的群是原来那个群的正规子群，并且在原来的群中恰好容纳 $p$ 次。结论就是伽罗瓦定理：
$$\boxed{\text{方程可以用根式求解}\iff\text{群可以经过一系列素数指数的正规步骤切到只剩恒等元。}}$$能这样切开的群，为纪念这段历史，被称为可解群。
三次方程：卡尔达诺公式 一般三次方程的群是三个根的六个置换构成的群，与三角形的六种对称相同。它可以这样切开：
$$\underbrace{\{e,r,r^2,s_1,s_2,s_3\}}_{6}\ \supset\ \underbrace{\{e,r,r^2\}}_{3}\ \supset\ \underbrace{\{e\}}_{1}.$$指数是 $6\div3=2$ 和 $3\div1=3$。这意味着：先开一个平方根，再开一个立方根。这正是卡尔达诺公式的形状，平方根出现在立方根的里面：
$$x=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}.$$群在公式写出来之前就解释了它。
四次方程：费拉里公式 四个根的 24 个置换可以分四步切开：
$$24\ \supset\ 12\ \supset\ 4\ \supset\ 2\ \supset\ 1,$$指数为 $2, 3, 2, 2$，全是素数。费拉里公式依次使用一个平方根、一个立方根（用来解拉格朗日的辅助三次方程）以及另外两个平方根。
五次方程：切不开的群 五个根的 $120$ 个置换可以切一次，对半切成一个有 $60$ 个元素的正规子群，即所谓的偶置换。但链条到此为止：这个 60 元群除了 $\{e\}$ 和它自身之外，没有别的正规子群。要到达恒等元，就需要一步指数为 60 的切割，而 60 不是素数。这是不可能的。
这就是一般五次方程没有公式的原因：这是阿贝尔定理，现在通过伽罗瓦的眼睛来看。但伽罗瓦理论走得更远。对每个具体的方程，只要算出它的群就行了。方程 $x^5-2=0$ 的群有 20 个元素，是可解的，它确实可以求解：$x=\sqrt[5]2$。而 $x^5-x-1=0$ 的群是全部 120 个置换，它的实根 $1.1673\ldots$ 不能用根式写出。
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