1821 年的《分析教程》以九则注记收尾，这是一种附录，收录柯西不想放进正文的结果。第二则注记讨论不等式，里面有两颗每个奥数学生都熟悉的明珠。 不等式 柯西的定理说，对任意实数 $a_1, \ldots, a_n$ 和 $b_1, \ldots, b_n$， $$(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2),$$等号仅在两组数成比例时成立。 用拉格朗日恒等式证明 柯西从一个拉格朗日已经得到的恒等式出发。对两对数，只需展开： $$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 = a_1^2 b_2^2 + a_2^2 b_1^2 - 2a_1 b_1 a_2 b_2 = (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2.$$一般情形下，两边之差是所有 $i < j$ 的平方 $(a_i b_j - a_j b_i)^2$ 之和。平方和永远不会是负的，而且只有当所有 $a_i b_j - a_j b_i$ 都为零，也就是两组数成比例时，它才等于零。证毕。