如果你知道 $u$ 如何变化、$v$ 如何变化，那么乘积 $uv$ 如何变化？最自然的猜测是把变化相乘：$d(uv)=du\cdot dv$。看起来多么对称、多么优雅…… 莱布尼茨也做过同样的猜测。 莱布尼茨的检验与失误 在 1675 年 11 月 11 日那份开始使用字母 $d$ 的手稿中，莱布尼茨问自己：$d(xy)$ 是否等于 $dx\,dy$，$d\!\left(\frac xy\right)$ 是否等于 $\dfrac{dx}{dy}$？他没有轻信优雅，而是用一个例子检验了一下，发现并不成立。几天后，他找到了正确的法则。 这是重要的一课：即使是微积分的发明者也会犯错，而拯救他们的是验算。 你自己也试试。取 $u=x$、$v=x$，乘积是 $x^2$，导数是 $2x$。但导数之积是 $1\cdot1=1$。对不上。 变大的矩形 把 $u$ 和 $v$ 想象成一个矩形的两条边，$uv$ 是它的面积。现在把两条边都稍微增加一点：$u$ 变成 $u+du$，$v$ 变成 $v+dv$。 新面积是 $(u+du)(v+dv)$。它增加了多少？ $$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=v\,du+u\,dv+du\,dv.$$从几何上看，矩形多出了三块：一条面积为 $v\,du$ 的长条，另一条面积为 $u\,dv$ 的长条，以及角上一个面积为 $du\,dv$ 的小方块。 小方块是两个无穷小量的乘积，因此比长条无穷地小。莱布尼茨把它略去，得到 $$d(uv)=u\,dv+v\,du.$$而猜测的 $du\,dv$，恰恰是无关紧要的那一块。 用极限的写法 今天我们写 $p(x)=f(x)\,g(x)$，并把增量除以 $h\ne0$： $$\frac{\Delta p}{h}=g\,\frac{\Delta f}{h}+f\,\frac{\Delta g}{h}+\frac{\Delta f}{h}\,\Delta g.$$当 $h\to0$ 时，前两项分别趋于 $gf'$ 和 $fg'$。最后一项趋于零，因为 $\dfrac{\Delta f}{h}$ 趋于一个固定的数 $f'$，而 $\Delta g$ 趋于零。因此
一辆汽车从一座城市出发，一小时后到达 90 公里外的另一座城市。平均速度是 90 公里/小时。但每一瞬间，速度表上的读数都不一样。它到底在测量什么？速度是距离除以时间，可在一个瞬间里，既没有走过距离，也没有经过时间。零除以零给不出答案。 这正是牛顿在 1665 年想要回答的问题。他的答案就是流数法。 流动的量 牛顿把每个变化的量想象成随时间流动的东西，就像河里的水。流动的量，他称为流量（fluent）；它流动的速率，称为流数（fluxion）。为了标记流数，他在字母上方加一个小点。在 1704 年出版的《曲线求积论》中，他写道： 设 $x$、$y$、$z$ 为流量，它们的流数分别记作 $\dot x$、$\dot y$、$\dot z$。 — 艾萨克·牛顿，《曲线求积论》（1704） 如果 $x$ 是位置，$\dot x$ 就是速度。换句话说，速度是从空间中“流”出来的。两个点 $\ddot x$ 表示流数的流数：加速度。 牛顿的算法 为了弄清 $y=x^2$ 如何变化，牛顿让一个极小的时间间隔流过，他把它记作 $o$。在这段时间里，$x$ 变成 $x+\dot x\,o$，$y$ 变成 $y+\dot y\,o$。由于关系 $y=x^2$ 仍然成立： $$y+\dot y\,o=(x+\dot x\,o)^2=x^2+2x\dot x\,o+\dot x^2o^2.$$两边减去 $y=x^2$，再除以 $o$： $$\dot y=2x\dot x+\dot x^2\,o.$$接下来是大胆的一步：既然 $o$ 是“无穷小”，牛顿就把最后一项丢掉了。剩下 $\dot y=2x\dot x$，也就是说，$y$ 的变化速度是 $x$ 的 $2x$ 倍。 消逝量的幽灵 先除以 $o$，再假装 $o$ 等于零，这一步让很多人不安。1734 年，爱尔兰主教乔治·贝克莱出版了《分析学家》，对微积分发起攻击。他问：这些时而存在、时而消失的量，难道不是“消逝量的幽灵”吗？这一批评是中肯的。答案直到 19 世纪才出现，那就是柯西和魏尔斯特拉斯的极限定义。 同样的计算，今天的写法 借助极限，我们可以不靠“幽灵”重新论证。在 $x$ 与 $x+h$ 之间（$h\neq0$），割线的斜率是