以阿涅西命名的曲线并不是她发现的。但这条曲线正是通过她的书而出名的，因为她用它作例子，说明怎样从几何作图得到方程，而这正是笛卡儿的新方法所许诺的。中文里，这条曲线通常叫作箕舌线。 作图 先画一个直径 $OM = a$ 的圆，$O$ 在下，$M$ 在上，再画出圆在 $M$ 点的切线。然后： 在切线上任取一点 $N$； 画直线 $ON$，它与圆交于点 $A$； 曲线上的点 $P$ 位于过 $N$ 的竖直线和过 $A$ 的水平线上。 让 $N$ 沿切线移动，点 $P$ 就画出一条钟形曲线： 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 方程 把 $O$ 放在原点，$y$ 轴沿着直径。圆心为 $\left(0, \frac{a}{2}\right)$，半径为 $\frac{a}{2}$，即 $$x^2 + \left(y - \frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + y^2 = ay.$$$M$ 点的切线是直线 $y = a$，点 $N$ 为 $(n, a)$。直线 $ON$ 上的点形如 $(tn, ta)$。代入圆的方程： $$t^2 n^2 + t^2 a^2 = a \cdot ta \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{a^2}{n^2 + a^2},$$舍去对应 $O$ 本身的解 $t = 0$。因此点 $A$ 的高度是 $ta = \frac{a^3}{n^2 + a^2}$。点 $P$ 的横坐标与 $N$ 相同，高度与 $A$ 相同，把 $n$ 换成 $x$，得到
在同样献给多西修斯的《论螺线》中，阿基米德研究了一种由运动定义的新曲线。 如果平面上一条直线绕它的一个固定端点匀速旋转，并回到出发的位置，同时有一点从固定端点出发沿这条直线匀速运动，那么这个点就在平面上描出一条螺线。 — 阿基米德，《论螺线》，定义 方程 在极坐标中，点到中心的距离 $r$ 与直线转过的角 $\theta$ 成同样比例增长： $$r = a\,\theta.$$每转一整圈，半径增加同样的量 $2\pi a$，所以相邻各圈间距相等，就像黑胶唱片的纹路，或者盘在地上的水管。 圆的三分之一 阿基米德计算了半径在第一圈中扫过的面积。方法仍是穷竭法：把一圈分成许多窄的扇形，一些在曲线内，一些在曲线外，再把它们加起来。用现代记号，角为 $d\theta$、半径为 $r$ 的扇形面积为 $\frac{1}{2}r^2\,d\theta$，于是 $$A = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}(a\theta)^2\,d\theta = \frac{a^2}{2}\cdot\frac{(2\pi)^3}{3} = \frac{4}{3}\pi^3 a^2.$$以第一圈末端的半径 $R = 2\pi a$ 为半径的圆，面积为 $\pi R^2 = 4\pi^3 a^2$。螺线的面积恰好是它的三分之一： $$\frac{A}{\pi R^2} = \frac{\frac{4}{3}\pi^3 a^2}{4\pi^3 a^2} = \frac{1}{3}.$$为了得到这个结果，阿基米德需要一个关于平方和 $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$ 的公式，它相当于说这个和介于 $\frac{n^3}{3}$ 与 $\frac{(n+1)^3}{3}$ 之间。在微积分中，正是这个和给出了 $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}$。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。