Euler's Eyes
2026-10-24
正弦不等式
令$f$和$g$为变量$x$的两个三角函数。求解不等式$f(x) < g(x)$就是获得数字$r$的集合$S$——解集或真值集，其中$f(r) < g(r)$是一个真句子。
故事
信号$<$和$>$出现在Artis analyticae praxis一书中的1631中，该书在英国数学家Thomas Harriot（同时也是天文学家和航海家）去世十年后出版。符号 $\le$ 和 $\ge$（符号下有破折号）是由法国数学家和水文学家 Pierre Bouguer 在 1734 中引入的。在此之前，不平等被完整地写出来——“大于”、“小于”。
- 1557Robert Recorde 发明了符号 $=$：“两条平行直线，因为没有什么比这更平等了”。
- 1631打印 Harriot 信号 $<$ 和 $>$。
- 1734Pierre Bouguer 介绍了 $\le$ 和 $\ge$。
资料来源： F. Cajori，数学符号史，卷。 I (1928)，§§ 484–485 · Harriot (MacTutor)。
在日常生活中
- **摩天轮。**在第七章的摩天轮中，舱室在29米以上的同时$\operatorname{sen}\theta > \frac{1}{2}$，即在$\frac{1}{3}$圈期间：每10分钟3分钟20秒。
- **太阳能。**水平面板仅在太阳足够高时产生有用的能量；要求至少最大强度的一半就是要求$\operatorname{sen} h > \frac{1}{2}$，即太阳高于$30^\circ$。
- **低潮时穿越。**步行穿越沙洲的时间是$a + b\operatorname{sen}(ct + d) < m$类型不等式的解。
理论
根本性的不平等
几乎所有三角不等式都可以简化为以下六种类型之一，其中 $m$ 是给定的实数：
$$\operatorname{sen} x > m \qquad \cos x > m \qquad \operatorname{tg} x > m$$$$\operatorname{sen} x < m \qquad \cos x < m \qquad \operatorname{tg} x < m$$这就是为什么它们被称为基本不平等，并且您需要知道如何解决它们才能解决其他不平等。 （对于 $\ge$ 和 $\le$，推理是相同的；只有间隔的极值发生了变化，现在已包括在内。）
sin x > m 的分辨率
Resumo路线图
- 在正弦轴上标记点 $P_1$，使得 $\overline{OP_1} = m$。
- 通过 $P_1$ 绘制垂直于轴的线 $r$。实数 $x$ 的图像使得 $\operatorname{sen} x > m$ 位于圆与 $r$ 上方的半平面 的交点处。
- 描述$x$可以所属的区间，从$A$开始，逆时针循环，直到完成一圈。
Exemplosin x > −√2/2
线$r$($v = -\frac{\sqrt{2}}{2}$)切断了$\frac{5\pi}{4}$和$\frac{7\pi}{4}$图像中的循环。其上方的弧线从 $A$ 开始遍历，给出两个区间：
Atenção为什么要从A开始呢？
写$\frac{7\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$是错误的：就像$\frac{7\pi}{4} > \frac{5\pi}{4}$一样，在那个“范围”中没有$x$。从$A$开始，经过$A$的圆弧被分为两个合法区间。 （另一种解决方法是使用否定判定：$-\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$。）
sin x < m 的分辨率
Resumo路线图
- 在正弦轴上标记点 $P_1$，使得 $\overline{OP_1} = m$ 并绘制垂直于通过它的轴的直线 $r$。
- 实数 $x$ 的图像使得 $\operatorname{sen} x < m$ 位于圆与 $r$ 下面的半平面的交点处。
- 从$A$开始逆时针循环直到完成一圈，描述适当的间隔。
Exemplosin x < 1/2
$v = \frac{1}{2}$ 线切割 $\frac{\pi}{6}$ 和 $\frac{5\pi}{6}$ 图像中的循环：
Propriedade边缘情况
- 若$m \ge 1$：$\operatorname{sen} x > m$无解且$\operatorname{sen} x < m$对所有$x$均有效（$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$除外，当$m = 1$时）。
- 如果$m < -1$：$\operatorname{sen} x > m$对于所有$x$都有效，而$\operatorname{sen} x < m$无解。
更进一步：$\operatorname{sen} x < x < \operatorname{tg} x$ 和基本极限
最重要的三角不等式之一不是在循环中解决的，而是通过比较面积来解决的。对于$0 < x < \frac{\pi}{2}$，在中心循环$O$中，设$A = (1, 0)$、$P$为$x$的图像，$T$为直线$OP$上切轴上的点。
将所有内容除以 $\operatorname{sen} x > 0$ 并反转：$\cos x < \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} < 1$。当 $x$ 接近 $0$ 时，$\cos x$ 接近 $1$，两者之间的比率被压缩：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 1.$$（对于 $x < 0$，同样适用，因为 $\frac{\operatorname{sen}(-x)}{-x} = \frac{\operatorname{sen} x}{x}$。）实际上：对于以弧度测量的小弧，$\operatorname{sen} x \approx x$ — 这正是 Aryabhata 在使用半径 3438 时所利用的优势。
Exemplo两个限制
$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} 2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2\cdot\frac{\operatorname{sen} 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{3x} = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}.$$请参阅：正弦的导数
当$h \to 0$时，$x$点的正弦变化率是$\dfrac{\operatorname{sen}(x + h) - \operatorname{sen} x}{h}$的极限。根据总和的正弦公式（第六章），
$$\frac{\operatorname{sen}(x + h) - \operatorname{sen} x}{h} = \cos x \cdot \frac{\operatorname{sen} h}{h} - \operatorname{sen} x \cdot \frac{1 - \cos h}{h}.$$第一个商趋于$1$。第二个趋向于 $0$，因为 $\dfrac{1 - \cos h}{h} = \dfrac{2\operatorname{sen}^2\frac{h}{2}}{h} = \operatorname{sen}\frac{h}{2}\cdot\dfrac{\operatorname{sen}\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \to 0 \cdot 1$。因此，正弦的导数是余弦。同样，余弦是$-\operatorname{sen} x$。
求导两次，正弦值会以更改后的符号返回：$(\operatorname{sen} x)'' = -\operatorname{sen} x$。这就是为什么正弦和余弦描述弹簧，其中加速度与位移成正比，符号相反 - 参见欧拉和弹簧.
本节中的练习是[章节列表]中的编号271到285（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap08-inequacoes/04-exercicios/).