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测试 - 反循环函数

反正弦、反余弦和反正切（第七章）。 Teste 158MACK-74 设$f$、$g$和$h$为$A$中$A$的函数，其中$A = [-1, 1]$，定义如下：$f(x) = \operatorname{sen} x$、$g(x) = \operatorname{sen}\pi x$、$h(x) = \frac{\pi}{2}x$。我们可以声明： a) 它们都是可逆的b) 它们都是超射的c) 只有一种可以注射d) 只有一个是满射的e) 只有一个是单射和满射 $f$（$[-1, 1]$中的正弦）是单射的，有图像$[-\operatorname{sen} 1, \operatorname{sen} 1]$； $g(x) = \operatorname{sen}\pi x$ 具有图像 $[-1, 1]$（满射），但不是单射 ($g(0) = g(1) = 0$)； $h$ 是单射的，其图像 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 甚至不适合 $A$。只有 $g$ 是满射的。打印的模板显示（e），但三者中没有一个既是$A$中$A$的注入器又是喷射器；正确的说法是(d)。 Teste 159MACK-73 $y = \operatorname{arc\,sen}\sqrt{2x - 3}$定义的函数的定义域为： a) $\left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ge \frac{3}{2}\right\}$b) $\left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \frac{3}{2} \le x \le 2\right\}$c) $\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x \le 2\}$d) $\left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; -2 \le x \le 0 \text{ ou } \frac{5}{2} \le x \le 4\right\}$e) 之前的答案都没有 根需要$2x - 3 \ge 0$，反正弦需要$\sqrt{2x - 3} \le 1$：$0 \le 2x - 3 \le 1$，即$\frac{3}{2} \le x \le 2$。 Teste 160MACK-77 $\operatorname{arc\,sen}\left(\cos\frac{33\pi}{5}\right)$的值为： a) $\frac{3\pi}{5}$b) $-\frac{\pi}{10}$c) $\frac{\pi}{10}$d) $-\frac{3\pi}{5}$e) 我不知道 $\cos\frac{33\pi}{5} = \cos\frac{3\pi}{5} = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5}\right) = \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{10}\right)$，$-\frac{\pi}{10}$在$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$中。

October 25, 2026 阅读
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第七章练习——方程

对于每个方程，首先问：它简化为什么基本方程？写出解族后，检查它们是否都不能抵消原方程中的分母。 方程 sin α = sin β 193 解方程组： a) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5}$; b）$\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3}$； c) $\operatorname{sen} x = 0$； d）$\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2}$； e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$； f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; g) $\operatorname{sen} x = 1$; h) $\operatorname{sen} x = -1$。 查看分辨率a) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$ 或 $x = \pi - \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{4\pi}{5} + 2k\pi\right\}$。 b) $\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{\operatorname{sen} x} = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\frac{2\pi}{3}} \Rightarrow \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{2\pi}{3}$，然后 $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ 或 $x = \pi - \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\right\}$。 c) $\operatorname{sen} x = 0 = \operatorname{sen} 0 \Rightarrow x = 2k\pi$ 或 $x = \pi + 2k\pi = (2k + 1)\pi$。 $\;S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi\}$。 d) $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{6}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$. e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{5\pi}{4}$，然后是 $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$ 或 $x = \pi - \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\right\}$。 f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{3}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\right\}$. g) $\operatorname{sen} x = 1 = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}$（两个系列一致）。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right\}$。 h) $\operatorname{sen} x = -1 = \operatorname{sen}\dfrac{3\pi}{2}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right\}$.

October 24, 2026 阅读
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反圆函数

方程 $\operatorname{sen} x = \frac{1}{3}$ 有无穷多个解，但没有一个是值得注意的弧。解决方案怎么写？我们需要一个“正弦为 $\frac{1}{3}$ 的弧”的名称。问题是这样的弧有无数个；因此名称指定 a 数字，我们选择一个正弦不重复的区间。此选择定义了逆循环函数。 故事 符号 $\operatorname{arc\,sen} x$ —“正弦为 $x$ 的弧” — 由 丹尼尔·伯努利 在 1729 中使用，并由奥地利数学家 约瑟夫·谢弗 在 1772 中使用，并受到 拉格朗日 和其他数学家的关注。 18世纪末的作家。计算器中常见的符号$\operatorname{sen}^{-1} x$是由英国天文学家John Herschel在1813中通过类比函数的逆函数提出的；它的缺点是容易与$\frac{1}{\operatorname{sen} x}$混淆，这就是本书中我们使用$\operatorname{arc\,sen}$的原因。 约翰·赫歇尔是谁 约翰·赫歇尔 (1792–1871) 是天文学家威廉·赫歇尔的儿子，他发现了天王星。当他还是剑桥大学的学生时，他就与查尔斯·巴贝奇和乔治·皮科克一起创立了分析学会 (1812)，该组织希望将莱布尼茨的微积分符号 $dy/dx$ 引入英国，以取代牛顿的点 $\dot{y}$ — 他们开玩笑说，他们捍卫“数学原理”纯粹的D主义反对大学的Dot-age”（dotage意思是“衰老”）。正是在这种符号努力中，他的 $\operatorname{sen}^{-1}$ 出现了。赫歇尔在开普敦待了四年，绘制了南半球天空的星星图，他是摄影术的先驱之一：他发明了蓝晒法，即古代工程植物的蓝色处理方法，并普及了摄影术、负片和正片等词。他被安葬在威斯敏斯特教堂，牛顿旁边。 1729丹尼尔·伯努利写道“A S”。对于正弦给定的弧。 1772Joseph Scherffer 使用arc。罪恶。 世纪末。十八拉格朗日等人传播了反正弦。 1813John Herschel 提议 $\sin^{-1} x$。 今天计算器使用$\sin^{-1}$；巴西书籍，$\operatorname{arc\,sen}$。 来源： John Herschel (MacTutor) · F. Cajori，数学符号史，卷。 II (1929)，§§ 532–535 · 函数符号的最早使用 (Jeff Miller)。 在日常生活中 陡峭的街道。 坡度为 20% 的街道水平方向每 100 米升高 20 米；角度为 $\operatorname{arc\,tg} 0{,}2 \approx 11{,}3^\circ$。 **梯子。**安全规则要求将梯子的底部 1/4 移离墙壁；与地板的角度为 $\operatorname{arc\,cos}\frac{1}{4} \approx 75{,}5^\circ$。 **手机作为水平仪。**加速度计测量落在设备每个轴上的重力，水平仪应用程序计算与切线弧的倾斜度。 从安全规则（距腿长度 1/4）到角度：$\operatorname{arc\,cos}\frac14 \approx 75{,}5^\circ$。使用按钮。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 24, 2026 阅读